四川省乐山市2024年中考数学试卷

试卷更新日期：2024-06-26 类型：中考真卷

进入出卷网下载

一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．

1. 不等式 $x - 2 < 0$ 的解集是（）

A、 $x < 2$ B、 $x > 2$ C、 $x < - 2$ D、 $x > - 2$

查看试题解析
2. 下列文物中，俯视图是四边形的是（）

A、带盖玉柱形器 B、白衣彩陶钵 C、镂空人面覆盆陶器 D、青铜大方鼎

查看试题解析
3. 2023年，乐山市在餐饮、文旅、体育等服务消费表现亮眼，网络零售额突破400亿元，居全省地级市第一．将40000000000用科学记数法表示为（）

A、 $4 \times 1 0^{8}$ B、 $4 \times 1 0^{9}$ C、 $4 \times 1 0^{10}$ D、 $4 \times 1 0^{11}$

查看试题解析
4. 下列多边形中，内角和最小的是（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
5. 为了解学生上学的交通方式，刘老师在九年级800名学生中随机抽取了60名进行问卷调查，并将调查结果制作成如下统计表，估计该年级学生乘坐公交车上学的人数为（）
交通方式
公交车
自行车
步行
私家车
其它
人数（人）
30
5
15
8
2

A、100 B、200 C、300 D、400

查看试题解析
6. 如图，下列条件中不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（）

A、 $A B ∥ D C$ ， $A D ∥ B C$ B、 $A B = D C$ ， $A D = B C$ C、 $A O = C O$ ， $B O = D O$ D、 $A B ∥ D C$ ， $A D = B C$

查看试题解析
7. 已知 $1 < x < 2$ ，化简 $\sqrt{{(x - 1)}^{2}} + | x - 2 |$ 的结果为（）

A、 $- 1$ B、1 C、 $2 x - 3$ D、 $3 - 2 x$

查看试题解析
8. 若关于x的一元二次方程 $x^{2} + 2 x + p = 0$ 两根为 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，且 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = 3$ ，则p的值为（）

A、 $- \frac{2}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $- 6$ D、6

查看试题解析
9. 已知二次函数 $y = x^{2} - 2 x (- 1 \leq x \leq t - 1)$ ，当 $x = - 1$ 时，函数取得最大值；当 $x = 1$ 时，函数取得最小值，则t的取值范围是（）

A、 $0 < t \leq 2$ B、 $0 < t \leq 4$ C、 $2 \leq t \leq 4$ D、 $t \geq 2$

查看试题解析
10. 如图2，在菱形ABCD中， $∠ A B C = 60 °$ ， $A B = 1$ ，点P是BC边上一个动点，在BC延长线上找一点Q ，使得点P和点Q关于点C对称，连结DP、AQ交于点M ．当点P从B点运动到C点时，点M的运动路径长为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\sqrt{3}$

查看试题解析

二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．

11. 计算： $a + 2 a =$ ．

查看试题解析
12. 一名交警在路口随机监测了5辆过往车辆的速度，分别是：66，57，71，69，58（单位：千米/时）．那么这5辆车的速度的中位数是．

查看试题解析
13. 如图，两条平行线a、b被第三条直线c所截．若 $∠ 1 = 60 °$ ，那么 $∠ 2 =$ ．

查看试题解析
14. 已知 $a - b = 3$ ， $a b = 10$ ，则 $a^{2} + b^{2} =$ ．

查看试题解析
15. 如图，在梯形ABCD中， $A D ∥ B C$ ，对角线AC和BD交于点O ，若 $\frac{S_{△ A B D}}{S_{△ B C D}} = \frac{1}{3}$ ，则 $\frac{S_{△ A O D}}{S_{△ B O C}} =$ ．

查看试题解析
16. 定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．
例如，点 $(0, 1)$ 是函数 $y = x + 1$ 图象的“近轴点”．

(1)、下列三个函数的图象上存在“近轴点”的是（填序号）；
① $y = - x + 3$ ；② $y = \frac{2}{x}$ ；③ $y = - x^{2} + 2 x - 1$ ．

(2)、若一次函数 $y = m x - 3 m$ 图象上存在“近轴点”，则m的取值范围为．

查看试题解析

三、解答题：本大题共10个小题，共102分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．

17. 计算： $| - 3 | + {(π - 2024)}^{0} - \sqrt{9}$ ．

查看试题解析
18. 解方程组： ${\begin{array}{l} x + y = 4, \\ 2 x - y = 5 . \end{array}$

查看试题解析
19. 如图，AB是 $∠ C A D$ 的平分线， $A C = A D$ ，求证： $∠ C = ∠ D$ ．

查看试题解析
20. 先化简，再求值： $\frac{2 x}{x^{2} - 4} - \frac{1}{x - 2}$ ，其中 $x = 3$ ．小乐同学的计算过程如下：
解： $\frac{2 x}{x^{2} - 4} - \frac{1}{x - 2} = \frac{2 x}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{1}{x - 2}$ …①
$= \frac{2 x}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x + 2}{(x + 2) (x - 2)}$ …②
$= \frac{2 x - x - 2}{(x + 2) (x - 2)}$ …③
$= \frac{x - 2}{(x + 2) (x - 2)}$ …④
$= \frac{1}{x - 2}$ …⑤
当 $x = 3$ 时，原式 $= 1$ ．

(1)、小乐同学的解答过程中，第步开始出现了错误；

(2)、请帮助小乐同学写出正确的解答过程．

查看试题解析
21. 乐山作为闻名世界的文化旅游胜地，吸引了大量游客．为更好地提升服务质量，某旅行社随机调查了部分游客对四种美食的喜好情况（每人限选一种），并将调查结果绘制成统计图，如图所示．
根据以上信息，回答下列问题：

(1)、本次抽取的游客总人数为人，扇形统计图中m的值为；

(2)、请补全条形统计图；

(3)、旅行社推出每人可免费品尝两种美食的活动，某游客从上述4种美食中随机选择两种，请用
画树状图或列表的方法求选到“钵钵鸡和跷脚牛肉”的概率．

查看试题解析
22. 如图，已知点 $A (1, m)$ 、 $B (n, 1)$ 在反比例函数 $y = \frac{3}{x} (x > 0)$ 的图象上，过点A的一次函数 $y = k x + b$ 的图象与y轴交于点 $C (0, 1)$ ．

(1)、求m、n的值和一次函数的表达式；

(2)、连结AB ，求点C到线段AB的距离．

查看试题解析
23. 我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的：
平地秋千未起，踏板一尺离地．
送行二步与人齐，五尺人高曾记．
仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．
良工高士素好奇，算出索长有几？
词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直）

(1)、如图1，请你根据词意计算秋千绳索OA的长度；

(2)、如图2，将秋千从与竖直方向夹角为α的位置 $O A^{'}$ 释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为β的地方 $O A^{″}$ ，两次位置的高度差 $P Q = h$ ．根据上述条件能否求出秋千绳索OA的长度？如果能，请用含α、β和h的式子表示；如果不能，请说明理由．

查看试题解析
24. 如图， $⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的外接圆，AB为直径，过点C作 $⊙ O$ 的切线CD交BA延长线于点D ，点E为 $\overset{⌢}{C B}$ 上一点，且 $\overset{⌢}{A C} = \overset{⌢}{C E}$ ．

(1)、求证： $D C ∥ A E$ ；

(2)、若EF垂直平分OB ， $D A = 3$ ，求阴影部分的面积．

查看试题解析
25. 在平面直角坐标系xOy中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完美点”．抛物线 $y = a x^{2} - 2 a x + 2 a$ （a为常数且 $a > 0$ ）与y轴交于点A ．

(1)、若 $a = 1$ ，求抛物线的顶点坐标；

(2)、若线段OA（含端点）上的“完美点”个数大于3个且小于6个，求a的取值范围；

(3)、若抛物线与直线 $y = x$ 交于M、N两点，线段MN与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，求a的取值范围．

查看试题解析
26. 在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题：

(1)、【问题情境】
如图10.1，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C$ ，点D、E在边BC上，且 $∠ D A E = 45 °$ ， $B D = 3$ ， $C E = 4$ ，求DE的长．
解：如图2，将 $△ A B D$ 绕点A逆时针旋转90°得到 $△ A C D^{'}$ ，连结 $E D^{'}$ ．
由旋转的特征得 $∠ B A D = ∠ C A D^{'}$ ， $∠ B = ∠ A C D^{'}$ ， $A D = A D^{'}$ ， $B D = C D^{'}$ ．
∵ $∠ B A C = 90 °$ ， $∠ D A E = 45 °$ ， ∴ $∠ B A D + ∠ E A C = 45 °$ ．
∵ $∠ B A D = ∠ C A D^{'}$ ， ∴ $∠ C A D^{'} + ∠ E A C = 45 °$ ，即 $∠ E A D^{'} = 45 °$ ． ∴ $∠ D A E = ∠ D^{'} A E$ ．
在 $△ D A E$ 和 $△ D^{'} A E$ 中， $A D = A D^{'}$ ， $∠ D A E = ∠ D^{'} A E$ ， $A E = A E$ ，
∴①    ▲     ．
∴ $D E = D^{'} E$ ．
又∵ $∠ E C D^{'} = ∠ E C A + ∠ A C D^{'} = ∠ E C A + ∠ B = 90 °$ ，
∴在 $R t △ E C D^{'}$ 中，②    ▲     ．
∵ $C D^{'} = B D = 3$ ， $C E = 4$ ，
∴ $D E = D^{'} E =$ ③    ▲     ．
【问题解决】
上述问题情境中，“①”处应填：；“②”处应填：；“③”处应填：．

(2)、刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变．
【知识迁移】
如图3，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，满足 $△ C E F$ 的周长等于正方形ABCD的周长的一半，连结AE、AF ，分别与对角线BD交于M、N两点．探究BM、MN、DN的数量关系并证明．

(3)、【拓展应用】
如图4，在矩形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且 $∠ E A F = ∠ C E F = 45 °$ ．探究BE、EF、DF的数量关系：（直接写出结论，不必证明）．

(4)、【问题再探】
如图5，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = 4$ ， $B C = 3$ ，点D、E在边AC上，且 $∠ D B E = 45 °$ ．设 $A D = x$ ， $C E = y$ ，求y与x的函数关系式．

查看试题解析

交通方式	公交车	自行车	步行	私家车	其它
人数（人）	30	5	15	8	2