浙教版数学七年级暑假知识训练：因式分解的方法

试卷更新日期：2024-06-30 类型：复习试卷

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 下列计算正确的是（）

A、（﹣m²n）³＝﹣m⁶n³ B、m⁵﹣m³＝m² C、（m+2）²＝m²+4 D、m²·m³＝m⁶

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2. 对于任何整数 $m$ ，多项式 ${(4 m + 5)}^{2} - 9$ 都能被（）

A、8整除 B、 $m$ 整除 C、 $(m - 1)$ 整除 D、 $(2 m - 1)$ 整除

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3. 用提取公因式法分解因式，下列正确的是（）

A、 $2 n^{2} - m n + n = 2 n （ n - m ）$ B、 $2 n^{2} - m n + n = n （ 2 - m + 1 ）$ C、 $2 n^{2} - m n + n = n （ 2 n - m ）$ D、 $2 n^{2} - m n + n = n （ 2 n - m + 1 ）$

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4. 下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（）

A、 $x^{2} + x + 1$ B、 $x^{2} + 2 x - 1$ C、 $x^{2} - 1$ D、 $81 + 18 x + x^{2}$

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5. 将下列多项式分解因式，结果中不含有因式x-1的是（）

A、x²-1 B、x²-x C、x²+2x+ 1 D、x²-2x+1

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6. 下列等式，成立的是（）

A、 ${(x + y)}^{2} = x^{2} + y^{2}$ B、 ${(- 2 m^{2})}^{3} = - 8 m^{6}$ C、 $(4 m + n) (n - 4 m) = 16 m^{2} - n^{2}$ D、 $x^{2} - x - 2 = (x - 1) (x + 2)$

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7. 若多项式 $x^{2} + a x - 2$ 可以因式分解为 $(x - 1) (x + b)$ ，则 $a + b$ 的值为（）

A、3
B、2
C、1
D、-1

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8. 把 $a^{2} - b^{2} + 2 b - 1$ 因式分解，正确的是（）

A、 $(a + b) (a - b) + 2 b - 1$
B、 $(a + b + 1) (a - b - 1)$
C、 $(a + b - 1) (a + b + 1)$
D、 $(a + b - 1) (a - b + 1)$

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9. 下列多项式因式分解：
① $x^{2} - 6 x y + 9 y^{2} = (x - 3 y)^{2}$ ；② $16 + a^{4} = (4 + a^{2}) (4 - a^{2})$ ；③ $25 a b^{2} + 10 a b + 5 b = 5 b (5 a b - 2 a)$ ；④ $x^{2} - (2 y)^{2} = (x - 2 y) (x + 2 y)$ ，其中正确的有（）

A、 $1$ 个 B、 $2$ 个 C、 $3$ 个 D、 $4$ 个

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10. 小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息： $x - y$ ， $a - b$ ，2， $x^{2} - y^{2}$ ， $a$ ， $x + y$ ，分别对应下列六个字：华、我、爱、美、游、中，现将 $2 a (x^{2} - y^{2}) - 2 b (x^{2} - y^{2})$ 因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）

A、爱我中华 B、我游中华 C、中华美 D、我爱美

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二、填空题（每题4分，共24分）

11. 分解因式：x²+2x+1= ．

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12. 因式分解2x²﹣4x+2= ．

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13. 因式分解：x²y+2xy＝．

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14. 分解因式： $a^{2} b + a b^{2} - a - b =$ .

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15. 计算：2024²﹣2025×2023＝．

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16. 若两个正整数x ， y满足 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2015}$ 且 $x \leq y$ ，则称x ， y是一组“美丽数”，记为 $(x, y)$ ，则美丽数一共有组．

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三、计算题（共6题，共51分）

17. 因式分解：

(1)、 $(2 x - y) (x + 3 y) - (2 x + 3 y) (y - 2 x)$ ；

(2)、 $5 a^{3} - 5 a$ ；

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18. 分解因式：

(1)、36x²-60xy+25y²

(2)、- 4x²+12xy-9y² ．

(3)、-2xy-x²-y² ．

(4)、ab⁴-4ab³+ 4ab²

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19. 用添拆项法将下面各式分解因式：

(1)、x⁴+4y⁴ ．

(2)、x²- 2ax-b²- 2ab．

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20. 用换元法分解因式： m(m+2)(m²+2m-2)-3．

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21. 用分组分解法将下列多项式分解因式：

(1)、2a+4b-3ma- 6mb．

(2)、25-4x²+4xy-y² ．

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22. 用十字相乘法将下列各式分解因式：

(1)、x² +7x+12．

(2)、a²-7a-18．

(3)、a²+5ab+ 6b² ．

(4)、a²+ 5ab-6b² ．

(5)、5x²+7x- 6．

(6)、3x²-19x-14．

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四、解答题（共3题，共20分）

23. 将下列每个多项式与因式分解适用的方法连线．

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24. 下面是某同学对多项式 $(x^{2} - 4 x + 2) (x^{2} - 4 x + 6) + 4$ 进行因式分解的过程．
解：设 $x^{2} - 4 x = y$ ，
原式 $= (y + 2) (y + 6) + 4$ （第一步）
$= y^{2} + 8 y + 16$ （第二步）
$= {(y + 4)}^{2}$ （第三步）
$= {(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}$ （第四步）
回答下列问题：

(1)、该同学第二步到第三步运用了因式分解的方法是什么？

(2)、该同学因式分解的结果是否彻底？若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果．

(3)、请你模仿以上方法尝试对多项式 $(x^{2} - 2 x) (x^{2} - 2 x + 2) + 1$ 进行因式分解．

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25. 小伟同学的错题本上有一题练习题，这道题被除式的第二项和商的第一项不小心被墨水污染了（污染处用字母Ｍ和Ｎ表示），污染后的习题如下：
$(30 x^{4} y^{2} + M + 12 x^{2} y^{2}) \div (- 6 x^{2} y) = N + 3 x y - 2 y .$

(1)、请你帮小伟复原被污染的Ｍ和Ｎ处的代数式，并写出练习题的正确答案；

(2)、爱动脑的小芳同学把练习题的正确答案与代数式ｘ²ｙ＋ｘｙ＋ｙ相加，请帮小芳求出这两个代数式的和，并判断所求的和能否进行因式分解？若能，请分解因式；若不能，请说明理由．

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五、实践探究题（共5题，共31分）

26. 常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如x²-2xy+y²-16，我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解．过程如下：x²-2xy+y²-16＝（x-y）²一16＝（x-y+4）（x-y-4）
这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题：

(1)、9a²+4b²-25m²-n²+12ab+10mn；

(2)、已知a、b、c分别是△ABC三边的长且2a²+b²+c²-2a（b+c）＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由．

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27. [阅读材料]
把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法。
如：对于a²+6a+8．（1）用配方法分解因式。（2）当a取何值时，代数式a²+6a+8有最小值？最小值是多少？
解：（1）原式=a² +6a+8+1-1=a²+ 6a+9-1=（a+3）²-1= [（a+3）+1][（a+3）-1]=（a+ 4）（a+2）．（2）对于（a+3）²-1，（a+3）²≥0．所以，当a=-3时，代数式a² +6a+8有最小值，最小值是-1．
[问题解决]利用配方法解决下列问题：

(1)、用配方法因式分解：x²+2x- 3．

(2)、当x取何值时，代数式x²+2x-3有最小值？最小值是多少？

(3)、若a²+b²-2a+46+5=0，求2a+b的值．

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28. 阅读理解：
用“十字相乘法”分解因式 $2 x^{2} - x - 3$ 的方法.
第一步：分解二次项系数，2=1×2；
第二步：分解常数项，-3=-1×3=1×(-3)；
第三步：如图所示，验算“交叉相乘之和”：
①1×3+2×(-1)=1；
②1×(-1)+2×3=5；
③1×(-3)+2×1=-1；
④1×1+2×(-3)=-5.
发现③中“交叉相乘之和”的结果为-1，等于一次项系数.
将十字交叉线上的系数对应写在两个相乘的多项式中： $(x + 1) (2 x - 3) = 2 x^{2} - 3 x + 2 x - 3 = 2 x^{2} - x - 3 ，$ 则 $2 x^{2} - x - 3 = (x + 1) (2 x - 3) .$ 像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做“十字相乘法”.
仿照以上方法分解因式： $3 x^{2} - 5 x - 2 .$

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29. 【学习材料】拆项添项法
在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项．
例 1 分解因式： $x^{4} + 4$
解：原式 $= x^{4} + 4 x^{2} + 4 - 4 x^{2} = {(x^{2} + 2)}^{2} - 4 x^{2} = (x^{2} - 2 x + 2) (x^{2} + 2 x + 2)$
例 2 分解因式： $x^{3} + 5 x - 6$
解：原式 $= x^{3} - x + 6 x - 6 = x (x^{2} - 1) + 6 (x - 1) = (x - 1) (x^{2} + x + 6)$
【知识应用】请根据以上材料中的方法，解决下列问题：

(1)、分解因式： $x^{2} + 16 x - 36 =$

(2)、运用拆项添项法分解因式： $x^{4} + 4 y^{4}$ ．

(3)、化简： $\frac{x^{3} - x^{2} - 4}{x - 2}$ ．

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30. 阅读材料：
分解因式： $m x + n x + m y + n y = (m x + n x) + (m y + n y) = x (m + n) + y (m + n) = (m + n) (x + y) ，$ 这种分解因式的方法称为“分组分解法”.
请用“分组分解法”分解因式：

(1)、 $a^{2} - b^{2} + a^{2} b - a b^{2} .$

(2)、 $a^{2} - a^{2} b + a b^{2} - a + b - b^{2} ，$

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