浙江省杭州市西湖区2024年中考三模数学考试试卷

试卷更新日期：2024-06-28 类型：中考模拟

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一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. -14的相反数是( )

A、 $14$ B、 $\frac{1}{14}$ C、 $- \frac{1}{14}$ D、 $1$

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2. 神舟十八号载人飞船于 $2024$ 年 $4$ 月 $25$ 日成功发射，经过大约 $6.5$ 个小时的飞行，成功与距离地球 $400000$ 米的中国空间站组合体完成了自主交会对接 $.$ 数据“ $400000$ 米”用科学记数法表示为( )

A、 $400 \times 10^{3}$ 米 B、 $4 \times 10^{4}$ 米 C、 $4 \times 10^{5}$ 米 D、 $4 \times 10^{6}$ 米

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3. 一个布袋里装有 $4$ 个只有颜不同的球，其中 $3$ 个红球， $1$ 个白球，从布袋里摸出 $1$ 个球，则摸到的球是白球的概率是( )

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{2}{3}$

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4. 某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量 $f$ 应不少于 $2.5 %$ ，蛋白质的含量 $p$ 应不少于 $2.3 % .$ 据此情境，可列不等式组为( )

A、 $\{\begin{array}{l} f \geq 2.5 % \\ p \geq 2.3 % \end{array}$ B、 $\{\begin{array}{l} f \leq 2.5 % \\ p \leq 2.3 % \end{array}$ C、 $\{\begin{array}{l} f < 2.5 % \\ p < 2.3 % \end{array}$ D、 $\{\begin{array}{l} f > 2.5 % \\ p > 2.3 % \end{array}$

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5. 如图，已知点 $E$ 为正方形 $A B C D$ 内一点， $△ A B E$ 为等边三角形，连结 $E D$ ， $E C$ ，则 $∠ D E C$ 的度数为( )

A、 $120 °$ B、 $150 °$ C、 $108 °$ D、 $135 °$

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6. 方程 $x^{2} + 2 x - m = 0$ 的一个根为 $2$ ，则另一个根为( )

A、 $3$ B、 $4$ C、 $- 3$ D、 $- 4$

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7. 如图，在▱ $A B C D$ 中， $1 < \frac{A B}{B C} < 2$ ， $∠ D A B$ ， $∠ A B C$ 的平分线分别交 $C D$ 于点 $E$ ， $F$ ， $A E$ 与 $B F$ 交于点 $G .$ 若 $D F = 3$ ， $E F = 2$ ， $A G = k G E$ ，则 $k =$ ( )

A、 $2$ B、 $3$ C、 $4$ D、 $5$

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8. 如图，正比例函数 $y = m x (m \neq 0, m$ 为常数 $)$ 图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0, k$ 为常数 $)$ 图象交于 $A$ ， $B$ 两点， $A H ⊥ x$ 轴于点 $H$ ，连接 $B H$ 交 $y$ 轴于点 $G$ ，若 $S_{△ O G B} = 3$ ，则 $k$ 的值为( )

A、 $- 3$ B、 $- 6$ C、 $- 9$ D、 $- 12$

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9. 一组数据： $2$ ， $3$ ， $4$ ， $x$ ， $y$ 的平均数是 $3$ ，方差是 $0.8$ ，则 $x y =$ ( )

A、 $6$ B、 $7$ C、 $8$ D、 $9$

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10. 已知二次函数 $y_{1} = (x + m) (x - m - 3) (m$ 为常数 $)$ 图象上两个不同的点 $A (x_{1}, p)$ ， $B (x_{2}, q)$ ，且 $x_{1} < x_{2} .$ 有以下四个结论： $①$ 该二次函数图象与 $x$ 轴一定有两个不同的交点； $②$ 若一次函数 $y_{2} = k x + b (k \neq 0)$ 经过点 $A$ ， $B$ ，则当 $x_{1} < x < x_{2}$ 时，总有 $y_{1} < y_{2}$ ； $③$ 当 $p = q$ 时， $x_{1} + x_{2} = 3$ ； $④$ 当 $p < q$ 时， $x_{1} + x_{2} < 3$ ；以上结论中正确的是( )

A、 $① ②$ B、 $② ③$ C、 $③ ④$ D、 $② ④$

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二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

11. 写出一个能使 $\sqrt{x - 1}$ 有意义的 $x$ 的值．

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12. 因式分解：a²-9=.

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13. 已知 $a b \neq 0$ ，若 $5 a b = a + b$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} =$ ．

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14. 如图，直线 $A B$ 交 $⊙ O$ 于 $C$ ， $B$ 两点，若 $A O ⊥ B O$ ，且 $\frac{A O}{4} = \frac{B O}{3} = 1$ ，则 $B C =$ ．

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15. 如图，点 $B$ 位于点 $A$ 的北偏东 $60 °$ 相距 $2 k m$ 处，点 $D$ 在点 $B$ 的正北方向，且在点 $A$ 的东北方向，则点 $D$ 到点 $A$ 的距离为 $k m$ ．

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16. “幂势既同，则积不容异”是我国古代数学家祖暅提出的体积计算原理，称作祖暅原理 $.$ 利用祖暅原理可以得到一种求面积的方法：“夹在两条平行直线之间的两个平面图形，被平行于这两条平行线的任意直线所截，如果被截得的两条线段长总相等，那么这两个平面图形的面积相等”．

(1)、如图 $1$ ，夹在直线 $A E$ 与 $B H$ 之间的矩形 $A B C D$ 与曲边形 $E F G H$ 满足： $A B = 4$ ， $A D = 1 .$ 一平行于 $A D$ 的直线 $M N$ 交矩形 $A B C D$ 于 $M$ ， $N$ ，交曲边形 $E F G H$ 的曲边于 $M'$ ， $N'$ ，且无论 $M N$ 在何位置都有 $M' N' = M N$ ，则曲边形 $E F G H$ 的面积为．

(2)、如图 $2$ ，记函数 $y_{1} = x^{2} + x - 1$ ， $y_{2} = x^{2} - x + 1$ ， $y_{3} = x^{2} - 2 x + 5$ 的图象在第一象限围成的曲边形 $($ 阴影部分 $)$ 为 $Ω$ ，则 $Ω$ 的面积为．

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三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.

(1)、计算： $| - 3 | \times (- 2)^{2} - 2^{3}$ ；

(2)、化简： $(x - 1)^{2} - x^{2} + 2 x$ ．

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18. 某市在实施居民用水定额管理前，对居民生活用水情况进行了调查 $.$ 通过简单随机抽样调查了 $500$ 个家庭去年的月均用水量 $($ 单位： $t)$ ，并把收集的数据进行整理，绘制成如图所示的频数表和未完成的频数分布直方图 $($ 每组不含前一个边界值，含后一个边界值 $)$ ．
家庭月均用水量的频数表
月均用水量 $($ 单位： $t)$
频数

$2 ～ 3$

$40$

$3 ～ 4$

$120$

$4 ～ 5$

$a$

$5 ～ 6$

$90$

$6 ～ 7$

$60$

$7 ～ 8$

$30$

$8 ～ 9$

$20$

(1)、求 $a$ 的值．

(2)、把频数分布直方图补充完整．

(3)、为了鼓励节约用水，要确定一个用水量的标准，超出这个标准的部分按 $1.5$ 倍价格收费若要使 $60 %$ 的家庭水费支出不受影响，你觉得家庭用水量应该定为多少？请说明理由．

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19. 如图 $1$ ，广场上有一盏高为 $9 m$ 的路灯 $A O$ ，把灯 $O$ 看作一个点光源，身高 $1.5 m$ 的女孩站在离路灯 $5 m$ 的点 $B$ 处 $.$ 图 $2$ 为示意图，其中 $A O ⊥ A D$ 于点 $A$ ， $C B ⊥ A D$ 于点 $B$ ，点 $O$ ， $C$ ， $D$ 在一条直线上，已知 $O A = 9 m$ ， $A B = 5 m$ ， $C B = 1.5 m$ ．

(1)、求女孩的影子 $B D$ 的长．

(2)、若女孩以 $5 m$ 为半径绕着路灯顺时针走一圈 $($ 回到起点 $)$ ，求人影扫过的图形的面积 $. (π$ 取 $3.14)$

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20. 如图，已知一次函数 $y = k x + b (k_{1} \neq 0, k_{1}, b$ 为常数 $)$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{k_{2}}{x} (k_{2} \neq 0, k$ 为常数 $)$ 的图象交于点 $A (2,1)$ ，点 $B (- 1, n)$ ，且与 $x$ 轴交于点 $C$ ．

(1)、求一次函数表达式和点 $C$ 的坐标．

(2)、已知点 $D (a, y_{1})$ ，点 $E (a, y_{2})$ 分别是一次函数和反比例函数图象上的点，若 $y_{1} > y_{2}$ ，请直接写出 $a$ 的取值范围．

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21. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，点 $E$ ， $F$ 在对角线 $B D$ 上，且 $B F = F E = E D$ ，顺次连接 $A F$ ， $F C$ ， $C E$ ， $E A$ ．

(1)、求证：四边形 $A F C E$ 是平行四边形．

(2)、若 $A F ⊥ A D$ ， $∠ D B C = 15 °$ ，求 $∠ A F C$ 的度数．

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22. 在直角坐标系中， $O$ 为坐标原点，二次函数 $y = x^{2} + b x + c (b, c$ 是常数 $)$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，已知 $B (1,0)$ ．

(1)、若 $A (0,0)$ ，求该二次函数的最小值．

(2)、求证： $O A = O C$ ．

(3)、若点 $A$ 位于点 $O$ ， $B$ 之间，求证： $- 3 < 2 b + c < - 2$ ．

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23. 综合与实践

(1)、 $【问题情境】$ 如图 $1$ ，在 $9 \times 9$ 的方格纸中，每个小方格的边长为 $1 . △ A B C$ 为格点三角形 $($ 顶点都在格点上 $)$ ，将 $△ A B C$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到 $△ D B E$ ，点 $A$ 与点 $D$ 对应，点 $C$ 与点 $E$ 对应．
$①$ 请在方格纸中按要求画出 $△ A B C$ 经过旋转后的图形．
$②$ 求点 $C$ 旋转到点 $E$ 所经过的路程 $. ($ 结果保留 $π)$

(2)、【深入探究】如图 $2$ ， $△ A B C$ 中，点 $C$ 在 $A B$ 右侧， $∠ C = 90 °$ ，将 $△ A B C$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到 $△ D B E$ ，连接 $A D .$ 已知 $\frac{B C}{A C} = k (0 < k < 1) .$ 求 $t a n ∠ C A D$ 的值 $. ($ 用含有 $k$ 的代数式表示 $)$

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24. 如图 $1$ ，锐角三角形 $A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， $A B = A C$ ，点 $E$ 为劣弧 $B C$ 的中点，点 $D$ 在劣弧 $A C$ 上 $($ 不与点 $A$ ， $C$ 重合 $)$ ，连接 $A D$ 并延长，与 $B C$ 延长线交于点 $F$ ，连接 $D E$ ，与 $A C$ 交于点 $M$ ，与 $B C$ 交于点 $N$ ．

(1)、求证： $D E ⊥ A F$ ．

(2)、若 $⊙ O$ 的半径为 $5$ ， $A D = D F = 6$ ，求线段 $B C$ 的长．

(3)、如图 $2$ ，连接 $C D$ ，若 $C D ⊥ B C$ ， $A D$ ： $D F = 1$ ： $3$ ，求 $△ A B F$ 的面积与 $⊙ O$ 的面积之比．

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月均用水量 $($ 单位： $t)$	频数
$2 ～ 3$	$40$
$3 ～ 4$	$120$
$4 ～ 5$	$a$
$5 ～ 6$	$90$
$6 ～ 7$	$60$
$7 ～ 8$	$30$
$8 ～ 9$	$20$