人教版九年级上学期数学课时进阶测试22.2二次函数与一元二次方程（三阶）

试卷更新日期：2024-06-27 类型：同步测试

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一、选择题

1. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知二次函数 $y = a x^{2} + b x$ ，其中 $a - b < 0$ ．以下4个结论：
①若这个函数的图象经过点 $(- 2, 0)$ ，则它必有最小值；
②若这个函数的图象经过第四象限的点 $P$ ，则必有 $a < 0$ ；
③若 $a > 0$ ，则方程 $a x^{2} + b x = 0$ 必有一根小于 $- 1$ ，
④若 $a < 0$ ，则当 $- 1 ≤ x ≤ 0$ 时，必有 $y$ 随 $x$ 的增大而增大．正确的是（）

A、①②③ B、②③ C、①③④ D、①②③④

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2. 关于一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0),$ 有以下命题：①若a+b+c=0，则( $b^{2} - 4 a c$ ≥0；②若方程( $a x^{2} + b x + c = 0$ 的两根为-1和2，则2a+c=0；③若方程( $a x^{2} + c = 0$ 有两个不相等的实数根，则方程 $a x^{2} + b x + c$ =0必有两个不相等的实数根；④若方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 有两个相等的实数根，则 $a x^{2} + b x + c = 1$ 无实数根.其中真命题是（）

A、①② B、①②③ C、②③④ D、①③④

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3. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 中，自变量 $x$ 与函数 $y$ 的对应值如下表：

$x$

$\dots$

$- 2$

$- 1$

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

$\dots$

$y$

$\dots$

$m - 4.5$

$m - 2$

$m - 0.5$

$m$

$m - 0.5$

$m - 2$

$m - 4.5$

$\dots$
若 $1 < m < 1.5$ ，则下面叙述正确的是（）

A、该函数图象开口向上
B、该函数图象与 $y$ 轴的交点在 $x$ 轴的下方 C、对称轴是直线 $x = m$ D、若 $x_{1}$ 是方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的正数解，则 $2 < x_{1} < 3$

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4. 对于一个函数，自变量x取c时，函数值 $y$ 等于0，则称c为这个函数的零点．若关于x的二次函数 $y = - x^{2} - 10 x + m$ $(m \neq 0)$ 有两个不相等的零点 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，关于x的方程 $x^{2} + 10 x - m - 2 = 0$ 有两个不相等的非零实数根 $x_{3} ， x_{4} (x_{3} < x_{4})$ ，则下列关系式一定正确的是（）

A、 $0 < \frac{x_{1}}{x_{3}} < 1$ B、 $\frac{x_{1}}{x_{3}} > 1$ C、 $0 < \frac{x_{2}}{x_{4}} < 1$ D、 $\frac{x_{2}}{x_{4}} > 1$

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5. 已知函数f（x）＝x²+2x ， g（x）＝2x²+6x+n²+3，当x＝1时，f（1）＝1²+2×1＝3，g（1）＝2+6+n²+3＝n²+11．则以下结论正确的有（　　）
①若函数g（x）的顶点在x轴上，则 $n = \pm \sqrt{6}$ ；
②无论x取何值，总有g（x）＞f（x）；
③若﹣1≤x≤1时，g（x）+f（x）的最小值为7，则n＝±3；
④当n＝1时，令 $h (x) = \frac{g (x)}{2 f (x)}$ ，则h（1）•h（2）…h（2023）＝2024．

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

6. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的大致图象如图所示，顶点坐标为 $(- 2 ， - 9 a)$ ，下列结论：
$① a b c > 0$ ；
$② 4 a + 2 b + c > 0$ ；
$③ 9 a - b + c = 0$ ；
$④$ 若方程 $a (x + 5) (x - 1) = - 1$ 有两个根 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，则 $- 5 < x_{1} < x_{2} < 1$ ；
$⑤$ 若方程 $| a x^{2} + b x + c | = 1$ 有四个根，则这四个根的和为 $- 8$ ．
其中正确的结论为．

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7. 如图，将二次函数 $y = x^{2} - m$ (其中 $m > 0$ )的图象在 $x$ 轴下方的部分沿 $x$ 轴翻折，图象的其余部分保持不变，形成新的图象记为 $y_{1}$ ，另有一次函数 $y = x + 2$ 的图象记为 $y_{2}$ ，若 $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 恰有两个交点时，则 $m$ 的范围是.

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8. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象经过点 $(3 ， 0)$ 与 $(- 1 ， 0)$ ，关于 $x$ 的方程 $a x^{2} + b x + c + m = 0 (m > 0)$ 有两个根，其中一个根是5，若关于 $x$ 的方程 $a x^{2} + b x + c + n = 0 (0 < n < m)$ 有两个整数根，则这两个整数根分别是.

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9. 对于每个正整数 n ，关于 x 的一元二次方程 $x^{2} - \frac{2 n + 1}{n (n + 1)} x + \frac{1}{n (n + 1)} = 0$ = 0 的两个根分别为 a_n、b_n ，设平面直角坐标系中，A_n、B_n 两点的坐标分别为 A_n（a_n ， 0），B_n（b_n ， 0），A_nB_n 表示这两点间的距离，则 A_nB_n=（用含 n 的代数式表示）；A₁B₁+ A₂B₂+ …+ A₂₀₁₁B₂₀₁₂ 的值为.

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三、解答题

10. 如图，抛物线y＝ax²+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y＝x﹣5经过点B，C．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、过点A的直线交直线BC于点M．
①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；

②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标．

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$x$	$\dots$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$\dots$
$y$	$\dots$	$m - 4.5$	$m - 2$	$m - 0.5$	$m$	$m - 0.5$	$m - 2$	$m - 4.5$	$\dots$