2016年福建省南平市浦城县高考数学模拟试卷（理科）

试卷更新日期：2016-09-29 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 若集合A={x|x²＜2x}，集合B={x|x＜ $\frac{1}{2}$ }，则A∩（∁_RB）等于（）

A、（﹣2， $\frac{1}{3}$ ] B、（2，+∞） C、（﹣∞， $\frac{1}{2}$ ] D、D[ $\frac{1}{2}$ ，2）

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2. 已知复数z= $\frac{1 - 3 i}{i - 1}$ ，则在复平面上 $\bar{z}$ 所对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 已知 $\sin (x - \frac{9 π}{14}) \cos \frac{π}{7} + \cos (x - \frac{9 π}{14}) \sin \frac{π}{7} = \frac{1}{3}$ ，则cosx等于（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、- $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ D、 $\pm \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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4. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{k} + \frac{y^{2}}{6 + k} = 1$ 的实轴长为4，则双曲线的渐近线方程为（）

A、y= $\pm \frac{1}{2} x$ B、y=±x C、y=±2x D、y=± $\sqrt{2} x$

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5. 从4男2女共6名学生中选派2人参加某项爱心活动，则所选2人中至少有1名女生的概率为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{3}$

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6. 在▱ABCD中，AB=2BC=4，∠BAD= $\frac{π}{3}$ ，E是CD的中点，则 $\vec{A C} \cdot \vec{E B}$ 等于（）

A、2 B、﹣3 C、4 D、6

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7. 已知函数f（x）=2x+log₂x+b在区间（ $\frac{1}{2}$ ，4）上有零点，则实数b的取值范围是（）

A、（﹣10，0） B、（﹣8，1） C、（0，10） D、（1，12）

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8. 执行如图所示的程序框图，则“3＜m＜5”是“输出i的值为5”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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9. 已知函数f（x）=2sinxsin（x+3φ）是奇函数，其中φ∈（0， $\frac{π}{2}$ ），则函数g（x）=cos（2x﹣φ）的图象（）

A、关于点（ $\frac{π}{12}$ ，0）对称 B、可由函数f（x）的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位得到 C、可由函数f（x）的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位得到 D、可由函数f（x）的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位得到

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10. 某几何体的三视图如图所示，记A为此几何体所有棱的长度构成的集合，则（）

A、3∈A B、5∈A C、2 $\sqrt{6}$ ∈A D、4 $\sqrt{3}$ ∈A

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11. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁ ， F₂ ，过F₁且与x轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，直线AF₂与椭圆的另一个交点为C，若△ABF₂的面积是△BCF₂的面积的2倍，则椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ D、 $\frac{3 \sqrt{3}}{10}$

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12. 已知函数f（x）=（x+1）²e^x ，设k∈[﹣3，﹣1]，对任意x₁ ， x₂∈[k，k+2]，则|f（x₁）﹣f（x₂）|的最大值为（）

A、4e^﹣³ B、4e C、4e+e^﹣³ D、4e+1

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二、填空题

13. 若x（1﹣2x）⁴=a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴+a₅x⁵ ，则a₂+a₃+a₄+a₅= ．

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14. 如果实数x，y满足条件 ${\begin{matrix} x + y - 2 \geq 0 \\ x - 1 \leq 0 \\ y - 2 \leq 0 \end{matrix}$ ，则z= $\frac{y}{x + 1}$ 的最小值为．

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15. 在四棱锥P﹣ABCD中，PB⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，若直线PC与平面PDB所成的角为30°，则四棱锥P﹣ABCD的外接球的表面积为．

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16. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c， $\frac{π}{3}$ ＜C＜ $\frac{π}{2}$ ， $\frac{b}{a - b}$ = $\frac{\sin 2 c}{\sin A - \sin 2 c}$ ，a=3，sinB= $\frac{\sqrt{11}}{6}$ ，则b= ．

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三、解答题

17. 已知公比小于1的等比数列{a_n}的前n项和为S_n ， a₁= $\frac{2}{3}$ 且13a₂=3S₃（n∈N^*）．

(1)、求数列{a_n}的通项公式；

(2)、设b_n=na_n ，求数列{b_n}的前项n和T_n ．

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18. 某高三毕业班甲、乙两名同学在连续的8次数学周练中，统计解答题失分的茎叶图如下：

(1)、比较这两名同学8次周练解答题失分的均值和方差的大小，并判断哪位同学做解答题相对稳定些；

(2)、以上述数据统计甲、乙两名同学失分超过15分的频率作为频率，假设甲、乙两名同学在同一次周练中失分多少互不影响，预测在接下来的2次周练中，甲、乙两名同学失分均超过15分的次数X的分布列和均值．

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19. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△ABD是边长为2的正三角形，PC⊥底面ABCD，AB⊥BP，BC= $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ．

(1)、求证：PA⊥BD；

(2)、若PC=BC，求二面角A﹣BP﹣D的正弦值．

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20. 过抛物线L：x²=2py（p＞0）的焦点F且斜率为 $\frac{3}{4}$ 的直线与抛物线L在第一象限的交点为P，且|PF|=5．

(1)、求抛物线L的方程；

(2)、与圆x²+（y+1）²=1相切的直线l：y=kx+t交抛物线L于不同的两点M、N，若抛物线上一点C满足 $\vec{O C}$ =λ（ $\vec{O M}$ + $\vec{O N}$ ）（λ＞0），求λ的取值范围．

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21. 已知函数f（x）=bx﹣axlnx（a＞0）的图象在点（1，f（1））处的切线与直线平y=（1﹣a）x行．

(1)、若函数y=f（x）在[e，2e]上是减函数，求实数a的最小值；

(2)、设g（x）= $\frac{f (x)}{\ln x}$ ，若存在x₁∈[e，e²]，使g（x₁）≤ $\frac{1}{4}$ 成立，求实数a的取值范围．

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22. 如图，AB是圆O的直径，C为圆周上一点，过C作圆O的切线l，过A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E．

(1)、求证：AB•DE=BC•CE；

(2)、若AB=8，BC=4，求线段AE的长．

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23. 已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，圆C的极坐标方程是ρ=asinθ，直线l的参数方程是 ${\begin{matrix} x = - \frac{3}{5} t + 2 \\ y = \frac{4}{5} t \end{matrix}$ （t为参数）

(1)、若a=2，直线l与x轴的交点是M，N是圆C上一动点，求|MN|的最大值；

(2)、直线l被圆C截得的弦长等于圆C的半径的 $\sqrt{3}$ 倍，求a的值．

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24. 设函数f（x）=|x+2|﹣|x﹣1|．

(1)、求不等式f（x）＞1解集；

(2)、若关于x的不等式f（x）+4≥|1﹣2m|有解，求实数m的取值范围．

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