浙教版数学八年级暑假知识训练：二次根式的性质与运算

试卷更新日期：2024-06-30 类型：复习试卷

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 下列各式计算正确的是（　　）

A、 $2 \sqrt{2} \cdot 3 \sqrt{3} = 6 \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{4 \frac{1}{2}} = 2 \sqrt{\frac{1}{2}}$ C、 ${(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{2} = 2 + 3 = 5$ D、 $- \sqrt{1 \frac{1}{2}} \cdot \sqrt{1 \frac{1}{3}} = - \sqrt{2}$

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2. 下列计算正确的是（）

A、 $3 \sqrt{2} \cdot 4 \sqrt{2} = 12 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{(- 9) \times (- 4)} = \sqrt{- 9} \times \sqrt{- 4} = 6$ C、 $- 3 \sqrt{\frac{2}{3}} = \sqrt{{(- 3)}^{2} \times \frac{2}{3}} = \sqrt{6}$ D、 $\sqrt{13^{2} - 12^{2}} = \sqrt{(13 + 12) (13 - 12)} = 5$

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3. 下列运算正确的是的（）

A、 $\sqrt{5} + \sqrt{7} = \sqrt{12}$ B、 $(\sqrt{a} + \sqrt{b})^{2} = a - b$ C、 $\frac{1}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} = \frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{x - y}$ D、 $\sqrt{(\sqrt{3} - 2)^{2}} = \sqrt{3} - 2$

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4. $\sqrt{{(1 \frac{2}{3})}^{2}} + \sqrt{{(- 1 \frac{2}{3})}^{2}}$ 的值是（）

A、0 B、 $\frac{4}{3}$ C、 $3 \frac{1}{3}$ D、以上都不对

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5. 估计 $(\sqrt{12} + 2 \sqrt{6}) \div \sqrt{3}$ 的值应在（）

A、3和4之间 B、4和5之间 C、5和6之间 D、6和7之间

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6. 已知a＝ $\sqrt{5} + \sqrt{3}$ ， b＝ $\frac{2}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$ ，则a与b的关系是(　　)

A、a＝b B、ab＝1 C、a＝﹣b D、ab＝﹣5

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7. 已知 $x = 2 - \sqrt{3}$ ，则代数式 $(7 + 4 \sqrt{3}) x^{2} + (2 + \sqrt{3}) x + \sqrt{3}$ 的值是（）

A、0 B、 $\sqrt{3}$ C、 $2 + \sqrt{3}$ D、 $2 - \sqrt{3}$

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8. 若a、b、c为有理数，且等式 $a + b \sqrt{2} + c \sqrt{3} = \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}$ 成立，则2a＋999b＋1001c的值是（）

A、1999 B、2000 C、2001 D、不能确定

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9. 对于任意的正数a ， b ，定义运算★， $a ★ b = {\begin{array}{l} \sqrt{b} - \sqrt{a} (b \leq a) \\ \sqrt{b} + \sqrt{a} (b > a) \end{array}$ ，计算 $(5 ★ 4) \times (16 ★ 20)$ 的结果为（）

A、 $2 \sqrt{5} + 4$ B、 $4 - \sqrt{5}$ C、2 D、 $- 2$

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10. “分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如： $\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} = \frac{(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})} = 7 + 4 \sqrt{3} .$ 除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的二次根式，如：对于 $\sqrt{3 + \sqrt{5}} - \sqrt{3 - \sqrt{5}} ，$ 设x $= \sqrt{3 + \sqrt{5}} - \sqrt{3 - \sqrt{5}} ，$ 易知 $\sqrt{3 + \sqrt{5}} > \sqrt{3 - \sqrt{5}}$ 故x >0，由 $x^{2} = {(\sqrt{3 + \sqrt{5}} - \sqrt{3 - \sqrt{5}})}^{2} = 3 + \sqrt{5} + 3 - \sqrt{5}$ $- 2 \sqrt{(3 + \sqrt{5}) (3 - \sqrt{5})} = 2 ，$ 得 x= $\sqrt{2}$ ，即 $\sqrt{3 + \sqrt{5}} -$ $\sqrt{3 - \sqrt{5}} = \sqrt{2} .$ 根据以上方法，化简 $\frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} +$ $\sqrt{6 - 3 \sqrt{3} - \sqrt{6 + 3 \sqrt{3}}}$ 的结果是（）

A、 $5 + 3 \sqrt{6}$ B、 $5 + \sqrt{6}$ C、 $5 - \sqrt{6}$ D、 $5 - 3 \sqrt{6}$

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二、填空题（每题3分，共18分）

11. 已知实数 $a$ ， $b$ ， $c$ 在数轴上对应点的位置如图所示，化简 $\sqrt{a^{2}} - |a + b| + \sqrt{{(c - a)}^{2}} + |b + c| =$ ．

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12. 若 $| 1 - a | - \sqrt{a^{2} - 8 a + 16}$ 的化简结果是 $2 a - 5$ ，则实数 $a$ 的取值范围是.

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13. $\sqrt{24 n}$ 是整数，则正整数n的最小值是．

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14. 化简 $(\sqrt{3} - 2)^{2023} \cdot (\sqrt{3} + 2)^{2024}$ 的结果为．

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15. 式子 $\frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{2020} + \sqrt{2012}}$ 的值为

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16. 如图，将 $1, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{6}, \cdot \cdot \cdot$ ，按下列方式排列．若规定 $(m, n)$ 表示第 $m$ 排从左向右第 $n$ 个数，则 $(5, 4)$ 与 $(15, 2)$ 表示的两数之积是．

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三、计算题（共5题，共28分）

17. 计算：

(1)、 $(\sqrt{3})^{2} - \sqrt{(- 1)^{2}}$ ．

(2)、 $\sqrt{0 . 5^{2}} + \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2}}$ ．

(3)、 $\sqrt{(- 5)^{2}} - (\sqrt{3})^{2} + \sqrt{9}$ ．

(4)、 ${(\sqrt{\frac{1}{4}})}^{2} - \sqrt{0.16} + \sqrt{(- 9)^{2}}$ ．

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18. 计算：

(1)、 $\sqrt{\frac{1}{5}} - \frac{10}{\sqrt{125}}$ ．

(2)、 $\sqrt{18} - \sqrt{\frac{9}{2}} - (1 + \sqrt{2})^{0} + \sqrt{(1 - \sqrt{2})^{2}}$ ．

(3)、 $(\sqrt{12} - 4 \sqrt{\frac{1}{8}}) - (3 \sqrt{\frac{1}{3}} - 4 \sqrt{0.5})$ ．

(4)、 $\frac{2}{3} \sqrt{9 x} + 6 \sqrt{\frac{x}{4}} - 2 x \sqrt{\frac{1}{x}}$ ．

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19. 计算：

(1)、 $\sqrt{(3 - \sqrt{5})^{2}} - \sqrt{(2 - \sqrt{5})^{2}}$ ．

(2)、 $\sqrt{1 - 2 m + m^{2}} (m > 1)$ ．

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20. 已知 $a = \sqrt{5} + 2 ， b = \sqrt{5} - 2$ ，求下列式子的值：

(1)、 $a^{2} b + a b^{2}$ ．

(2)、 $(a - 2) (b - 2)$ ．

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21. 已知 $x ， y$ 为实数，且满足 $\sqrt{1 + x} - (y - 1) \cdot \sqrt{1 - y} = 0$ ，试求 $x^{2024} - y^{2023}$ 的值．

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四、解答题（共7题，共54分）

22. 在进行二次根式的化简和计算时，我们通常可以借助平方差公式对二次根式进行化简．例如 $\frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{(\sqrt{3} - \sqrt{2}) (\sqrt{3} + \sqrt{2})} = \sqrt{3} + \sqrt{2}$ ．

(1)、分别化简 $\frac{1}{\sqrt{5} - 2}$ 、 $\frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{6}}$ 和 $\frac{4}{4 - \sqrt{14}}$ ；

(2)、已知实数 $a$ 、 $b$ 满足 $(a + \sqrt{a^{2} + 2024}) (b + \sqrt{b^{2} + 2024}) = 2024$ ，求 $2024 - a - b$ 的值．

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23. 小芳在解决问题：已知 $a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ ，求 $2 a^{2} - 8 a + 1$ 的值．她是这样分析与解的：
$a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})} = 2 - \sqrt{3}$ ，
∴ $a = 2 - \sqrt{3}$ ，
∴ ${(a - 2)}^{2} = 3$ ， $a^{2} - 4 a + 4 = 3$ ， ∴ $a^{2} - 4 a = - 1$ ，
∴ $2 a^{2} - 8 a + 1 = 2 (a^{2} - 4 a) + 1 = 2 \times (- 1) + 1 = - 1$ ．
请你根据小芳的分析过程，解决如下问题：

(1)、计算： $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + ⋯ + \frac{1}{\sqrt{100} + \sqrt{99}}$ ．

(2)、若 $a = \frac{1}{\sqrt{2} - 1}$ ．
①化简 $a$ ，求 $4 a^{2} - 8 a - 1$ 的值；
②求 $a^{3} - 3 a^{2} + a + 1$ 的值．

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24. 在数学课外学习活动中，小光和他的同学遇到一道题：
已知 $a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ ，求 $2 a^{2} - 8 a + 1$ 的值．他是这样解答的：
$∵ a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})} = 2 - \sqrt{3}$ ， $∴ a - 2 = - \sqrt{3}$ ，
$∴ {(a - 2)}^{2} = 3, a^{2} - 4 a + 4 = 3$ ． $∴ a^{2} - 4 a = - 1$ ．
$∴ 2 a^{2} - 8 a + 1 = 2 (a^{2} - 4 a) + 1 = 2 \times (- 1) + 1 = - 1$ ．
请你根据小光的解题过程，解决如下问题：

(1)、 $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} =$ ；

(2)、化简 $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + ⋯ + \frac{1}{\sqrt{225} + \sqrt{224}}$ ；

(3)、若 $a = \frac{1}{\sqrt{10} + 3}$ ，求 $a^{4} + 6 a^{3} + 6 a + 2023$ 的值．

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25. 观察下列各式，发现规律：
$\sqrt{1 + \frac{1}{3}} = 2 \sqrt{\frac{1}{3}}$ ； $\sqrt{2 + \frac{1}{4}} = 3 \sqrt{\frac{1}{4}}$ ； $\sqrt{3 + \frac{1}{5}} = 4 \sqrt{\frac{1}{5}}$ ；……

(1)、填空： $\sqrt{9 + \frac{1}{11}} =$ ， $\sqrt{18 + \frac{1}{20}} =$ ．

(2)、计算（写出计算过程）： $\sqrt{2022 + \frac{1}{2024}}$

(3)、用含自然数n（ $n \geq 1$ ）的等式把你所发现的规律表示出来．

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26. 探索与实践
某中学八年级（1）班小聪同学在学习二次根式后发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 $3 + 2 \sqrt{2} = {(1 + \sqrt{2})}^{2}$ ，善于开动脑筋思考的小聪进行了以下探索：
设 $a + b \sqrt{2} = {(m + n \sqrt{2})}^{2}$ （其中a ， b ， m ， n均为整数），则有： $a + b \sqrt{2} = m^{2} + 2 n^{2} + 2 m n \sqrt{2}$ ，所以 $a = m^{2} + 2 n^{2}$ ， $b = 2 m n$ ．
这样小聪就找到一种把类似 $a + b \sqrt{2}$ 的式子化成平方式的方法，请你仿照小聪的方法探索并解决下列问题：

(1)、[初步尝试]当a ， b ， m ， n均为正整数时，若 $a + b \sqrt{3} = {(m + n \sqrt{3})}^{2}$ ，用m ， n的式子分别表示a ， b ，得 $a =$ ， $b =$ ；

(2)、[探索实践]利用所探索的结论，找一组正整数a ， b ， m ， n填空： $______+______\sqrt{3} = {(______+______\sqrt{3})}^{2}$ ；

(3)、[拓展应用]若 $a + 4 \sqrt{3} = {(m + n \sqrt{3})}^{2}$ ，且a ， m ， n均为正整数，求a的值．

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27. 我们将 $(\sqrt{a} + \sqrt{b}), (\sqrt{a} - \sqrt{b})$ 称为一对“对偶式”，因为 $(\sqrt{a} + \sqrt{b}) (\sqrt{a} - \sqrt{b})$ $= (\sqrt{a})^{2} - (\sqrt{b})^{2}$ $= a - b$ ，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将 $(\sqrt{a} + \sqrt{b})$ 和 $(\sqrt{a} - \sqrt{b})$ 中的“”去掉．例如：
$\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{1 \times (\sqrt{3} - \sqrt{2})}{(\sqrt{3} + \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3})^{2} - (\sqrt{2})^{2}} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ ；
像这样，通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化．
根据以上材料，解答下面的问题：

(1)、分母有理化 $\frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{5}}$ 的值为．

(2)、分母有理化 $\frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}$ 的值为（n为正整数）

(3)、计算： $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{4}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{2024} + \sqrt{2023}}$ ．

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28. 先阅读，再解答.由 $(\sqrt{5} + \sqrt{3})$ $(\sqrt{5} - \sqrt{3}) = {(\sqrt{5})}^{2} - {(\sqrt{3})}^{2} = 2$ 可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如： $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3} + \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2})} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ ，请完成下列问题：

(1)、 $\sqrt{2} - 1$ 的有理化因式是；

(2)、化去式子分母中的根号： $\frac{2}{3 \sqrt{2}} =$ ， $\frac{3}{3 - \sqrt{6}} =$ ；

(3)、比较 $\sqrt{2023} - \sqrt{2022}$ 与 $\sqrt{2022} - \sqrt{2021}$ 的大小，并说明理由.

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