河北省2024年中考数学试卷

试卷更新日期：2024-06-28 类型：中考真卷

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一、选择题（本大题共16个小题，共38分．1～6小题各3分，7～16小题各2分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 如图显示了某地连续5天的日最低气温，则能表示这5天日最低气温变化情况的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 下列运算正确的是（）

A、a⁷﹣a³＝a⁴ B、3a²•2a²＝6a² C、（﹣2a）³＝﹣8a³ D、a⁴÷a⁴＝a

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3. 如图，AD与BC交于点O ， △ABO和△CDO关于直线PQ对称，点A ， B的对称点分别是点C ， D ．下列不一定正确的是（）

A、AD⊥BC B、AC⊥PQ C、△ABO≌△CDO D、AC∥BD

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4. 下列数中，能使不等式5x﹣1＜6成立的x的值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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5. 观察图中尺规作图的痕迹，可得线段BD一定是△ABC的（）

A、角平分线 B、高线 C、中位线 D、中线

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6. 如图是由11个大小相同的正方体搭成的几何体，它的左视图是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 节能环保已成为人们的共识．淇淇家计划购买500度电，若平均每天用电x度，则能使用y天．下列说法错误的是（）

A、若x＝5，则y＝100 B、若y＝125，则x＝4 C、若x减小，则y也减小 D、若x减小一半，则y增大一倍

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8. 若a ， b是正整数，且满足 $\underset{8 个 2^{a} 相加}{\underset{︸}{2^{a} + 2^{a} + ⋯ + 2^{a}}} = \underset{8 个 2^{b} 相乘}{\underset{︸}{2^{b} \times 2^{b} \times ⋯ \times 2^{b}}}$ ，则a与b的关系正确的是（）

A、a+3＝8b B、3a＝8b C、a+3＝b⁸ D、3a＝8+b

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9. 淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则a＝（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ ﹣1 C、 $\sqrt{2}$ +1 D、1或 $\sqrt{2}$ +1

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10. 下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程：

已知：如图，△ABC中，AB＝AC ， AE平分△ABC的外角∠CAN ，点M是AC的中点，连接BM并延长交AE于点D ，连接CD ．

求证：四边形ABCD是平行四边形．

证明：∵AB＝AC ， ∴∠ABC＝∠3．

∵∠CAN＝∠ABC+∠3，∠CAN＝∠1+∠2，∠1＝∠2，

∴① ▲ ．

又∵∠4＝∠5，MA＝MC ，

∴△MAD≌△MCB（② ▲ ）．

∴MD＝MB ． ∴四边形ABCD是平行四边形．

若以上解答过程正确，①，②应分别为（）

A、∠1＝∠3，AAS B、∠1＝∠3，ASA C、∠2＝∠3，AAS D、∠2＝∠3，ASA

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11. 直线l与正六边形ABCDEF的边AB ， EF分别相交于点M ， N ，如图所示，则α+β＝（）

A、115° B、120° C、135° D、144°

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12. 在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”．如图，矩形ABCD位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是（）

A、点A B、点B C、点C D、点D

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13. 已知A为整式，若计算 $\frac{A}{x y + y^{2}} - \frac{y}{x^{2} + x y}$ 的结果为 $\frac{x - y}{x y}$ ，则A＝（）

A、x B、y C、x+y D、x﹣y

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14. 扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴．如图，某折扇张开的角度为120°时，扇面面积为S ，该折扇张开的角度为n°时，扇面面积为S_n ，若m＝ $\frac{S_{n}}{S}$ ，则m与n关系的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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15. “铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示132×23，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是（）

A、“20”左边的数是16 B、“20”右边的“■”表示5 C、运算结果小于6000 D、运算结果可以表示为4100a+1025

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16. 平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度．
例：“和点”P（2，1）按上述规则连续平移3次后，到达点P₃（2，2），其平移过程如下： $\begin{array}{l} P (2, 1) \\ 余 0 \end{array} \overset{右}{\to} \begin{array}{l} P_{1} (3, 1) \\ 余 1 \end{array} \overset{上}{\to} \begin{array}{l} P_{2} (3, 2) \\ 余 2 \end{array} \overset{右}{\to} P_{3} (2, 2)$ ．
若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点Q₁₆（﹣1，9），则点Q的坐标为（）

A、（6，1）或（7，1） B、（15，﹣7）或（8，0） C、（6，0）或（8，0） D、（5，1）或（7，1）

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二、填空题（本大题共3个小题，共10分．17小题2分，18～19小题各4分，每空2分）

17. 某校生物小组的9名同学各用100粒种子做发芽实验，几天后观察并记录种子的发芽数分别为：89，73，90，86，75，86，89，95，89，以上数据的众数为．

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18. 已知a ， b ， n均为正整数．

(1)、若n＜ $\sqrt{10}$ ＜n+1，则n＝；

(2)、若n﹣1＜ $\sqrt{a}$ ＜n ， n＜ $\sqrt{b}$ ＜n+1，则满足条件的a的个数总比b的个数少个．

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19. 如图，△ABC的面积为2，AD为BC边上的中线，点A ， C₁ ， C₂ ， C₃是线段CC₄的五等分点，点A ， D₁ ， D₂是线段DD₃的四等分点，点A是线段BB₁的中点．

(1)、△AC₁D₁的面积为；

(2)、△B₁C₄D₃的面积为．

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三、解答题（本大题共7个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

20. 如图，有甲、乙两条数轴．甲数轴上的三点A ， B ， C所对应的数依次为﹣4，2，32，乙数轴上的三点D ， E ， F所对应的数依次为0，x ， 12．

(1)、计算A ， B ， C三点所对应的数的和，并求 $\frac{A B}{A C}$ 的值；

(2)、当点A与点D上下对齐时，点B ， C恰好分别与点E ， F上下对齐，求x的值．

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21. 甲、乙、丙三张卡片正面分别写有a+b ， 2a+b ， a﹣b ，除正面的代数式不同外，其余均相同．

(1)、将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，当a＝1，b＝﹣2时，求取出的卡片上代数式的值为负数的概率；

(2)、将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，放回后重新洗匀，再随机抽取一张．请在表格中补全两次取出的卡片上代数式之和的所有可能结果（化为最简），并求出和为单项式的概率．
第一次
和
第二次
a+b
2a+b
a﹣b
a+b
2a+2b
2a
2a+b
a﹣b
2a

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22. 中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚，淇淇在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离BQ＝4m ，仰角为α；淇淇向前走了3m后到达点D ，透过点P恰好看到月亮，仰角为β，如图是示意图．已知，淇淇的眼睛与水平地面BQ的距离AB＝CD＝1.6m ，点P到BQ的距离PQ＝2.6m ， AC的延长线交PQ于点E ．（注：图中所有点均在同一平面）

(1)、求β的大小及tanα的值；

(2)、求CP的长及sin∠APC的值．

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23. 情境图1是由正方形纸片去掉一个以中心O为顶点的等腰直角三角形后得到的．该纸片通过裁剪，可拼接为图2所示的钻石型五边形，数据如图所示．
（说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余）
操作嘉嘉将图1所示的纸片通过裁剪，拼成了钻石型五边形．
如图3，嘉嘉沿虚线EF ， GH裁剪，将该纸片剪成①，②，③三块，再按照图4所示进行拼接．根据嘉嘉的剪拼过程，解答问题：

(1)、直接写出线段EF的长；

(2)、直接写出图3中所有与线段BE相等的线段，并计算BE的长．
探究淇淇说：将图1所示纸片沿直线裁剪，剪成两块，就可以拼成钻石型五边形．
请你按照淇淇的说法设计一种方案：在图5所示纸片的BC边上找一点P（可以借助刻度尺或圆规），画出裁剪线（线段PQ）的位置，并直接写出BP的长．

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24. 某公司为提高员工的专业能力，定期对员工进行技能测试．考虑多种因素影响，需将测试的原始成绩x（分）换算为报告成绩y（分）．已知原始成绩满分150分，报告成绩满分100分、换算规则如下：
当0≤x＜p时， $y = \frac{80 x}{p}$ ；
当p≤x≤150时， $y = \frac{20 (x - p)}{150 - p} + 80$ ．
（其中p是小于150的常数，是原始成绩的合格分数线，80是报告成绩的合格分数线）公司规定报告成绩为80分及80分以上（即原始成绩为p及p以上）为合格．

(1)、甲、乙的原始成绩分别为95分和130分，若p＝100，求甲、乙的报告成绩；

(2)、丙、丁的报告成绩分别为92分和64分，若丙的原始成绩比丁的原始成绩高40分，请推算p的值；

(3)、下表是该公司100名员工某次测试的原始成绩统计表：
原始成绩（分）
95
100
105
110
115
120
125
130
135
140
145
150
人数
1
2
2
5
8
10
7
16
20
15
9
5
①直接写出这100名员工原始成绩的中位数；
②若①中的中位数换算成报告成绩为90分，直接写出该公司此次测试的合格率．

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25. 已知⊙O的半径为3，弦MN＝2 $\sqrt{5}$ ． △ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝3 $\sqrt{2}$ ．在平面上，先将△ABC和⊙O按图1位置摆放（点B与点N重合，点A在⊙O上，点C在⊙O内），随后移动△ABC ，使点B在弦MN上移动，点A始终在⊙O上随之移动．设BN＝x ．

(1)、当点B与点N重合时，求劣弧 $\hat{A N}$ 的长；

(2)、当OA∥MN时，如图2，求点B到OA的距离，并求此时x的值；

(3)、设点O到BC的距离为d ．
①当点A在劣弧 $\hat{A N}$ 上，且过点A的切线与AC垂直时，求d的值；
②直接写出d的最小值．

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26. 如图，抛物线C₁：y＝ax²﹣2x过点（4，0），顶点为Q ．抛物线C₂：y＝﹣ $\frac{1}{2}$ （x﹣t）²+ $\frac{1}{2}$ t²﹣2（其中t为常数，且t＞2），顶点为P ．

(1)、直接写出a的值和点Q的坐标．

(2)、嘉嘉说：无论t为何值，将C₁的顶点Q向左平移2个单位长度后一定落在C₂上．
淇淇说：无论t为何值，C₂总经过一个定点．
请选择其中一人的说法进行说理．

(3)、当t＝4时，
①求直线PQ的解析式；
②作直线l∥PQ ，当l与C₂的交点到x轴的距离恰为6时，求l与x轴交点的横坐标．

(4)、设C₁与C₂的交点A ， B的横坐标分别为x_A ， x_B ，且x_A＜x_B ，点M在C₁上，横坐标为m（2≤m≤x_B）．点N在C₂上，横坐标为n（x_A≤n≤t），若点M是到直线PQ的距离最大的点，最大距离为d ，点N到直线PQ的距离恰好也为d ，直接用含t和m的式子表示n ．

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原始成绩（分）	95	100	105	110	115	120	125	130	135	140	145	150
人数	1	2	2	5	8	10	7	16	20	15	9	5

第一次和第二次	a+b	2a+b	a﹣b
a+b	2a+2b		2a
2a+b
a﹣b	2a