山西省2024年中考数学试卷

试卷更新日期：2024-06-28 类型：中考真卷

进入出卷网下载

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）

1. 中国空间站位于距离地面约 $400 k m$ 的太空环境中．由于没有大气层保护，在太阳光线直射下，空间站表面温度可高于零上 $15 0^{°} C$ ，其背阳面温度可低于零下 $10 0^{°} C$ ．若零上 $15 0^{°} C$ 记作 $+ 15 0^{°} C$ ，则零下 $10 0^{°} C$ 记作（）

A、 $+ 10 0^{°} C$ B、 $- 10 0^{°} C$ C、 $+ 5 0^{°} C$ D、 $- 5 0^{°} C$

查看试题解析
2. 1949年，伴随着新中国的诞生，中国科学院（简称“中科院”）成立．下列是中科院部分研究所的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
3. 下列运算正确的是（）

A、 $2 m + n = 2 m n$ B、 $m^{6} \div m^{2} = m^{3}$ C、 $(- m n)^{2} = - m^{2} n^{2}$ D、 $m^{2} \cdot m^{3} = m^{5}$

查看试题解析
4. 斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
5. 一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力 $G$ 的方向竖直向下，支持力 $F_{1}$ 的方向与斜面垂直，摩擦力 $F_{2}$ 的方向与斜面平行．若斜面的坡角 $α = 2 5^{°}$ ，则摩擦力 $F_{2}$ 与重力 $G$ 方向的夹角 $β$ 的度数为（）

A、 $15 5^{°}$ B、 $12 5^{°}$ C、 $11 5^{°}$ D、 $6 5^{°}$

查看试题解析
6. 已知点 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})$ 都在正比例函数 $y = 3 x$ 的图象上，若 $x_{1} < x_{2}$ ，则 $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 的大小关系是（）

A、 $y_{1} > y_{2}$ B、 $y_{1} < y_{2}$ C、 $y_{1} = y_{2}$ D、 $y_{1} ⩾ y_{2}$

查看试题解析
7. 如图，已知 $△ A B C$ ，以AB为直径的 $⊙ O$ 交BC于点 $D$ ，与AC相切于点 $A$ ，连接OD．若 $∠ A O D = 8 0^{°}$ ，则 $∠ C$ 的度数为（）

A、 $3 0^{°}$ B、 $4 0^{°}$ C、 $4 5^{°}$ D、 $5 0^{°}$

查看试题解析
8. 一个不透明的盒子里装有一个红球、一个白球和一个绿球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出一个球，则两次摸到的球恰好有一个红球的概率是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{4}{9}$ D、 $\frac{5}{9}$

查看试题解析
9. 生物学研究表明，某种蛇在一定生长阶段，其体长 $y (c m)$ 是尾长 $x (c m)$ 的一次函数，部分数据如下表所示，则 $y$ 与 $x$ 之间的关系式为（）
尾长 $x (c m)$
6
8
10
体长 $y (c m)$
45.5
60.5
75.5

A、 $y = 7.5 x + 0.5$ B、 $y = 7.5 x - 0.5$ C、 $y = 15 x$ D、 $y = 15 x + 45.5$

查看试题解析
10. 在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，EG，FH交于点 $O$ ．若四边形ABCD的对角线相等，则线段EG与FH一定满足的关系为（）

A、互相垂直平分 B、互相平分且相等 C、互相垂直且相等 D、互相垂直平分且相等

查看试题解析

二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）

11. 比较大小： $\sqrt{6}$ 2（填“>”“<”或“=”）

查看试题解析
12. 黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边MN，PQ上，且 $A B / / N P$ ， “晋”字的笔画“、”的位置在AB的黄金分割点 $C$ 处，且 $\frac{B C}{A B} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ．若 $N P = 2 c m$ ，则BC的长为 $c m$ （结果保留根号）。

查看试题解析
13. 机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度 $v (m / s)$ 是载重后总质量 $m (k g)$ 的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量 $m = 60 k g$ 时，它的最快移动速度 $v = 6 m / s$ ；当其载重后总质量 $m = 90 k g$ 时，它的最快移动速度 $v =$ $m / s$ ．

查看试题解析
14. 如图1是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为花窗）。通过测量得到扇形AOB的圆心角为 $9 0^{°}, O A = 1 m$ ，点C，D分别为OA，OB的中点，则花窗的面积为 $m^{2}$

查看试题解析
15. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，AC为对角线， $A E ⊥ B C$ 于点 $E$ ，点 $F$ 是AE延长线上一点，且 $∠ A C F = ∠ C A F$ ，线段AB，CF的延长线交于点 $G$ ．若 $A B = \sqrt{5}, A D = 4, t a n ∠ A B C = 2$ ，则BG的长为．

查看试题解析

三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.

(1)、计算： $(- 6) \times \frac{1}{3} - {(\frac{1}{2})}^{- 2} + [(- 3) + (- 1)]$ ；

(2)、化简： $(\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x + 1}) \div \frac{x + 2}{x^{2} - 1}$ ．

查看试题解析
17. 为加强校园消防安全，学校计划购买某种型号的水基灭火器和干粉灭火器共50个．其中水基灭火器的单价为540元/个，干粉灭火器的单价为380元/个．若学校购买这两种灭火器的总价不超过21000元，则最多可购买这种型号的水基灭火器多少个?

查看试题解析
18. 为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，学校开展“科学小博士”知识竞赛。各班以小组为单位组织初赛，规定满分为10分，9分及以上为优秀．
数据整理：小夏将本班甲、乙两组同学（每组8人）初赛的成绩整理成如下的统计图．
数据分析：小夏对这两个小组的成绩进行了如下分析：

平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
方差
优秀率
甲组
7.625
a
7
4.48
37.5%
乙组
7.625
7
b
0.73
c
请认真阅读上述信息，回答下列问题：

(1)、填空： $a =$ ， $b =$ ， $c =$ ；

(2)、小祺认为甲、乙两组成绩的平均数相等，因此两个组成绩一样好．小夏认为小祺的观点比较片面，请结合上表中的信息帮小夏说明理由（写出两条即可）．

查看试题解析
19. 当下电子产品更新换代速度加快，废旧智能手机数量不断增加．科学处理废旧智能手机，既可减少环境污染，还可回收其中的可利用资源．据研究，从每吨废旧智能手机中能提炼出的白银比黄金多760克．已知从2.5吨废旧智能手机中提炼出的黄金，与从0.6吨废旧智能手机中提炼出的白银克数相等．求从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金与白银各多少克．

查看试题解析
20. 研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动．同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的3D扫描仪采集纪念碑的相关数据．
数据采集：如下图，点 $A$ 是纪念碑顶部一点，AB的长表示点 $A$ 到水平地面的距离．航模从纪念碑前水平地面的点 $M$ 处竖直上升，飞行至距离地面20米的点 $C$ 处时，测得点 $A$ 的仰角 $∠ A C D = 18 . 4^{°}$ ；然后沿CN方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角 $∠ N C D = 3 7^{°}$ ，当到达点 $A$ 正上方的点 $E$ 处时，测得 $A E = 9$ 米； $⋯ ⋯$
数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，E，A，B三点在同一直线上．请根据上述数据，计算纪念碑顶部点 $A$ 到地面的距离AB的长（结果精确到1米．参考数据： $s i n 3 7^{°} \approx 0.60$ ， $c o s 3 7^{°} \approx 0.80, t a n 3 7^{°} \approx 0.75, s i n 18 . 4^{°} \approx 0.32,$ $c o s 18 . 4^{°} \approx 0.95, t$ $a n 18 . 4^{°} \approx 0.33$ ）．

查看试题解析

21. 阅读与思考

下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务．

关于“等边半正多边形”的研究报告

博学小组

研究对象：等边半正多边形

研究思路：类比三角形、四边形，按“概念性质一判定”的路径，由一般到特殊进行研究．

研究方法：观察（测量、实验）一猜想一推理证明

研究内容：

【一般概念】对于一个凸多边形（边数为偶数），若其各边都相等，且相间的角相等、相邻的角不相等，我们称这个凸多边形为等边半正多边形．如图1，我们学习过的黄形（正方形除外）就是等边半正四边形．类似地，还有等边半正六边形、等边半正八边形……

【特例研究】根据等边半正多边形的定义，对等边半正六边形研究如下：

概念理解：如图2，如果六边形ABCDEF是等边半正六边形，那么 $A B = B C$ $= C D = D E = E F = F A, ∠ A = ∠ C = ∠ E, ∠ B = ∠ D = ∠ F$ ，且 $∠ A \neq ∠ B$ ．

性质探索：根据定义，探索等边半正六边形的性质，得到如下结论：

内角：等边半正六边形相邻两个内角的和为： ▲ °.

对角线：……

任务：

(1)、直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容；.

(2)、如图3，六边形ABCDEF是等边半正六边形．连接对角线AD，猜想

∠ B A D

与

∠ F A D

的数量关系，并说明理由；

(3)、如图4，已知

△ A C E

是正三角形，

⊙ O

是它的外接圆．请在图4中作一个等边半正六边形ABCDEF（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）.

查看试题解析

22. 综合与实践
问题情境：如图1，矩形MNKL是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段AB组成的封闭图形，点A，B在矩形的边MN上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案．
方案设计：如图 $2, A B = 6$ 米，AB的垂直平分线与抛物线交于点 $P$ ，与AB交于点 $O$ ，点 $P$ 是抛物线的顶点，且 $P O = 9$ 米．欣欣设计的方案如下：
第一步：在线段OP上确定点 $C$ ，使 $∠ A C B = 9 0^{°}$ ．用篱笆沿线段AC，BC分隔出 $△ A B C$ 区域，种植串串红；
第二步：在线段CP上取点 $F$ （不与C，P重合），过点F作AB的平行线，交抛物线于点D，E．用䈑笆沿DE，CF将线段AC，BC与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季．
方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步 $△ A B C$ 区域的分隔后，发现仅剩6米蓠笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定DE与CF的长．为此，欣欣在图2中以AB所在直线为 $x$ 轴，OP所在直线为 $y$ 轴建立平面直角坐标系，请按照她的方法解决问题：

(1)、在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式；

(2)、求6米材料恰好用完时DE与CF的长；

(3)、种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在AC，BC上．直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值．

查看试题解析
23. 综合与探究
问题情境：如图1，四边形ABCD是菱形，过点 $A$ 作 $A E ⊥ B C$ 于点 $E$ ，过点 $C$ 作 $C F ⊥ A D$ 于点 $F$ ．

(1)、猜想证明：判断四边形AECF的形状，并说明理由；

(2)、深入探究：将图1中的 $△ A B E$ 绕点 $A$ 逆时针旋转，得到 $△ A H G$ ，点E，B的对应点分别为点G，H.
①如图2，当线段AH经过点 $C$ 时，GH所在直线分别与线段AD，CD交于点M，N．猜想线段CH与MD的数量关系，并说明理由；
②当直线GH与直线CD垂直时，直线GH分别与直线AD，CD交于点M，N，直线AH与线段CD交于点 $Q$ ．若 $A B = 5, B E = 4$ ，直接写出四边形AMNQ的面积.

查看试题解析

	平均数（分）	中位数（分）	众数（分）	方差	优秀率
甲组	7.625	a	7	4.48	37.5%
乙组	7.625	7	b	0.73	c

尾长 $x (c m)$	6	8	10
体长 $y (c m)$	45.5	60.5	75.5