贵州省2024年中考数学试卷

试卷更新日期：2024-06-28 类型：中考真卷

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一、选择题（本大题共12题，每题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂）

1. 下列有理数中最小的数是（）

A、 $- 2$ B、0 C、2 D、4

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2. “黔山秀水”写成下列字体，可以看作是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 计算 $2 a + 3 a$ 的结果正确的是（）

A、 $5 a$ B、 $6 a$ C、 $5 a^{2}$ D、 $6 a^{2}$

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4. 不等式 $x < 1$ 的解集在数轴上表示正确的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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5. 一元二次方程 $x^{2} - 2 x = 0$ 的解是（）

A、 $x_{1} = 3$ ， $x_{2} = 1$ B、 $x_{1} = 2$ ， $x_{2} = 0$ C、 $x_{1} = 3$ ， $x_{2} = - 2$ D、 $x_{1} = - 2$ ， $x_{2} = - 1$

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6. 为培养青少年的科学态度和科学思维，某校创建了“科技创新”社团．小红将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“创”“新”的坐标分别为 $(- 2, 0)$ ， $(0, 0)$ ，则“技”所在的象限为（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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7. 为了解学生的阅读情况，某校在4月23日世界读书日，随机抽取100名学生进行阅读情况调查，每月阅读两本以上经典作品的有20名学生，估计该校800名学生中每月阅读经典作品两本以上的人数为（）

A、100人 B、120人 C、150人 D、160人

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8. 如图， $▱ A B C D$ 的对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$ ，则下列结论一定正确的是（）

A、 $A B = B C$ B、 $A D = B C$ C、 $O A = O B$ D、 $A C ⊥ B D$

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9. 小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4，下列说法正确的是（）

A、小星定点投篮1次，不一定能投中 B、小星定点投篮1次，一定可以投中 C、小星定点投篮10次，一定投中4次 D、小星定点投篮4次，一定投中1次

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10. 如图，在扇形纸扇中，若 $∠ A O B = 150 °$ ， $O A = 24$ ，则 $\hat{A B}$ 的长为（）

A、 $30 π$ B、 $25 π$ C、 $20 π$ D、 $10 π$

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11. 小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左右两边分别放入“■”“●”“▲”三种物体，如图所示，天平都保持平衡．若设“■”与“●”的质量分别为 $x$ ， $y$ ，则下列关系式正确的是（）

A、 $x = y$ B、 $x = 2 y$ C、 $x = 4 y$ D、 $x = 5 y$

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12. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的部分图象与 $x$ 轴的一个交点的横坐标是 $- 3$ ，顶点坐标为 $(- 1, 4)$ ，则下列说法正确的是（）

A、二次函数图象的对称轴是直线 $x = 1$ B、二次函数图象与 $x$ 轴的另一个交点的横坐标是2 C、当 $x < - 1$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而减小 D、二次函数图象与 $y$ 轴的交点的纵坐标是3

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二、填空题（本大题共4题，每题4分，共16分）

13. 计算 $\sqrt{2} \times \sqrt{3}$ 的结果是．

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14. 如图，在 $Δ A B C$ 中，以点 $A$ 为圆心，线段 $A B$ 的长为半径画弧，交 $B C$ 于点 $D$ ，连接 $A D$ ．若 $A B = 5$ ，则 $A D$ 的长为．

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15. 在元朝朱世杰所著的《算术启蒙》中，记载了一道题，大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，则快马追上慢马需要的天数是．

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16. 如图，在菱形 $A B C D$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别是 $B C$ ， $C D$ 的中点，连接 $A E$ ， $A F$ ．若 $s i n ∠ E A F = \frac{4}{5}$ ， $A E = 5$ ，则 $A B$ 的长为．

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三、解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17.

(1)、在① $2^{2}$ ， ② $| - 2 |$ ， ③ $(- 1)^{0}$ ， ④ $\frac{1}{2} \times 2$ 中任选3个代数式求和；

(2)、先化简，再求值： $(x^{2} - 1) \cdot \frac{1}{2 x + 2}$ ，其中 $x = 3$ ．

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18. 已知点 $(1, 3)$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象上．

(1)、求反比例函数的表达式；

(2)、点 $(- 3, a)$ ， $(1, b)$ ， $(3, c)$ 都在反比例函数的图象上，比较 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小，并说明理由．

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19. 根据《国家体质健康标准》规定，七年级男生、女生50米短跑时间分别不超过7.7秒、8.3秒为优秀等次．某校在七年级学生中挑选男生、女生各5人进行集训，经多次测试得到10名学生的平均成绩（单位：秒）记录如下：
男生成绩：7.61，7.38，7.65，7.38，7.38
女生成绩：8.23，8.27，8.16，8.26，8.32
根据以上信息，解答下列问题：

(1)、男生成绩的众数为，女生成绩的中位数为；

(2)、判断下列两位同学的说法是否正确．

(3)、教练从成绩最好的3名男生（设为甲，乙，丙）中，随机抽取2名学生代表学校参加比赛，请用画树状图或列表的方法求甲被抽中的概率．

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20. 如图，四边形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$ ， $A D / / B C$ ， $∠ A B C = 90 °$ ，有下列条件：
① $A B / / C D$ ， ② $A D = B C$ ．

(1)、请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形 $A B C D$ 是矩形；

(2)、在（1）的条件下，若 $A B = 3$ ， $A C = 5$ ，求四边形 $A B C D$ 的面积．

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21. 为增强学生的劳动意识，养成劳动的习惯和品质，某校组织学生参加劳动实践．经学校与劳动基地联系，计划组织学生参加种植甲、乙两种作物．如果种植3亩甲作物和2亩乙作物需要27名学生，种植2亩甲作物和2亩乙作物需要22名学生．
根据以上信息，解答下列问题：

(1)、种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要多少名学生？

(2)、种植甲、乙两种作物共10亩，所需学生人数不超过55人，至少种植甲作物多少亩？

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22. 综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习．
【实验操作】
第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿 $A$ 处投射到底部 $B$ 处，入射光线与水槽内壁 $A C$ 的夹角为 $∠ A$ ；
第二步：向水槽注水，水面上升到 $A C$ 的中点 $E$ 处时，停止注水．（直线 $N N^{'}$ 为法线， $A O$ 为入射光线， $O D$ 为折射光线． $)$
【测量数据】
如图，点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ ， $F$ ， $O$ ， $N$ ， $N^{'}$ 在同一平面内，测得 $A C = 20 c m$ ， $∠ A = 45 °$ ，折射角 $∠ D O N = 32 °$ ．
【问题解决】
根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：

(1)、求 $B C$ 的长；

(2)、求 $B$ ， $D$ 之间的距离（结果精确到 $0.1 c m)$ ．
（参考数据： $s i n 32 ° \approx 0.52$ ， $c o s 32 ° \approx 0.84$ ， $t a n 32 ° \approx 0.62)$

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23. 如图， $A B$ 为半圆 $O$ 的直径，点 $F$ 在半圆上，点 $P$ 在 $A B$ 的延长线上， $P C$ 与半圆相切于点 $C$ ，与 $O F$ 的延长线相交于点 $D$ ， $A C$ 与 $O F$ 相交于点 $E$ ， $D C = D E$ ．

(1)、写出图中一个与 $∠ D E C$ 相等的角：；

(2)、求证： $O D ⊥ A B$ ；

(3)、若 $O A = 2 O E$ ， $D F = 2$ ，求 $P B$ 的长．

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24. 某超市购入一批进价为10元 $/$ 盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量 $y$ （盒）与销售单价 $x$ （元）是一次函数关系，下表是 $y$ 与 $x$ 的几组对应值．
销售单价 $x /$ 元
$\dots$
12
14
16
18
20
$\dots$
销售量 $y /$ 盒
$\dots$
56
52
48
44
40
$\dots$

(1)、求 $y$ 与 $x$ 的函数表达式；

(2)、糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？

(3)、若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为 $m$ 元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求 $m$ 的值．

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25. 综合与探究：如图， $∠ A O B = 90 °$ ，点 $P$ 在 $∠ A O B$ 的平分线上， $P A ⊥ O A$ 于点 $A$ ．

(1)、【操作判断】
如图①，过点 $P$ 作 $P C ⊥ O B$ 于点 $C$ ，根据题意在图①中画出 $P C$ ，图中 $∠ A P C$ 的度数为度；

(2)、【问题探究】
如图②，点 $M$ 在线段 $A O$ 上，连接 $P M$ ，过点 $P$ 作 $P N ⊥ P M$ 交射线 $O B$ 于点 $N$ ，求证： $O M + O N = 2 P A$ ；

(3)、【拓展延伸】
点 $M$ 在射线 $A O$ 上，连接 $P M$ ，过点 $P$ 作 $P N ⊥ P M$ 交射线 $O B$ 于点 $N$ ，射线 $N M$ 与射线 $P O$ 相交于点 $F$ ，若 $O N = 3 O M$ ，求 $\frac{O P}{O F}$ 的值．

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销售单价 $x /$ 元	$\dots$	12	14	16	18	20	$\dots$
销售量 $y /$ 盒	$\dots$	56	52	48	44	40	$\dots$