河南省2024年中考数学试卷

试卷更新日期：2024-06-28 类型：中考真卷

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一、选择题（每小题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的）

1. 如图，数轴上点P表示的数是（）

A、-1 B、0 C、1 D、2

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2. 据统计，2023年我国人工智能核心产业规模达5784亿元.数据“5784亿”用科学记数法表示为（）

A、 $5784 \times 1 0^{8}$ B、 $5.784 \times 1 0^{10}$ C、 $5.784 \times 1 0^{11}$ D、 $0.5784 \times 1 0^{12}$

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3. 如图，乙地在甲地的北偏东50°方向上，则∠1的度数为（）

A、60° B、50° C、40° D、30°

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4. 信阳毛尖是中国十大名茶之一.如图是信阳毛尖茶叶的包装盒，它的主视图为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 下列不等式中，与 $- x > 1$ 组成的不等式组无解的是（）

A、 $x > 2$ B、 $x < 0$ C、 $x < - 2$ D、 $x > - 3$

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6. 如图，在 $□ A B C D$ 中，对角线AC ， BD相交于点O ，点E为OC的中点， $E F ∥ A B$ 交BC于点F.若 $A B = 4$ ，则EF的长为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{4}{3}$ D、2

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7. 计算 $\underset{a 个}{\underset{︸}{{(a \cdot a \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot a)}^{3}}}$ 的结果是（）

A、 $a^{5}$ B、 $a^{6}$ C、 $a^{a + 3}$ D、 $a^{3 a}$

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8. 豫剧是国家级非物质文化遗产，因其雅俗共赏，深受大众喜爱.正面印有豫剧经典剧目人物的三张卡片如图所示，它们除正面外完全相同.把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率为（）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{1}{3}$

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9. 如图， $⊙ O$ 是边长为 $4 \sqrt{3}$ 的等边三角形ABC的外接圆，点D是 $\overset{⌢}{B C}$ 的中点，连接BD ， CD.以点D为圆心，BD的长为半径在 $⊙ O$ 内画弧，则阴影部分的面积为（）

A、 $\frac{8 π}{3}$ B、 $4 π$ C、 $\frac{16 π}{3}$ D、 $16 π$

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10. 把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患.数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图2）.下列结论中错误的是（）

A、当P=440W时，I=2A B、Q随I的增大而增大 C、I每增加1A，Q的增加量相同 D、P越大，插线板电源线产生的热量Q越多

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二、填空题（每小题3分，共15分）

11. 请写出 $2 m$ 的一个同类项：.

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12. 2024年3月是第8个全国近视防控宣传教育月，其主题是“有效减少近视发生，共同守护光明未来”.某校组织各班围绕这个主题开展板报宣传活动，并对各班的宣传板报进行评分，得分情况如图，则得分的众数为分.

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13. 若关于 $x$ 的方程 $\frac{1}{2} x^{2} - x + c = 0$ 有两个相等的实数根，则c的值为.

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14. 如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为（-2，0），点E在边CD上.将 $△ B C E$ 沿BE折叠，点C落在点F处.若点F的坐标为（0，6），则点E的坐标为.

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15. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $C A = C B = 3$ ，线段CD绕点C在平面内旋转，过点B作AD的垂线，交射线AD于点E.若 $C D = 1$ ，则AE的最大值为，最小值为.

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三、解答题（本大题共8个小题，共75分）

16.

(1)、计算： $\sqrt{2} \times \sqrt{50} - {(1 - \sqrt{3})}^{0}$ ；

(2)、化简： $(\frac{3}{a - 2} + 1) \div \frac{a + 1}{a^{2} - 4}$ .

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17. 为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动.在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，他们在近六场比赛中关于得分、篮板和失误三个方面的统计结果如下.
技术统计表
队员
平均每场得分
平均每场篮板
平均每场失误
甲
26.5
8
2
乙
26
10
3
根据以上信息，回答下列问题.

(1)、这六场比赛中，得分更稳定的队员是（填“甲”或“乙”）；甲队员得分的中位数为27.5分，乙队员得分的中位数为分.

(2)、请从得分方面分析：这六场比赛中，甲、乙两名队员谁的表现更好.

(3)、规定“综合得分”为：平均每场得分×1+平均每场篮板×1.5+平均每场失误×（-1），且综合得分越高表现越好.请利用这种评价方法，比较这六场比赛中甲、乙两名队员谁的表现更好.

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18. 如图，矩形ABCD的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线AC ， BD相交于点E ，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象经过点A.

(1)、求这个反比例函数的表达式.

(2)、请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个格点，再画出反比例函数的图象.

(3)、将矩形ABCD向左平移，当点E落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为.

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19. 如图，在 $R t △ A B C$ 中，CD是斜边AB上的中线， $B E ∥ D C$ 交AC的延长线于点E.

(1)、请用无刻度的直尺和圆规作 $∠ E C M$ ，使 $∠ E C M = ∠ A$ ，且射线CM交BE于点F（保留作图痕迹，不写作法）.

(2)、证明（1）中得到的四边形CDBF是菱形

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20. 如图1，塑像AB在底座BC上，点D是人眼所在的位置.当点B高于人的水平视线DE时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大.数学家研究发现：当经过A ， B两点的圆与水平视线DE相切时（如图2），在切点P处感觉看到的塑像最大，此时 $∠ A P B$ 为最大视角.

(1)、请仅就图2的情形证明 $∠ A P B > ∠ A D B$ .

(2)、经测量，最大视角 $∠ A P B$ 为30°，在点P处看塑像顶部点A的仰角 $∠ A P E$ 为60°，点P到塑像的水平距离PH为6m.求塑像AB的高（结果精确到0.1m.参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）.

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21. 为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐.这两种食品每包质量均为50g，营养成分表如下.

(1)、若要从这两种食品中摄入4600kJ热量和70g蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包?

(2)、运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多.若每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于90g，且热量最低，应如何选用这两种食品?

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22. 从地面竖直向上发射的物体离地面的高度 $h (m)$ 满足关系式 $h = - 5 t^{2} + v_{0} t$ ，其中 $t (s)$ 是物体运动的时间， $v_{0} (m / s)$ 是物体被发射时的速度.社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球.

(1)、小球被发射后s时离地面的高度最大（用含 $v_{0}$ 的式子表示）.

(2)、若小球离地面的最大高度为20m，求小球被发射时的速度.

(3)、按（2）中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同.小明说：“这两次间隔的时间为3s.”已知实验楼高15m，请判断他的说法是否正确，并说明理由.

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23. 综合与实践
在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究
定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形.

(1)、操作判断
用分别含有30°和45°角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有（填序号）.

(2)、性质探究
根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质.下面研究与对角线相关的性质.
如图2，四边形ABCD是邻等对补四边形， $A B = A D$ ， AC是它的一条对角线.
①写出图中相等的角，并说明理由；
②若 $B C = m$ ， $D C = n$ ， $∠ B C D = 2 θ$ ，求AC的长（用含m ， n ， $θ$ 的式子表示）.

(3)、拓展应用
如图3，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $A B = 3$ ， $B C = 4$ ，分别在边BC ， AC上取点M ， N ，使四边形ABMN是邻等对补四边形.当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出BN的长.

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队员	平均每场得分	平均每场篮板	平均每场失误
甲	26.5	8	2
乙	26	10	3