人教版九年级上学期数学课时进阶测试21.2解一元二次方程（三阶）

试卷更新日期：2024-06-26 类型：同步测试

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一、选择题

1. 对于一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ ，下列说法：
①若 $a - b + c = 0$ ，则 $b^{2} - 4 a c \geq 0$ ；
②若方程 $a x^{2} + c = 0$ 有两个不相等的实根，则方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 必有两个不相等的实根；
③若 $c$ 是方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的一个根，则一定有 $a c + b + 1 = 0$ 成立；
④若 $x_{0}$ 是一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的根，则 $b^{2} - 4 a c = {(2 a x_{0} + b)}^{2}$
其中正确的：（）

A、只有① B、只有①② C、①②③ D、只有①②④

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2. 已知a²b+2ab+b＝a²﹣a﹣1，则满足等式的b的值可以是（）

A、 $- \frac{3}{2}$ B、 $- \frac{5}{4}$ C、 $- \frac{7}{4}$ D、﹣2

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3. 若a、b是关于x的一元二次方程x²－6x＋n＋1＝0的两根，且等腰三角形三边长分别为a、b、4，则n的值为（）

A、8 B、7 C、8或7 D、9或8

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4. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 2 x + a^{2} + b^{2} + a b = 0$ 的两个根为 $x_{1} = m$ ， $x_{2} = n$ ，且 $a + b = 1$ ．下列说法正确的个数为（）
① $m · n ＞ 0$ ；② $m > 0$ ， $n > 0$ ；③ $a^{2} \geq a$ ；④关于 $x$ 的一元二次方程 ${(x + 1)}^{2} + a^{2} - a = 0$ 的两个根为 $x_{1} = m - 2$ ， $x_{2} = n - 2$ ．

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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5. 已知关于x的一元二次方程 $(p + 1) x^{2} + 2 q x + (p + 1) = 0$ （其中p，q为常数）有两个相等的实数根，则下列结论中，错误的是（）．

A、1可能是方程 $x^{2} + q x + p = 0$ 的根 B、-1可能是方程 $x^{2} + q x + p = 0$ 的根 C、0可能是方程 $x^{2} + q x + p = 0$ 的根 D、1和-1都是方程 $x^{2} + q x + p = 0$ 的根

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6. 对于一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0),$ 下列说法：①当 $b = a + c$ 时，则方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 一定有一根为 $x = - 1$ ；②若 $a b > 0 ， b c < 0 ，$ 则方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 一定有两个不相等的实数根；③若c是方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的一个根，则一定有 $a c + b + 1 = 0$ ；④若 $b = 2 a + 3 c$ ，则方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 有两个不相等的实数根．其中正确的是（）

A、①② B、①③ C、①②④ D、②③④

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7. 对于两个不相等的实数 $a ， b$ ，我们规定符号 $max {a ， b}$ 表示 $a ， b$ 中较大的数，如 $\max {2 ， 4} = 4$ ，按这个规定，方程 $\max {x ， - x} = \frac{2 x + 1}{x}$ 的解为（）

A、 $1 - \sqrt{2}$ B、 $2 - \sqrt{2}$ C、 $1 - \sqrt{2} 或 1 + \sqrt{2}$ D、 $1 + \sqrt{2}$ 或-1

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8. 已知mn≠1，且5m²+2010m+9=0，9n²+2010n+5=0，则 $\frac{m}{n}$ 的值为（）

A、﹣402 B、 $\frac{5}{9}$ C、 $\frac{9}{5}$ D、 $\frac{670}{3}$

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二、填空题

9. 设关于x的方程 $a x^{2} + (a + 2) x + 9 a = 0$ 有两个不相等的实数根x₁ ， x₂ ，且 $x_{1} < 1 < x_{2},$ 则实数a 的取值范围是.

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10. 已知关于x的方程kx²+（1-k）x-1=0，有下列说法：①当k=0时，方程无解；②当k=1时，方程有一个实数解；③当k=-1时，方程有两个相等的实数解；④此方程总有实数解．其中正确的是．

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11. 已知 $x y \neq 1$ ，且有 $x^{2} + 20 x + 10 = 0$ 及 $10 y^{2} + 20 y + 1 = 0$ ，则 $\frac{x}{y}$ 的值为．

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12. 已知实数 $α$ ， $β$ 满足 $2 α^{2} + 5 α - 2 = 0$ ， $2 β^{2} - 5 β - 2 = 0$ ，且 $α β \neq 1$ ，且 $\frac{1}{β^{2}} + \frac{α}{β} - \frac{5}{2} α$ 的值为．

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13. 若a≠b，且 $a^{2} - 4 a + 1 = 0, b^{2} - 4 b + 1 = 0$ 则 $\frac{1}{1 + a^{2}} + \frac{1}{1 + b^{2}}$ 的值为

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三、解答题

14. 阅读下列材料，解答问题：
材料：若 $x_{1} ， x_{2}$ 为一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的两个实数根，则 $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} ， x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}$ ．

(1)、已知实数 $m ， n$ 满足 $3 m^{2} - 5 m - 2 = 0 ， 3 n^{2} - 5 n - 2 = 0$ ，且 $m \neq n$ ，求 $m^{2} n + m n^{2}$ 的值．
解：根据题意，可将 $m ， n$ 看作方程 $3 x^{2} - 5 x - 2 = 0$ 的两个实数根．
∴ $m + n =$ ， $m n =$ ．
∴ $m^{2} n + m n^{2} = m n (m + n) =$ ．

(2)、已知实数 $a ， b$ 满足 $a^{2} = 2 a + 3 ， 9 b^{2} = 6 b + 3$ ，且 $a \neq 3 b$ ，求 $a b$ 的值．

(3)、已知实数 $m ， n$ 满足 $m + m n + n = \frac{a^{2}}{4} - 6 ， m - m n + n = - \frac{a^{2}}{4} + 2 a$ ，求实数 $a$ 的最大整数值．

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15. 设a，b为实数，关于x的方程 $\frac{x}{x - 1} + \frac{x - 1}{x} = \frac{a + b x}{x^{2} - x}$ 无实数根，求代数式 $8 a + 4 b + | 8 a + 4 b - 5 |$ 的值.

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