【培优版】北师大版数学九上1.1菱形的性质与判定同步练习

试卷更新日期：2024-06-29 类型：同步测试

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一、选择题

1. 如图，等腰直角三角形 $A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A D ⊥ B C$ 于 $D$ ， $∠ A B C$ 的平分线分别交 $A C$ ， $A D$ 于 $E$ 、 $F$ 两点， $M$ 为 $E F$ 的中点，延长 $A M$ 交 $B C$ 于点 $N$ ，连接 $F N$ ， $N E$ ．下列结论：① $A E = A F$ ；② $A B^{2} = B M \cdot B E$ ；③ $△ A E F$ 是等边三角形；④ $B F = A N$ ；⑤四边形 $A E N F$ 是菱形，正确结论的序号是（）

A、②④⑤ B、①②③④⑤ C、①③④ D、①②④⑤

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2. 如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，点E为垂足，连接DF，则∠CDF为（）

A、80° B、70° C、65° D、60°

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3. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ B A D = 60 °$ ， O为对角线的交点.将菱形 $A B C D$ 绕点O逆时针旋转 $90 °$ 得到菱形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ ，两个菱形的公共点为E ， F ， G ， H.对八边形 $B F B^{'} G D H D^{'} E$ 给出下面四个结论：
①该八边形各边长都相等；
②该八边形各内角都相等；
③点O到该八边形各顶点的距离都相等；
④点O到该八边形各边所在直线的距离都相等.
上述结论中，所有正确结论的序号是( )

A、①③ B、①④ C、②③ D、②④

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4. 如图，菱形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $∠ A = 120 °$ ，点P ， Q ， K分别为线段 $B C ， C D ， B D$ 上的任意一点，则 $P K + Q K$ 的最小值为（）．

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$

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5. 如图，菱形 $A B C D$ 中， $∠ B A D = 60 °$ ， $A C$ 与 $B D$ 交于点 $O$ ， $E$ 为 $C D$ 延长线上的一点，且 $C D = D E$ ，连接 $B E$ 分别交 $A C$ ， $A D$ 于点 $F$ 、 $G$ ，连接 $O G$ ，则下列结论：（）

$① O G = \frac{1}{2} A B$ ；
$②$ 与 $△ E G D$ 全等的三角形共有 $2$ 个；
$③ S_{四边形 O D E G} = S_{四边形 A B O G}$ ；

$④$ 由点 $A$ 、 $B$ 、 $D$ 、 $E$ 构成的四边形是菱形．

A、 $① ③ ④$ B、 $① ④$ C、 $① ② ③$ D、 $② ③ ④$

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二、填空题

6. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $∠ B = 30 °$ ， $P$ 为 $A D$ 边上一动点，将 $△ P C D$ 沿 $C P$ 折叠为 $△ P C D'$ ， $E$ 为 $A B$ 边上一点， $B E = C E$ ，则 $D' E$ 的最小值为．

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7. 如图，在菱形ABCD中，∠C=60°，AB=2，延长BA至点E，使AE=1，现以点D为圆心，以DE的长为半径画弧，与直线BC相交于点M，则CM的长为.

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8. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E为AB的中点，点F在OD上，DF=OF，连接EF交OA于点G，若OG=1，连接CE， S△BEC＝12，则线段CE的长为．

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9. 已知直线l的解析式为y＝2x＋2，菱形AOBA₁ ， AO₁B₁A₂ ， A₂O₂B₂A₃ ， …按图所示的方式放置，顶点A ， A₁ ， A₂ ， A₃ ， …均在直线l上，顶点O ， O₁ ， O₂ ， …均在x轴上，则点 $A_{n}$ 的坐标是．

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10. 如图，菱形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， M为边 $A B$ 上的一点，将菱形沿 $D M$ 折叠后，点A恰好落在 $B C$ 的中点E处，则 $A M =$ ．

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三、解答题

11. 如图，菱形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 120 °$ ， E为边 $A B$ 上一点，点F在 $D B$ 的延长线上， $E F = E D$ ，作点F关于直线 $A B$ 的对称点G ，连接 $E G$ ．

(1)、依题意补全图形，并证明 $∠ A D E = ∠ F E B$ ；

(2)、用等式表示 $A E ， C G ， D F$ 之间的数量关系，并证明．

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12. 如图，在菱形ABCD中，F为边AB的中点，FC与对角线BD相交于点C，过点G作GE⊥BC于点E，∠ADB=∠FCB．求证：

(1)、AB=2BE；

(2)、DG=CF+GE．

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13. 如图，在 $□ A B C D$ 中，CE平分 $∠ B C D$ ，交AD于点E，DF平分 $∠ A D C$ ，交BC于点F，CE与DF交于点 $P$ ，连结EF，BP

(1)、求证：四边形CDEF是菱形.

(2)、若AB=2，BC=3，∠A=120°，求BP的值.

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14. 如图，在菱形ABCD中，∠C=60°，O为BD的中点，点E在AD上，点F在AB的延长线上，且∠EOF=120°．求证：AE+BF= $\frac{1}{2}$ AB．

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15. 如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E．

(1)、如图1，若AB=AD，EC=1，∠BAE=30°，求AD的长；

(2)、如图2，若AD=AE，连接DE，过点A作AF⊥AB交ED于点F，在AB上截取AG=AF，连接DG，交AE于点N，∠DAE的角平分线AH与GD相交于点H，求证：GH=DH；

(3)、在（2）的条件下，若AN：AD＝2：5 ，AH=2 $\sqrt{2}$ ，请直接写出点C到直线DE的距离．

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【培优版】北师大版数学九上1.1菱形的性质与判定 同步练习

一、选择题

二、填空题

三、解答题

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