河南省洛阳市2023-2024学年高二下学期数学期末试卷

试卷更新日期：2024-06-26 类型：期末考试

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 下列导数运算正确的是（）

A、 $(s i n \frac{π}{6})' = c o s \frac{π}{6}$ B、 $(\frac{1}{\sqrt{x}})' = - \frac{1}{2 \sqrt{x}}$ C、 $(2^{2 x + 1})' = 2^{2 x + 1} \ln 2$ D、 $[l n (- x)]' = \frac{1}{x}$

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2. 已知具有线性相关的两个变量之间的一组数据如表：
x
﹣2
﹣1
1
2
3
y
25
36
40
48
56
且经验回归方程为 $y = 5.5 x + a$ ，则当x＝4时，y的预测值为（）

A、62.5 B、61.7 C、61.5 D、59.7

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3. 已知 $s i n (α + \frac{π}{12}) = \frac{\sqrt{5}}{3}$ ，则 $c o s (α - \frac{5 π}{12}) =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $- \frac{2}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ D、 $- \frac{\sqrt{5}}{3}$

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4. 已知﹣2，x ， y ， z ， ﹣4成等比数列，则xyz＝（）

A、 $\pm 16 \sqrt{2}$ B、 $- 16 \sqrt{2}$ C、 $\pm 16$ D、-16

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5. 已知函数g（x）为奇函数，其图象在点（a，g（a））处的切线方程为2x-y+1=0，记g（x）的导函数为g'（x），则g'（-a）=（　　）

A、2 B、-2 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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6. 已知向量 $\vec{b} = (3, - 1) ， | \vec{a} | = \sqrt{2} ， | \vec{a} + \vec{b} | = 2 \sqrt{2}$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $(- \frac{3}{2}, \frac{1}{2})$ B、 $(\frac{3}{2}, - \frac{1}{2})$ C、 $(- \frac{3}{5}, \frac{1}{5})$ D、 $(\frac{3}{5}, - \frac{1}{5})$

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7. 经过抛物线C：y²=8x的焦点F的直线交C于A，B两点，与抛物线C的准线交于点P，若|AF|，|AP|，|BF|成等差数列，则|AB|=（　　）

A、 $4 \sqrt{3}$ B、 $4 \sqrt{6}$ C、 $\frac{16}{3}$ D、 $\frac{32}{3}$

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8. 甲、乙、丙三位棋手按如下规则进行比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，由第一局的胜者与丙进行第二局比赛，败者轮空，使用这种方式一直进行到其中一人连胜两局为止，此人成为整场比赛的优胜者．甲、乙、丙胜各局的概率均为 $\frac{1}{2}$ ，且各局胜负相互独立．若比赛至多进行四局，则甲获得优胜者的概率是（）

A、 $\frac{3}{8}$ B、 $\frac{5}{16}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{16}$

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二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9. 在 ${(\frac{1}{\sqrt{x}} - x)}^{10}$ 的展开式中，下列说法正确的是（）

A、各项系数的和是1024 B、各二项式系数的和是1024 C、含x的项的系数是﹣210 D、第7项的系数是210

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10. 下列命题中正确的是（）

A、设随机变量X～N（0，1），若P（X＞1）＝p ，则 $P (- 1 < X ⩽ 0) = \frac{1}{2} - p$ B、一个袋子中有大小相同的3个红球、2个白球，从中一次随机摸出3个球，记摸出红球的个数为X ，则 $E (X) = \frac{9}{5}$ C、已知随机变量X～B（n ， p），若E（X）＝30，D（X）＝20，则 $p = \frac{2}{3}$ D、若随机变量X～B（10，0.9），则当X＝9时概率最大

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11. 已知F₁ ， F₂为双曲线 $C : \frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的左、右焦点，过F₂的直线交双曲线C的右支于P ， Q两点，则下列叙述正确的是（）

A、直线PF₁与直线PF₂的斜率之积为 $\frac{3}{2}$ B、|PQ|的最小值为 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ C、若 $| P Q | = 2 \sqrt{3}$ ，则△PF₁Q的周长为 $8 \sqrt{3}$ D、点P到两条渐近线的距离之积为 $8 \sqrt{3}$

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12. 如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，E为AA₁的中点，点F满足 $\vec{A_{1} F} = λ \vec{A_{1} B_{1}} (0 ⩽ λ ⩽ 1)$ ，则（）

A、三棱锥F﹣BDE的体积是定值 B、当λ＝0时，AC₁⊥平面BDF C、存在λ，使得AC与平面BDF所成的角为 $\frac{π}{3}$ D、当 $λ = \frac{2}{3}$ 时，平面BDF截该正方体的外接球所得到的截面的面积为 $\frac{56}{19} π$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 直线l：x+ $\sqrt{3}$ y＝0被圆C：（x﹣2）²+y²＝2截得的弦长为．

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14. 校运会期间，需要学生志愿者辅助裁判老师进行记录工作，现从甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者中任意选派3名同学分别承担铅球记录、跳高记录、跳远记录工作，则不同的安排方法共有种．（用数字作答）

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15. 在等差数列{a_n}中，S_n为其前n项的和，若S₄＝6，S₈＝20，则S₂₀＝．

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16. 若函数f（x）＝e^x（x+1）﹣ax+2有两个极值点，则实数a的取值范围是．

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四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

17. 在△ABC中，A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ，且 $\sqrt{3} b s i n C - c = c c o s B$ ．

(1)、求B；

(2)、若b＝3，求△ABC的周长l的取值范围．

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18. 已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n ，且4S_n＝（a_n+1）² ．

(1)、求数列{a_n}的通项公式；

(2)、求证： $\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{S_{i}} < 2$ ．

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19. 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD ， ABEF的边长都是1，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等 $(0 < a < \sqrt{2})$ ．

(1)、问a为何值时，MN的长最小？

(2)、当MN的长最小时，求平面MNA与平面MNB夹角的余弦值．

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20. 甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球到另外两个人的概率相同，n次传球后到乙手中的概率为P_n ．

(1)、求P₁ ， P₂ ， P₃；

(2)、求P_n ．

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21. 已知函数f（x）＝ln（x+2）﹣ax ．

(1)、讨论f（x）在（0，+∞）上的单调性；

(2)、证明：f（x）＜e^x﹣ax﹣ $\frac{1}{6}$ ．

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22. 已知定圆F₁：（x+1）²+y²＝8，动圆P过点F₂（1，0），且和圆F₁相切．

(1)、求动圆圆心P的轨迹E的方程；

(2)、设P是第一象限内轨迹E上的一点，PF₁ ， PF₂的延长线分别交轨迹E于点Q₁ ， Q₂ ．若r₁ ， r₂分别为△PF₁Q₂ ， △PF₂Q₁的内切圆的半径，求r₁﹣r₂的最大值．

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x	﹣2	﹣1	1	2	3
y	25	36	40	48	56