四川省成都市五校联考2017-2018学年高二上学期理数期中考试试卷

试卷更新日期：2017-12-04 类型：期中考试

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一、选择题

1. 如图所示，正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的棱长为1，则点B₁的坐标是（）

A、（1，0，0） B、（1，0，1） C、（1，1，1） D、（1，1，0）

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2. 双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{9}$ =1的渐近线方程是（）

A、y=± $\frac{2}{3}$ x B、y=± $\frac{4}{9}$ x C、y=± $\frac{3}{2}$ x D、y=± $\frac{9}{4}$ x

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3. 与直线l：3x﹣5y+4=0关于原点对称的直线的方程为（）

A、3x+5y+4=0 B、3x﹣5y﹣4=0 C、5x﹣3y+4=0 D、5x+3y+4=0

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4. 设变量x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} x - y + 2 \geq 0 \\ x - 5 y + 10 \leq 0 \\ x + y - 8 \leq 0 \end{matrix}$ ，则目标函数z=3x﹣4y的最大值和最小值分别为（）

A、3，﹣11 B、﹣3，﹣11 C、11，﹣3 D、11，3

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5. 设点A（﹣2，3）、B（3，2），若直线ax+y+2=0与线段AB有交点，则a的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - \frac{5}{2}] \cup^{} [\frac{4}{3} ， + \infty)$ B、 $[- \frac{4}{3} ， \frac{5}{2}]$ C、 $[- \frac{5}{2} ， \frac{4}{3}]$ D、 $(- \infty ， - \frac{4}{3}] \cup^{} [\frac{5}{2} ， + \infty)$

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6. 已知圆（x+2）²+y²=36的圆心为M，设A为圆上任一点，N（2，0），线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是（）

A、圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线

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7. 如果椭圆 $\frac{x^{2}}{36}$ + $\frac{y^{2}}{9}$ =1的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是（）

A、x﹣2y=0 B、x+2y﹣4=0 C、2x+3y﹣12=0 D、x+2y﹣8=0

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8. 一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）²+（y﹣2）²=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（　　）

A、﹣ $\frac{5}{3}$ 或﹣ $\frac{3}{5}$ B、﹣ $\frac{3}{2}$ 或﹣ $\frac{2}{3}$ C、﹣ $\frac{5}{4}$ 或﹣ $\frac{4}{5}$ D、﹣ $\frac{4}{3}$ 或﹣ $\frac{3}{4}$

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9. 点A是抛物线C₁：y²=2px（p＞0）与双曲线C₂： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞0，b＞0）的一条渐近线的交点，若点A到抛物线C₁的准线的距离为p，则双曲线C₂的离心率等于（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{6}$

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10. 以下四个关于圆锥曲线的命题中：
①双曲线 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{49} + \frac{y^{2}}{24} = 1$ 有相同的焦点；
②以抛物线的焦点弦（过焦点的直线截抛物线所得的线段）为直径的圆与抛物线的准线是相切的；
③设A、B为两个定点，k为常数，若|PA|﹣|PB|=k，则动点P的轨迹为双曲线；
④过定圆C上一点A作圆的动弦AB，O为原点，若 $\vec{O P} = \frac{1}{2} (\vec{O A} + \vec{O B})$ 则动点P的轨迹为椭圆．其中正确的个数是（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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11. 已知直线l₁：4x﹣3y+6=0和直线l₂：x=﹣1，抛物线y²=4x上一动点P到直线l₁和直线l₂的距离之和的最小值是（）

A、2 B、3 C、 $\frac{11}{5}$ D、 $\frac{37}{16}$

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12. 已知圆C的方程（x﹣1）²+y²=1，P是椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3}$ =1上一点，过P作圆的两条切线，切点为A、B，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的取值范围为（）

A、 $[2 \sqrt{2} - 3 ， \frac{56}{9}]$ B、 $[\frac{56}{9} ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， 2 \sqrt{2} - 3]$ D、 $(- \infty ， 2 \sqrt{2} - 3] \cup^{} [\frac{56}{9} ， + \infty)$

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二、填空题

13. 若三点P（1，1），A（2，﹣4），B（x，﹣9）共线，则x= ．

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14. 不论k为何实数，直线（2k﹣1）x﹣（k+3）y﹣（k﹣11）=0恒通过一个定点，这个定点的坐标是

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15. 已知直线L经过点P（﹣4，﹣3），且被圆（x+1）²+（y+2）²=25截得的弦长为8，则直线L的方程是．

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16. 已知A（1，2），B（﹣1，2），动点P满足 $\vec{A P} ⊥ \vec{B P}$ ，若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞0，b＞0）的渐近线与动点P的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是．

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三、解答题

17. 已知直线l₁：2x+y+2=0，l₂：mx+4y+n=0

(1)、若l₁⊥l₂ ，求m的值；

(2)、若l₁∥l₂ ，且l₁与l₂间的距离为 $\sqrt{5}$ ，求m，n的值．

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18. 某研究所计划利用“神十”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载若干件新产品A、B，该所要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生的收益来决定具体搭载安排，有关数据如表：

每件产品A
每件产品B

研制成本、搭载
费用之和（万元）
20
30
计划最大资金额
300万元
产品重量（千克）
10
5
最大搭载重量110千克
预计收益（万元）
80
60

分别用x，y表示搭载新产品A，B的件数．总收益用Z表示
（Ⅰ）用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
（Ⅱ）问分别搭载新产品A、B各多少件，才能使总预计收益达到最大？并求出此最大收益．

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19. 已知圆心在直线y=4x上，且与直线l：x+y﹣2=0相切于点P（1，1）
（Ⅰ）求圆的方程
（II）直线kx﹣y+3=0与该圆相交于A、B两点，若点M在圆上，且有向量 $\vec{O M} = \vec{O A} + \vec{O B}$ （O为坐标原点），求实数k．

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20. 已知抛物线C：y²=2px（p＞0），上的点M（1，m）到其焦点F的距离为2，
（Ⅰ）求C的方程；并求其准线方程；
（II）已知A （1，﹣2），是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线L，使得直线L与抛物线C有公共点，且直线OA与L的距离等于 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ？若存在，求直线L的方程；若不存在，说明理由．

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21. 已知椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为F₁、F₂ ，离心率 $e = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，P为椭圆E上的任意一点（不含长轴端点），且△PF₁F₂面积的最大值为1．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）已知直x﹣y+m=0与椭圆E交于不同的两点A，B，且线AB的中点不在圆 $x^{2} + y^{2} = \frac{5}{9}$ 内，求m的取值范围．

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22. 如图，O为坐标原点，椭圆C₁： $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ + $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁ ， F₂ ，离心率为e₁；双曲线C₂： $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1的左、右焦点分别为F₃ ， F₄ ，离心率为e₂ ，已知e₁e₂= $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，且|F₂F₄|= $\sqrt{3}$ ﹣1．
（Ⅰ）求C₁、C₂的方程；
（Ⅱ）过F₁作C₁的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM与C₂交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值．

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	每件产品A	每件产品B
研制成本、搭载费用之和（万元）	20	30	计划最大资金额 300万元
产品重量（千克）	10	5	最大搭载重量110千克
预计收益（万元）	80	60