海南省2023-2024学年高一下学期数学期末试卷

试卷更新日期：2024-06-26 类型：期末考试

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - a x = 0}$ ， $B = {2 a, 0,1}$ ，若 $A \subseteq B$ ，则 $a$ 的值可以为( )

A、 $1$ B、 $0$ C、 $0$ 或 $1$ D、 $1$ 或 $2$

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2. 命题“ $\exists x_{0} > 1$ ， $x_{0} - 2 l n x_{0} \leq 1$ ”的否定为( )

A、 $\forall x > 1$ ， $x - 2 l n x \leq 1$ B、 $\exists x_{0} \leq 1$ ， $x_{0} - 2 l n x_{0} > 1$ C、 $\forall x > 1$ ， $x - 2 l n x > 1$ D、 $\exists x_{0} \leq 1$ ， $x_{0} - 2 l n x_{0} \leq 1$

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3. 复数 $\frac{1 - 2 i}{i^{3}} (i$ 为虚数单位 $)$ 的虚部是( )

A、 $i$ B、 $- 2$ C、 $- 1$ D、 $1$

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4. 若 $t a n α = 2$ ， $t a n (2 α + β) = 8$ ，则 $t a n (α + β) =$ ( )

A、 $\frac{10}{17}$ B、 $- \frac{3}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{6}{17}$

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5. 下列函数在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递减的是( )

A、 $y = x^{2} + 1$ B、 $y = \sqrt{x}$ C、 $y = - \frac{1}{x}$ D、 $y = - | x | + 1$

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6. 已知向量 $\vec{a} = (x, 2)$ ， $\vec{b} = (3, - 1) .$ 若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x =$ ( )

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $- 3$ D、 $- 6$

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7. 要得到函数 $f (x) = \frac{1}{2} s i n 2 x + \frac{\sqrt{3}}{2} c o s 2 x$ 的图象，只需把函数 $g (x) = s i n 2 x$ 的图象( )

A、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度 B、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度 C、向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度 D、向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度

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8. 甲、乙两人从直径为 $2 r$ 的圆形水池的一条直径的两端同时按逆时针方向沿水池做匀速圆周运动，已知甲的速度是乙的速度的两倍，乙绕水池一周停止运动，若用 $θ$ 表示乙在某时刻旋转角的弧度数， $l$ 表示甲、乙两人的直线距离，则 $l = f (θ)$ 的大致图象是( )

A、 B、 C、 D、

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二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9. 下面给出的关系式中，正确的是( )

A、 $\vec{a} ⊥ \vec{b} \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = (\vec{a} \cdot \vec{b})^{2}$ B、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{c} \Rightarrow \vec{b} = \vec{c}$ C、 $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot (\vec{b} \cdot \vec{c})$ D、 $| \vec{a} \cdot \vec{b} | \geq \vec{a} \cdot \vec{b}$

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10. 已知函数 $f (x)$ 在 $R$ 上是减函数，且 $a + b > 0$ ，则下列说法正确的是( )

A、 $f (a) + f (b) > 0$ B、 $f (a) - f (- b) > 0$ C、 $f (- a) - f (b) > 0$ D、 $f (a) + f (b) < f (- a) + f (- b)$

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11. 已知函数 $f (x) = s i n x - \sqrt{3} c o s x$ ，则( )

A、 $f (x)$ 的最大值为 $2$ B、函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{3}, 0)$ 对称 C、直线 $x = \frac{π}{3}$ 是函数 $y = f (x)$ 图象的一条对称轴 D、函数 $y = f (x)$ 在区间 $(- \frac{π}{2}, 0)$ 上单调递增

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12. 函数 $f (x) = \frac{1}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} + l n (3 x - 1)$ 的定义域为．

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13. 已知函数 $f (x) = (m^{2} - 3 m - 3) x^{m}$ 是幂函数，则 $m$ 的值为．

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14. 若关于 $x$ 的不等式 $m x^{2} + x + 1 > 0$ 的解集为 $R$ ，则实数 $m$ 的取值范围为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15. 已知函数 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = x^{2} - 2 x$ ．

(1)、求出函数 $f (x)$ 在 $R$ 上的解析式；

(2)、画出函数 $f (x)$ 的图象，并写出单调区间；

(3)、若 $y = f (x)$ 与 $y = m$ 有 $3$ 个交点，求实数 $m$ 的取值范围．

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16. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象，如图所示.

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、将函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标不变，得到函数 $g (x)$ 的图象，当 $x \in [0 ， \frac{π}{3}]$ 时，求函数 $g (x)$ 的值域.

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17. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $(2 \vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - 2 \vec{b}) = 2$ ，且 $| \vec{a} | = \sqrt{2}$ ， $| \vec{b} | = 2$ ．

(1)、求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $θ$ ；

(2)、求 $| \vec{a} + \vec{b} | .$

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18. 已知函数 $f (x) = s i n (2 ω x + \frac{π}{6}) + \frac{1}{2} (x \in R, ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ ．

(1)、求 $f (x)$ 单调递增区间；

(2)、当 $x \in [0, \frac{π}{3}]$ 时，求函数 $f (x)$ 的值域．

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19. 已知函数 $f (x) = 4^{x} + m \cdot 4^{- x}$ ．

(1)、诺 $f (x)$ 为偶函数，求 $m$ 的值；

(2)、若 $f (x)$ 为奇函数，求 $m$ 的值；

(3)、在（2）的情况下，若关于 $x$ 的不等式 $4^{x} f (x) > k$ 在 $[0,1]$ 上恒成立，求 $k$ 的取值范围．

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