福建省2024年中考真题数学试卷

试卷更新日期：2024-06-25 类型：中考真卷

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一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1. 下列实数中，无理数是（）

A、 $- 3$ B、0 C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\sqrt{5}$

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2. 据《人民日报》3月12日电，世界知识产权组织近日公布数据显示，2023年，全球PCT（《专利合作条约》）国际专利申请总量为27.26万件，中国申请量为69610件，是申请量最大的来源国．数据69610用科学记数法表示为（）

A、 $6961 \times 10$ B、 $696.1 \times 1 0^{2}$ C、 $6.961 \times 1 0^{4}$ D、 $0.6961 \times 1 0^{5}$

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3. 如图是由长方体和圆柱组成的几何体，其俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 在同一平面内，将直尺、含 $30 °$ 角的三角尺和木工角尺 $(C D ⊥ D E)$ 按如图方式摆放，若 $A B ∥ C D$ ，则 $∠ 1$ 的大小为（）

A、 $30 °$ B、 $45 °$ C、 $60 °$ D、 $75 °$

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5. 下列运算正确的是（）

A、 $a^{3} \cdot a^{3} = a^{9}$ B、 $a^{4} \div a^{2} = a^{2}$ C、 ${(a^{3})}^{2} = a^{5}$ D、 $2 a^{2} - a^{2} = 2$

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6. 哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．在质数2，3，5中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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7. 如图，已知点 $A, B$ 在 $⊙ O$ 上， $∠ A O B = 72 °$ ，直线 $M N$ 与 $⊙ O$ 相切，切点为 $C$ ，且 $C$ 为 $\overset{⌢}{A B}$ 的中点，则 $∠ A C M$ 等于（）

A、 $18 °$ B、 $30 °$ C、 $36 °$ D、 $72 °$

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8. 今年我国国民经济开局良好，市场销售稳定增长，社会消费增长较快，第一季度社会消费品零售总额120327亿元，比去年第一季度增长4.7%，求去年第一季度社会消费品零售总额．若将去年第一季度社会消费品零售总额设为 $x$ 亿元，则符合题意的方程是（）

A、 $(1 + 4.7 %) x = 120327$ B、 $(1 - 4.7 %) x = 120327$ C、 $\frac{x}{1 + 4.7 %} = 120327$ D、 $\frac{x}{1 - 4.7 %} = 120327$

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9. 小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案，如图．其中 $△ O A B$ 与 $△ O D C$ 都是等腰三角形，且它们关于直线 $l$ 对称，点 $E, F$ 分别是底边 $A B, C D$ 的中点， $O E ⊥ O F$ ．下列推断错误的是（）

A、 $O B ⊥ O D$ B、 $∠ B O C = ∠ A O B$ C、 $O E = O F$ D、 $∠ B O C + ∠ A O D = 180 °$

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10. 已知二次函数 $y = x^{2} - 2 a x + a (a \neq 0)$ 的图象经过 $A (\frac{a}{2}, y_{1}), B (3 a, y_{2})$ 两点，则下列判断正确的是（）

A、可以找到一个实数 $a$ ，使得 $y_{1} > a$ B、无论实数 $a$ 取什么值，都有 $y_{1} > a$ C、可以找到一个实数 $a$ ，使得 $y_{2} < 0$ D、无论实数 $a$ 取什么值，都有 $y_{2} < 0$

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二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。

11. 因式分解：x²+x=

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12. 不等式 $3 x - 2 < 1$ 的解集是．

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13. 学校为了解学生的安全防范意识，随机抽取了12名学生进行相关知识测试，将测试成绩整理得到如图所示的条形统计图，则这12名学生测试成绩的中位数是．（单位：分）

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14. 如图，正方形 $A B C D$ 的面积为4，点 $E, F, G, H$ 分别为边 $A B, B C, C D, A D$ 的中点，则四边形 $E F G H$ 的面积为．

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15. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象与 $⊙ O$ 交于 $A, B$ 两点，且点 $A, B$ 都在第一象限．若 $A (1, 2)$ ，则点 $B$ 的坐标为．

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16. 无动力帆船是借助风力前行的．下图是帆船借助风力航行的平面示意图，已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角 $∠ P D A$ 为 $70 °$ ，帆与航行方向的夹角 $∠ P D Q$ 为 $30 °$ ，风对帆的作用力 $F$ 为 $400 N$ ．根据物理知识， $F$ 可以分解为两个力 $F_{1}$ 与 $F_{2}$ ，其中与帆平行的力 $F_{1}$ 不起作用，与帆垂直的力 $F_{2}$ 仪可以分解为两个力 $f_{1}$ 与 $f_{2}, f_{1}$ 与航行方向垂直，被舵的阻力抵消； $f_{2}$ 与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力．在物理学上常用线段的长度表示力的大小，据此，建立数学模型： $F = A D = 400$ ，则 $f_{2} = C D =$ ．（单位： $N$ ）（参考数据： $s i n 40 ° = 0.64, c o s 40 ° = 0.77$ ）

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三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17. 计算： $(- 1)^{0} + | - 5 | - \sqrt{4}$ ．

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18. 如图，在菱形 $A B C D$ 中，点 $E, F$ 分别在边 $B C$ 和 $C D$ 上，且 $∠ A E B = ∠ A F D$ ．
求证： $B E = D F$ ．

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19. 解方程： $\frac{3}{x + 2} + 1 = \frac{x}{x - 2}$ ．

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20. 已知A、B两地都只有甲、乙两类普通高中学校．在一次普通高中学业水平考试中，A地甲类学校有考生3000人，数学平均分为90分：乙类学校有考生2000人，数学平均分为80分．

(1)、求A地考生的数学平均分；

(2)、若B地甲类学校数学平均分为94分，乙类学校数学平均分为82分，据此，能否判断B地考生数学平均分一定比A地考生数学平均分高？若能，请给予证明：若不能，请举例说明．

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21. 如图，已知二次函数 $y = x^{2} + b x + c$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A, B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，其中 $A (- 2, 0), C (0, - 2)$ ．

(1)、求二次函数的表达式；

(2)、若 $P$ 是二次函数图象上的一点，且点 $P$ 在第二象限，线段 $P C$ 交 $x$ 轴于点 $D, △ P D B$ 的面积是 $△ C D B$ 的面积的2倍，求点 $P$ 的坐标．

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22. 如图，已知直线 $l_{1} ∥ l_{2}$ ．

(1)、在 $l_{1}, l_{2}$ 所在的平面内求作直线 $l$ ，使得 $l ∥ l_{1} ∥ l_{2}$ ，且 $l$ 与 $l_{1}$ 间的距离恰好等于 $l$ 与 $l_{2}$ 间的距离；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

(2)、在（1）的条件下，若 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 间的距离为2，点 $A, B, C$ 分别在 $l, l_{1}, l_{2}$ 上，且 $△ A B C$ 为等腰直角三角形，求 $△ A B C$ 的面积．

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23. 已知实数 $a, b, c, m, n$ 满足 $3 m + n = \frac{b}{a}, m n = \frac{c}{a}$ ．

(1)、求证： $b^{2} - 12 a c$ 为非负数；

(2)、若 $a, b, c$ 均为奇数， $m, n$ 是否可以都为整数？说明你的理由．

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24. 在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸 $A B C D$ ，要求大家利用它制作一个底面为正方形的礼品盒．小明按照图2的方式裁剪（其中 $A E = F B$ ），恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个礼品盒，如图3所示．

(1)、直接写出 $\frac{A D}{A B}$ 的值；

(2)、如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图4所示，那么应选择的纸盒展开图图样是（）
图4

A、 B、 C、 D、

(3)、今有三种不同型号的矩形卡纸，其规格、单价如下表所示
卡纸型号
型号Ⅰ
型号Ⅱ
型号Ⅲ
规格（单位：cm）
$30 \times 40$
$20 \times 80$
$80 \times 80$
单价（单位：元）
3
5
20
现以小明设计的纸盒展开图（图2）为基本样式，适当调整 $A E$ ， $E F$ 的比例，制作棱长为 $10 c m$ 的正方体礼品盒，如果要制作27个这样的礼品盒，请你合理选择上述卡纸（包括卡纸的型号及相应型号卡纸的张数），并在卡纸上画出设计示意图（包括一张卡纸可制作几个礼品盒，其展开图在卡纸上的分布情况），给出所用卡纸的总费用．
（要求：①同一型号的卡纸如果需要不止一张，只要在一张卡纸上画出设计方案；②没有用到的卡纸，不要在该型号的卡纸上作任何设计；③所用卡纸的数量及总费用直接填在答题卡的表格上；④本题将综合考虑“利用卡纸的合理性”和“所用卡纸的总费用”给分，总费用最低的才能得满分；⑤试卷上的卡纸仅供作草稿用）

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25. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °, A B = A C$ ，以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 交 $B C$ 于点 $D$ ， $A E ⊥ O C$ ，垂足为 $E, B E$ 的延长线交 $\overset{⌢}{A D}$ 于点 $F$ ．

(1)、求 $\frac{O E}{A E}$ 的值；

(2)、求证： $△ A E B ∽ △ B E C$ ；

(3)、求证： $A D$ 与 $E F$ 互相平分．

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卡纸型号	型号Ⅰ	型号Ⅱ	型号Ⅲ
规格（单位：cm）	$30 \times 40$	$20 \times 80$	$80 \times 80$
单价（单位：元）	3	5	20