浙教版数学七年级暑假知识训练：完全平方公式及其应用

试卷更新日期：2024-06-30 类型：复习试卷

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 若二次三项式 $x^{2} + (k + 1) x + 9$ 是一个完全平方式，则 $k$ 的值是（）

A、5 B、 $- 7$ C、5或 $- 7$ D、 $\pm 5$

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2. 在下列的计算中，正确的是（）

A、m³•m²＝m⁵ B、m⁶÷m²＝m³ C、（2m）³＝6m³ D、（m+1）²＝m²+1

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3. 若等式 $x^{2} + 4 x + a = {(x + 2)}^{2} - 1$ 成立，则a的值为（）

A、5 B、4 C、3 D、2

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4. 若 $a - b = 8$ ， $a^{2} + b^{2} = 82$ ，则 $2 a b$ 的值为（）

A、9 B、 $- 9$ C、18 D、 $- 18$

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5. 已知.(a+b)²=9，ab= －1 $\frac{1}{2}$ ，则a²+b²的值等于（）

A、84 B、78 C、12 D、6

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6. 已知x，y都是实数，观察表中的运算，则n的值是（）

x，y的运算

$x - y$

xy

$x^{2} + y^{2}$

运算的结果

1

3

n

A、4 B、7 C、10 D、13

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7. 将9.5²变形正确的是（）

A、 $9 . 5^{2} = 9^{2} + 0 . 5^{2}$ B、 $9 . 5^{2} = (10 + 0.5) (10 - 0.5)$ C、 ${9.5}^{2} = 10^{2} - 2 \times 10 \times 0.5 + {0.5}^{2}$ D、 $9 . 5^{2} = 9^{2} + 9 \times 0.5 + 0 . 5^{2}$

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8. 有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图①，将A，B并列放置后构造新的正方形得图②．若图①和图②中阴影部分的面积分别为2和16，则图②所示的大正方形的面积为（）

A、32 B、34 C、36 D、38

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9. 如图，有三张正方形纸片A ， B ， C ，它们的边长分别为a ， b ， c ，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中，记图1中阴影部分周长为1₁ ，面积为S₁ ，图2中阴影部分周长为l₂ ，面积为S₂ ．若 $4 (S_{2} - S_{1}) = (l_{1} - l_{2})^{2}$ ，则c：b的值为（　　）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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10. 下列结论中： ①若 ${(1 - x)}^{x + 1} = 1$ ，则 $x = - 1$ ；②若 $a^{2} + b^{2} = 3 ， a - b = 1$ ，则 $(2 - a) (2 - b)$ 的值为 $5 - 2 \sqrt{5}$ ； ③若规定：当 $a b \neq 0$ 时， $a \otimes b = a + b - a b$ ，若 $a \otimes (4 - a) = 0$ ，则 $a = 2$ ；④若 $4^{x} = a ， 8^{y} = b$ ，则 $2^{4 x - 3 y}$ 可表示为 $\frac{2 a}{b}$ ； ⑤若 $(x + 1) (x - a)$ 的运算结果中不含 $x$ 的一次项，则 $a = 1$ . 其中正确的个数是（）

A、5 B、4 C、3 D、2

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二、填空题（每题4分，共24分）

11. 已知 $a$ + $\frac{1}{a}$ =7，则 $a$ ²+ $\frac{1}{a^{2}}$ 的值是．

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12. 若n满足 ${(n - 2023)}^{2} + {(2024 - n)}^{2} = 1$ ，则 $(2024 - n) (n - 2023)$ 等于．

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13. 如果 $a ， b$ 是长方形的长和宽，且 ${(a + b)}^{2} = 16$ ， ${(a - b)}^{2} = 4$ ，则长方形面积是．

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14. 大长方形中按如图所示的方式摆放五个完全相同的小长方形，若一个小长方形的面积为 $\frac{9}{2}$ ，阴影部分的面积为20，则大长方形的周长为．

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15. 如图，把三个大小相同的正方形甲，乙，丙放在边长为9的大正方形中，甲与丙的重叠部分面积记为Ｓ₁ ，乙与丙的重叠部分面积记为Ｓ₂ ，且均为正方形，正方形甲、乙一组邻边的延长线构成的正方形面积记为Ｓ₃ ，若Ｓ₁－Ｓ₂＝2Ｓ₃ ，且Ｓ₃＝1，则图中阴影部分的面积为．

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16. 我国南宋数学家杨辉用 “三角形”解释二项和的乘方规律，称之为 “杨辉三角”，这个 “三角形” 给出了 $(a + b)^{n} (n = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， \dots)$ 的展开式的系数规律 (按 $n$ 的次数由大到小的顺序)．
请依据上述规律，写出 ${(x - \frac{1}{x})}^{2023}$ 展开式中含 $x^{2021}$ 项的系数是．

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三、计算题（共4题，共26分）

17. 计算：

(1)、（2x+3y）² ．

(2)、（ $\frac{1}{2}$ x+2y）²

(3)、（-3+2a）² ．

(4)、（-3mn-1）² ．

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18. 运用完全平方公式计算：

(1)、 (3a+b)²

(2)、 ${(\frac{1}{2} x - 2 y)}^{2}$

(3)、 $(- x - y)^{2}$

(4)、 199².

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19. 简便计算：

(1)、99.8² ．

(2)、2022²-4044×2021+2021²

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20. 先化简，再求值： $(x - 2 y)^{2} + (2 x - y) (2 x + y) - x (x - 4 y)$ ，其中 $x = - 1, y = 2$ ．

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四、解答题（共3题，共28分）

21. 如图，点D在长方形AEFG的边AG上，且四边形ABCD、四边形DGFH均为正方形，延长BC交GF于点M ，设AD＝a ， DG＝b（a＜b），△BEF的面积记为S₁ ，四边形ABFG的面积记为S₂ ，长方形DCMG的面积记为S₃ ．

(1)、用a、b的代数式表示S₁和S₂；

(2)、若 $a = \frac{1}{3} b$ ，求 $\frac{S_{2}}{S_{3}}$ 的值；

(3)、若S₂＝33，S₃＝14，求CH的长．

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22.
① ②

(1)、图中的①是一个长为 $2 m$ 、宽为 $2 n$ 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后拼成一个如图中的②所示的正方形．请用两种不同的方法求图中②的阴影部分的面积．
方法1：．方法2：

(2)、利用等量关系解决下面的问题：
$a - b = 5, a b = - 6$ ，求 $(a + b)^{2}$ 和 $a^{2} + b^{2}$ 的值；
②已知 $x - \frac{1}{x} = 3$ ，求 $x^{4} + \frac{1}{x^{4}}$ 的值．

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23. 如图①是一个长为 $2 a$ 、宽为 $2 b$ 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．

(1)、观察图②．请你直接写出下列三个式子： ${(a + b)}^{2}$ ， ${(a - b)}^{2}$ ， $4 a b$ 之间的等量关系式为；

(2)、若m、n均为实数，且 $m + n = - 2$ ， $m n = - 3$ ，运用（1）所得到的公式求 $m - n$ 的值；

(3)、如图③， $S_{1}$ ， $S_{2}$ 分别表示边长为x、y的正方形的面积，且A、B、C三点在一条直线上，若 $S_{1} + S_{2} = 20$ ， $A B = x + y = 6$ ，求图中阴影部分的面积．

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五、实践探究题（共12分）

24. 阅读下列素材，完成相应的任务.

	平衡多项式
素材一：	定义：对于一组多项式： $x + a$ ， $x + b$ ， $x + c$ ( $a$ ， $b$ ， $c$ 都是非零常数），当其中一个多项式的平方与另外两个多项式的乘积的差是一个常数 $m$ 时，称这样的三个多项式是一组平衡多项式， $m$ 的值是这组平衡多项式的平衡因子.
素材二：	例如：对于多项式 $x + 1$ ， $x + 2$ ， $x + 3$ ，因为 ${(x + 2)}_{}^{2} - (x + 1) (x + 3)$ = $x_{}^{2} + 4 x + 4$ $- (x_{}^{2} + 4 x + 3)$ $= 1$ ，所以多项式 $x + 1$ ， $x + 2$ ， $x + 3$ 是一组平衡多项式，其平衡因子为1.
任务一：	小明发现多项式 $x + 3$ ， $x + 5$ ， $x + 7$ 是一组平衡多项式，在求其平衡因子时，列式如下： ${(x + 5)}_{}^{2} - (x + 3) (x + 7)$ ，根据他的思路求该组平衡多项式的平衡因子.
任务二：	判断多项式 $x - 2$ ， $x + 1$ ， $x + 4$ 是否为一组平衡多项式，若是，求出其平衡因子；若不是，说明理由.
任务三：	若多项式 $x - 2$ ， $x + 2$ ， $x + p$ ( $p$ 为非零常数）是一组平衡多项式，求 $p$ 的值.

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x，y的运算	$x - y$	xy	$x^{2} + y^{2}$
运算的结果	1	3	n