浙教版数学七年级暑假知识训练：解二元一次方程组

试卷更新日期：2024-06-30 类型：复习试卷

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 解方程组 ${\begin{array}{l} x = 3 y - 2 ① \\ 2 y - 5 x = 10 ② \end{array}$ 时，把①代入②，得（）

A、 $2 (3 y - 2) - 5 x = 10$ B、 $2 y - (3 y - 2) = 10$ C、 $(3 y - 2) - 5 x = 10$ D、 $2 y - 5 (3 y - 2) = 10$

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2. 已知关于x ， y的方程组 $\{\begin{array}{l} 2 x + y = k \\ x + 3 y = 5 - 2 k \end{array}$ 有以下结论：①当k＝0时，方程组的解是 $\{\begin{array}{l} x = - 1 \\ y = 2 \end{array}$ ；②当x+2y＝0，则k＝3；③不论k取什么实数，x+y的值始终不变．其中正确的是（　　）

A、①② B、①③ C、②③ D、①②③

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3. 方程组 $\{\begin{array}{l} y = 2 x - 5 \\ 3 x - 2 y = 8 \end{array}$ 用代入法消去y后所得的方程是（　　）

A、3x﹣4x﹣10＝8 B、3x﹣4x+5＝8 C、3x﹣4x﹣5＝8 D、3x﹣4x+10＝8

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4. 二元一次方程组 ${\begin{array}{l} 2 x - y = 4 \\ x + y = 8 \end{array}$ ，最适合用下列哪种消元法求解（）

A、代入消元法 B、加减消元法 C、代入消元法或加减消元法 D、无法确定

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5. 已知方程组 ${\begin{array}{l} 2 x + y = 3 \\ x - y = 3 \end{array}$ 的解是（）

A、 ${\begin{array}{l} x = 2 \\ y = 1 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x = 2 \\ y = - 1 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x = - 2 \\ y = 1 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} x = - 2 \\ y = - 1 \end{array}$

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6. 用加减消元法解方程组 ${\begin{cases} 5 x - 2 y = 3 ① \\ x + 2 y = - 1 ② \end{cases}$ ，下列做法正确的是（　　）

A、①+② B、①﹣② C、①+②×5 D、①×5﹣②

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7. 若 ${\begin{array}{l} x = 1 \\ y = 2 \end{array}$ 是方程组 ${\begin{array}{l} a x + b y = 1 \\ b x + a y = 7 \end{array}$ 的解，则 $a^{2} - b^{2}$ 的值为（）

A、 $- \frac{35}{3}$ B、 $\frac{35}{3}$ C、 $- 16$ D、16

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8. 已知关于x，y的方程组 ${\begin{array}{l} m x + n y = 7 \\ 2 m x - 3 n y = 4 \end{array}$ 的解为 ${\begin{array}{l} x = 1 \\ y = 2 \end{array}$ ，则 $3 m - 4 n =$ （）．

A、3 B、 $- 3$ C、5 D、11

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9. 已知关于x ， y的方程组 ${\begin{array}{l} x + y = a + 4 \\ x - 2 y = 4 a - 2 \end{array}$ 给出下列结论：
①当 $a = 3$ 时，方程组的解也是 $x + y = 2 a + 1$ 的解；②无论 $a$ 取何值，x ， y的值不可能是互为相反数：③x ， y都为自然数的解有4对；④若 $2 x + y = 9$ ，则 $a = 1$ .其中正确的有（）

A、①③④ B、②③④ C、①②③ D、①②④

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10. 对实数x、y定义一种新运算T ，规定： $T (x, y) = a x y + b x - 4$ （其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算.例如： $T (0, 1) = a \times 0 \times 1 + b \times 0 - 4 = - 4$ .若 $T (2, 1) = 2$ ， $T (- 1, 2) = - 8$ ，则下列结论正确的个数为（）
① $a = 1$ ， $b = 2$ ；②若 $T (m, n) = 0$ ，（ $n \neq - 2$ ），则 $m = \frac{4}{n + 2}$ ；
③若 $T (m, n) = 0$ ，则m、n有且仅有3组整数解；
④若 $T (k x, y) = T (k y, x)$ 对任意有理数x、y都成立，则 $k = 1$ .

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题（每题4分，共24分）

11. 已知 ${(x - 3)}^{2} + | 2 x - 3 y - 3 | = 0$ ，则 $y =$ .

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12. 若关于x、y的方程组 ${\begin{array}{l} a x + b y = c \\ m x + n y = d \end{array}$ 的解为 ${\begin{array}{l} x = 1 \\ y = 2 \end{array}$ ，则方程组 ${\begin{array}{l} a (x - 1) - 3 b y = 3 c \\ m (x - 1) - 3 n y = 3 d \end{array}$ 的解是.

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13. 如果 $5 x^{3 m - 2 n} - 2 y^{n - m} + 11 = 0$ 是二元一次方程时，则 $m =$ ， $n =$ ．

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14. 关于x ， y的方程组 ${\begin{array}{l} a^{2} x + b^{2} y = 1 + 2 a b \\ b^{2} x + a^{2} y = 1 - 2 a b \end{array}$ 的解为 ${\begin{array}{l} x = 2 \\ y = 1 \end{array}$ ，则①a²+b²＝．
②关于x ， y的方程组 ${\begin{array}{l} a^{2} (x - 1) + b^{2} (y - 1) = \frac{1}{2} + a b \\ b^{2} (x - 1) + a^{2} (y - 1) = \frac{1}{2} - a b \end{array}$ 的解为．

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15. 已知关于x ， y的方程组 ${\begin{array}{l} 2 x + 3 y = k \\ 3 x + 2 y = k + 1 \end{array}$ 的解的和是 $k - 1$ ，则 $k =$ .

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16. 对 $x$ ， $y$ 定义一种新运算 $F$ ，规定： $F (x ， y) = (m x + n y) (3 x - y)$ （其中 $m$ ， $n$ 均为非零常数）.例如： $F (1 ， 1) = 2 m + 2 n$ ， $F (- 1 ， 0) = 3 m$ .当 $F (1 ， - 1) = - 8$ ， $F (1 ， 2) = 13$ ，则 $F (x ， y) =$ ；当 $x^{2} \neq y^{2}$ 时， $F (x ， y) = F (y ， x)$ 对任意有理数 $x$ ， $y$ 都成立，则 $m$ ， $n$ 满足的关系式是.

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三、计算题（共3题，共18题）

17. 解方程组：

(1)、 ${\begin{array}{l} x = y - 1 ① \\ x + 3 y = 3 ② \end{array}$

(2)、 ${\begin{array}{l} 4 x + 3 y = 1 ① \\ 3 x - 2 y = 5 ② \end{array}$

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18. 解方程组：

(1)、 ${\begin{array}{l} x - 5 y = - 3 \\ - 4 x + y = - 3 \end{array}$

(2)、 ${\begin{array}{l} 3 (x - 1) = 5 + y \\ 5 (y - 1) = 3 (x + 5) \end{array}$

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19. 解下列方程组：

(1)、 ${\begin{cases} \frac{2 x + 3 y}{4} + \frac{2 x - 3 y}{3} = 7 \\ \frac{2 x + 3 y}{3} + \frac{2 x - 3 y}{2} = 8 \end{cases}$

(2)、 ${\begin{cases} | x - y | = x + y - 2 \\ | x + y | = x + 2 \end{cases}$

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四、解答题（共4题，共38分）

20. 已知关于x，y的二元一次方程组 ${\begin{array}{l} x + y = 3 m + 3 \\ x - y = 5 - m \end{array}$ .

(1)、若x，y互为相反数，求m的值；

(2)、若x是y的2倍，求原方程组的解．

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21. 阅读下列材料，并解决后面的问题．
材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J.Nplcr，1550-1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr，1707-1783）才发现指数与对数之间的联系．我们知道，n个相同的因数a相乘 $a \cdot a \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot a$ 记为 $a^{n}$ ，如 $2^{3} = 8$ ，此时，3叫做以2为底8的对数，记为 $l o g_{2} 8$ ，即 $l o g_{2} 8 = 3$ ．
一般地，若 $a^{n} = b (a > 0 且 a \neq 1, b > 0)$ ，则n叫做以a为底b的对数，记为 $l o g_{a} b$ ，即 $l o g_{a} b = n$ ．如 $3^{4} = 81$ ，则4叫做以3为底81的对数，记为 $l o g_{3} 81$ ，即 $l o g_{3} 81 = 4$ ．

(1)、计算下列各对数的值： $l o g_{3} 9 =$ ， $l o g_{3} 27 =$ ， $l o g_{2} 64 =$ ；

(2)、已知x ， y的值满足： $l o g_{x} 16 = 4$ ， $l o g_{x} (\frac{1}{2} x + 5 y) = 2$ ，求x ， y的值；

(3)、已知x ， y为正整数，且满足： $l o g_{5} (- 5 x + 10 y) = 2$ ， $l o g_{7} (x + n y) = 1$ ，当n为正整数时，求满足条件的x ， y的值．

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22. 已知关于 $x ， y$ 的方程组 $\{\begin{array}{l} x - y = 2 a + 1 ， \\ 2 x + 3 y = 9 a - 8 ， \end{array}$ ，其中 $a$ 是实数．

(1)、若 $x = y$ ，求 $a$ 的值．

(2)、若方程组的解也是方程 $x - 5 y = 3$ 的一个解，求 $(a - 4)^{2023}$ 的值．

(3)、求 $k$ 为何值时，代数式 $x^{2} - k x y + 9 y^{2}$ 的值与 $a$ 的取值无关，始终是一个定值，求出这个定值．

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23.

(1)、若关于 a，b的方程组 $\{\begin{matrix} 2 a - 3 b = 4.7 ， \\ 3 a + 5 b = 19.4 \end{matrix}$ 的解为 $\{\begin{matrix} a = 4.3 ， \\ b = 1.3 ， \end{matrix}$
则直接写出关于 x，y的方程组 $\{\begin{matrix} 2 (x - 1) - 3 (y + 1) = 4.7 ， \\ 3 (x - 1) + 5 (y + 1) = 19.4 \end{matrix}$ 的解.

(2)、若关于x，y的方程组 $\{\begin{matrix} 5 x + 3 a y = 16 ， \\ - b x + 4 y = 15 \end{matrix}$ 其中 a，b 是常数）的解为 $\{\begin{matrix} x = 6 ， \\ y = 7 ， \end{matrix}$ 解方程组 $\{\begin{matrix} 5 (x + 1) + 3 a (x - 2 y) = 16 ， \\ - b (x + 1) + 4 (x - 2 y) = 15 . \end{matrix}$

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五、实践探究题（共10分）

24. 阅读感悟：
有些关于方程组的问题，需要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数x ， y满足3x﹣y＝5①，2x+3y＝7②，求x﹣4y和7x+5y的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x ， y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①+②×2可得7x+5y＝19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：

(1)、已知二元一次方程组 $\{\begin{array}{l} 2 x + 3 y = 17 \\ 3 x + 2 y = 13 \end{array}$ ，则x﹣y＝， x+y＝；

(2)、对于实数x ， y ，定义新运算：x*y＝ax﹣by+c ，其中a ， b ， c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3*5＝15，4*7＝28，那么求1*1的值．

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一、选择题（每题3分，共30分）

二、填空题（每题4分，共24分）

三、计算题（共3题，共18题）

四、解答题（共4题，共38分）

五、实践探究题（共10分）

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