广东省惠州市博罗县2023-2024学年高一下学期数学5月期中试卷

试卷更新日期：2024-06-26 类型：期中考试

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一、单项选择题：木题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题绐出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 若复数z满足（1﹣i）z＝2i ，则 $z \cdot \bar{z} =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、2 D、4

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2. 已知α，β，γ是三个不同的平面，α∩γ＝m ， β∩γ＝n ，则“m∥n”是“α∥β”的（）条件．

A、充分非必要 B、必要非充分 C、充分必要 D、既非充分又非必要

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3. 在△ABC中， $a^{2} = b^{2} + c^{2} - \sqrt{3} b c$ ，则A＝（）

A、30° B、45° C、120° D、150°

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4. 设 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是两个单位向量，且 $| \vec{e_{1}} - 3 \vec{e_{2}} | = \sqrt{13}$ ，那么它们的夹角等于（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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5. 在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，则 $\vec{B E} =$ （）

A、 $\frac{1}{4} \vec{B A} + \frac{1}{2} \vec{B C}$ B、 $\frac{3}{4} \vec{B A} + \frac{1}{2} \vec{B C}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{B A} + \frac{1}{4} \vec{B C}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{B A} + \frac{3}{4} \vec{B C}$

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6. 如图，在平面直角坐标系xOy中，P是函数y＝sinx图象的最高点，Q是y＝sinx的图象与x轴的交点，则 $\vec{O P} + \vec{P Q}$ 的坐标是（）

A、 $(\frac{π}{2}, 1)$ B、（π，0） C、（﹣π，0） D、（2π，0）

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7. 已知轴截面为正方形的圆柱MM^'的体积与球O的体积之比为 $\frac{3}{2}$ ，则圆柱MM^'的表面积与球O的表面积之比为（）

A、1 B、 $\frac{3}{2}$ C、2 D、 $\frac{5}{2}$

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8. 如图，某市人民广场正中央有一座铁塔，为了测量塔高AB ，某人先在塔的正西方点C处测得塔顶的仰角为45°，然后从点C处沿南偏东30°方向前进60m到达点D处，在D处测得塔顶的仰角为30°，则铁塔AB的高度是（）

A、50m B、30m C、25m D、15m

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二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分

9. 设z＝1﹣i ，则（）

A、 $z \bar{z} = 2$ B、 $z + \bar{z} i = 0$ C、 ${| z |}^{2} = {\bar{z}}^{2}$ D、 $z - \bar{z} = \bar{\bar{z} - 2}$

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10. 已知直线l ， m ，平面α，β，则下列说法错误的是（）

A、m∥l ， l∥α，则m∥α B、l∥β，m∥β，l⊂α，m⊂α，则α∥β C、l∥m ， l⊂α，m⊂β，则α∥β D、l∥β，m∥β，l⊂α，m⊂α，l∩m＝M ，则α∥β

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11. 下列说法中错误的是（）

A、若 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 都是非零向量，则“ $\frac{\vec{a}}{∣ \vec{a} ∣} + \frac{\vec{b}}{∣ \vec{b} ∣} = \vec{0}$ ”是“ $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线”的充要条件 B、若 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 都是非零向量，且 $∣ \vec{a} + \vec{b} ∣ = ∣ \vec{a} - \vec{b} ∣$ ，则 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ C、若单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 满足 $\vec{3 a} + 4 \vec{b} + 5 \vec{c} = \vec{0}$ ，则 $\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \frac{3}{5}$ D、若I为三角形ABC外心，且 $2 \vec{B I} = \vec{B A} + \vec{B C}$ ，则B为三角形ABC的垂心

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三、填空题，本题共3小题，每小题5分，共计15分.

12. 若一个球的表面积与其体积在数值上相等，则此球的半径为.

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13. 已知平面向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，若 $∣ \vec{a} ∣ = 1$ ， $\vec{b} = (1, 2)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量的坐标为．

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14. 已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c ，若△ABC的面积为 $\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{4}$ ， $c = \sqrt{2}$ ，则该三角形的外接圆直径2R＝．

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四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

15. 已知向量 $\vec{a} = (2, 3)$ ， $\vec{b} = (1, x)$ ， $\vec{c} = (4, 1)$ ．

(1)、若 $x = 2$ ， $\vec{a} = λ \vec{b} + μ \vec{c}$ ，求λ+μ的值；

(2)、若 $\vec{a} ⊥ (\vec{c} - \vec{b})$ ，求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角的余弦值．

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16. 如图所示，在正四棱锥S﹣ABCD中，SA＝SB＝SC＝SD＝2， $A B = \sqrt{2}$ ，求；

(1)、正四棱锥S﹣ABCD的表面积；

(2)、若M为SA的中点，求证：SC∥平面BMD ．

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17. 记△ABC的内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，已知 $b s i n A + \sqrt{3} a c o s B = \sqrt{3} c$ ．

(1)、求A；

(2)、求 $\frac{2 b + c}{a}$ 的最大值．

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18. 如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC ， AB＝2BC＝2CD＝2DA ， M为线段BC中点，AM与BD交于点N ， P为线段CD上的一个动点．

(1)、用 $\vec{A B}$ 和 $\vec{A D}$ 表示 $\vec{A M}$ ；

(2)、求 $\frac{A N}{N M}$ ；

(3)、设 $\vec{A C} = x \vec{D B} + y \vec{A P}$ ，求xy的取值范围．

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19. 设f（z）是一个关于复数z的表达式，若f（x+yi）＝x₁+y₁i（其中x ， y ， x₁ ， y₁∈R，i为虚数单位），就称f将点P（x ， y）“f对应”到点Q（x₁ ， y₁）．例如： $f (z) = \frac{1}{z}$ 将点（0，1）“f对应”到点（0，﹣1）．

(1)、若f（z）＝z+1（z∈C），点P₁（1，1）“f对应”到点Q₁ ，点P₂“对应”到点Q₂（1，1），求点Q₁、P₂的坐标．

(2)、设常数k ， t∈R，若直线l：y＝kx+t ， f（z）＝z²（z∈C），是否存在一个有序实数对（k ， t），使得直线l上的任意一点P（x ， y）“f对应”到点Q（x₁ ， y₁）后，点Q仍在直线l上？若存在，试求出所有的有序实数对（k ， t）；若不存在，请说明理由．

(3)、设常数a ， b∈R，集合D{z|z∈C且Rez＞0}和A＝{w|w∈C且|w|＜1}，若 $f (z) = \frac{a z + b}{z + 1}$ 满足：①对于集合D中的任意一个元素z ，都有f（z）∈A；②对于集合A中的任意一个元素w ，都存在集合D中的元素z使得w＝f（z）．请写出满足条件的一个有序实数对（a ， b），并论证此时的f（z）满足条件．

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