陕西省2024年中考数学试卷

试卷更新日期：2024-06-28 类型：中考真卷

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一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的）

1. $- 3$ 的倒数是（）

A、 $3$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $- 3$

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2. 如图，将半圆绕直径所在的虚线旋转一周，得到的立体图形是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 如图， $A B ∥ D C$ ， $B C ∥ D E$ ， $∠ B = 145 °$ ，则 $∠ D$ 的度数为（）

A、 $25 °$ B、 $35 °$ C、 $45 °$ D、 $55 °$

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4. 不等式 $2 (x - 1) \geq 6$ 的解集是（）

A、 $x \leq 2$ B、 $x \geq 2$ C、 $x \leq 4$ D、 $x \geq 4$

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5. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A D$ 是 $B C$ 边上的高，E是 $D C$ 的中点，连接 $A E$ ，则图中的直角三角形有（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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6. 一个正比例函数的图象经过点 $A (2, m)$ 和点 $B (n, - 6)$ ，若点A与点B关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为（）

A、 $y = 3 x$ B、 $y = - 3 x$ C、 $y = \frac{1}{3} x$ D、 $y = - \frac{1}{3} x$

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7. 如图，正方形 $C E F G$ 的顶点G在正方形 $A B C D$ 的边 $C D$ 上， $A F$ 与 $D C$ 交于点H ，若 $A B = 6$ ， $C E = 2$ ，则 $D H$ 的长为（）

A、2 B、3 C、 $\frac{5}{2}$ D、 $\frac{8}{3}$

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8. 已知一个二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的自变量x与函数y的几组对应值如下表，
x
…
$- 4$
$- 2$
0
3
5
…
y
…
$\begin{array}{l} - 24 \end{array}$
$\begin{array}{l} - 8 \end{array}$
0
$\begin{array}{l} - 3 \end{array}$
$- 15$
…
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（）

A、图象的开口向上 B、当 $x > 0$ 时，y的值随x的值增大而增大 C、图象经过第二、三、四象限 D、图象的对称轴是直线 $x = 1$

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二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）

9. 分解因式： $a^{2} - a b$ = ．

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10. 小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将0， $- 2$ ， $- 1$ ， 1，2这五个数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可以是．（写出一个符合题意的数即可）

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11. 如图， $B C$ 是 $⊙ O$ 的弦，连接 $O B$ ， $O C$ ， $∠ A$ 是 $\overset{⌢}{B C}$ 所对的圆周角，则 $∠ A$ 与 $∠ O B C$ 的和的度数是．

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12. 已知点 $A (- 2, y_{1})$ 和点 $B (m, y_{2})$ 均在反比例函数 $y = - \frac{5}{x}$ 的图象上，若 $0 < m < 1$ ，则 $y_{1} + y_{2}$ 0．

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13. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， E是边 $A B$ 上一点，连接 $C E$ ，在 $B C$ 右侧作 $B F ∥ A C$ ，且 $B F = A E$ ，连接 $C F$ ．若 $A C = 13$ ， $B C = 10$ ，则四边形 $E B F C$ 的面积为．

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三、解答题（共13小题，计81分。解答题应写出过程）

14. 计算： $\sqrt{25} - {(- 7)}^{0} + (- 2) \times 3$ ．

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15. 先化简，再求值： ${(x + y)}^{2} + x (x - 2 y)$ ，其中 $x = 1$ ， $y = - 2$ ．

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16. 解方程： $\frac{2}{x^{2} - 1} + \frac{x}{x - 1} = 1$ ．

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17. 如图，已知直线l和l外一点A ，请用尺规作图法，求作一个等腰直角 $△ A B C$ ，使得顶点B和顶点C都在直线l上．（作出符合题意的一个等腰直角三角形即可，保留作图痕迹，不写作法）

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18. 如图，四边形 $A B C D$ 是矩形，点E和点F在边 $B C$ 上，且 $B E = C F$ ．求证： $A F = D E$ ．

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19. 一个不透明的袋子中共装有五个小球，其中3个红球，1个白球，1个黄球，这些小球除颜色外都相同．将袋中小球摇匀，从中随机摸出一个小球记下颜色后放回，记作随机摸球一次．

(1)、随机摸球10次，其中摸出黄球3次，则这10次摸球中，摸出黄球的频率是．

(2)、随机摸球2次，用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的小球都是红球的概率．

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20. 星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除．根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完成，需 $4 h$ ；若爸爸单独完成，需 $2 h$ ．当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成剩余的打扫任务．小峰和爸爸这次一共打扫了 $3 h$ ，求这次小峰打扫了多长时间．

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21. 如图所示，一座小山顶的水平观景台的海拔高度为 $1600 m$ ，小明想利用这个观景台测量对面山顶C点处的海拔高度，他在该观景台上选定了一点A ，在点A处测得C点的仰角 $∠ C A E = 42 °$ ，再在 $A E$ 上选一点B ，在点B处测得C点的仰角 $α = 45 °$ ， $A B = 10 m$ ．求山顶C点处的海拔高度．（小明身高忽略不计，参考数据： $s i n 42 ° \approx 0.67$ ， $c o s 42 ° \approx 0.74$ ， $t a n 42 ° \approx 0.90$ ）

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22. 我国新能源汽车快速健康发展，续航里程不断提升，王师傅驾驶一辆纯电动汽车从A市前往B市，他驾车从A市一高速公路入口驶入时，该车的剩余电量是 $80 k w · h$ ，行驶了 $240 k m$ 后，从B市一高速公路出口驶出，已知该车在高速公路上行驶的过程中，剩余电量 $y (k w · h)$ 与行驶路程 $x (k m)$ 之间的关系如图所示．

(1)、求y与x之间的关系式；

(2)、已知这辆车的“满电量”为 $100 k W · h$ ，求王师傅驾车从B市这一高速公路出口驶出时，该车的剩余电量占“满电量”的百分之多少．

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23. 水资源问题是全球关注的热点，节约用水已成为全民共识．某校课外兴趣小组想了解居民家庭用水情况，他们从一小区随机抽取了30户家庭，收集了这30户家庭去年7月份的用水量，并对这30个数据进行整理，绘制了如下统计图表：
组别
用水量 $x / m^{3}$
组内平均数 $/ m^{3}$
A
$2 \leq x < 6$
$\begin{array}{l} 5.3 \end{array}$
B
$6 \leq x < 10$
$8.0$
C
$10 \leq x < 14$
$\begin{array}{l} 12.5 \end{array}$
D
$14 \leq x < 18$
$15.5$
根据以上信息，解答下列问：

(1)、这30个数据的中位数落在组（填组别）；

(2)、求这30户家庭去年7月份的总用水量；

(3)、该小区有1000户家庭，若每户家庭今年7月份的用水量都比去年7月份各自家庭的用水量节约 $10 %$ ，请估计这1000户家庭今年7月份的总用水量比去年7月份的总用水量节约多少 $m^{3}$ ?

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24. 如图，直线l与 $⊙ O$ 相切于点A ， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点C ， D在l上，且位于点A两侧，连接 $B C ， B D$ ，分别与 $⊙ O$ 交于点E ， F ，连接 $E F ， A F$ ．

(1)、求证： $∠ B A F = ∠ C D B$ ；

(2)、若 $⊙ O$ 的半径 $r = 6$ ， $A D = 9$ ， $A C = 12$ ，求 $E F$ 的长．

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25. 一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索 $L_{1}$ 与缆索 $L_{2}$ 均呈抛物线型，桥塔 $A O$ 与桥塔 $B C$ 均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线 $F F^{'}$ 为x轴，以桥塔 $A O$ 所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．
已知：缆索 $L_{1}$ 所在抛物线与缆索 $L_{2}$ 所在抛物线关于y轴对称，桥塔 $A O$ 与桥塔 $B C$ 之间的距离 $O C = 100 m$ ， $A O = B C = 17 m$ ，缆索 $L_{1}$ 的最低点P到 $F F^{'}$ 的距离 $P D = 2 m$ （桥塔的粗细忽略不计）

(1)、求缆索 $L_{1}$ 所在抛物线的函数表达式；

(2)、点E在缆索 $L_{2}$ 上， $E F ⊥ F F^{'}$ ，且 $E F = 2.6 m$ ， $F O < O D$ ，求 $F O$ 的长．

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26.

(1)、问题提出
如图1，在 $△ A B C$ 中， $A B = 15$ ， $∠ C = 30 °$ ，作 $△ A B C$ 的外接圆 $⊙ O$ ．则 $\overset{⌢}{A C B}$ 的长为；（结果保留π）

(2)、问题解决
如图2所示，道路 $A B$ 的一侧是湿地．某生态研究所在湿地上建有观测点D ， E ， C ，线段 $A D ， A C$ 和 $B C$ 为观测步道，其中点A和点B为观测步道出入口，已知点E在 $A C$ 上，且 $A E = E C$ ， $∠ D A B = 60 °$ ， $∠ A B C = 120 °$ ， $A B = 1200 m$ ， $A D = B C = 900 m$ ，现要在湿地上修建一个新观测点P ，使 $∠ D P C = 60 °$ ．再在线段 $A B$ 上选一个新的步道出入口点F ，并修通三条新步道 $P F ， P D ， P C$ ，使新步道 $P F$ 经过观测点E ，并将五边形 $A B C P D$ 的面积平分．
请问：是否存在满足要求的点P和点F?若存在，求此时 $P F$ 的长；若不存在，请说明理由．（点A ， B ， C ， P ， D在同一平面内，道路 $A B$ 与观测步道的宽、观测点及出入口的大小均忽略不计，结果保留根号）

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x	…	$- 4$	$- 2$	0	3	5	…
y	…	$\begin{array}{l} - 24 \end{array}$	$\begin{array}{l} - 8 \end{array}$	0	$\begin{array}{l} - 3 \end{array}$	$- 15$	…

组别	用水量 $x / m^{3}$	组内平均数 $/ m^{3}$
A	$2 \leq x < 6$	$\begin{array}{l} 5.3 \end{array}$
B	$6 \leq x < 10$	$8.0$
C	$10 \leq x < 14$	$\begin{array}{l} 12.5 \end{array}$
D	$14 \leq x < 18$	$15.5$