四川省成都市蓉城名校2023-2024学年高二下学期数学期末试卷

试卷更新日期：2024-06-25 类型：期末考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知 $\frac{n!}{(n - 2)!} = C_{n}^{3}$ ，则 $n$ 的值为（）

A、9 B、8 C、7 D、6

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2. 已知函数 $f (x) = x^{2} + s i n x$ ，则 $f (x)$ 在点 $P (0, 0)$ 处的切线的斜率为（）

A、3 B、2 C、1 D、-1

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3. 已知函数 $f (x) = - \frac{x + 1}{e^{x}}, a > b > 0$ ，则（）

A、 $f (a) > f (b)$ B、 $f (a) < f (b)$ C、 $f (a) = f (b)$ D、 $f (a), f (b)$ 的大小关系不确定

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4. $(x + y) (x - y)^{6}$ 的展开式中 $x^{4} y^{3}$ 的系数是（）

A、10 B、-10 C、5 D、-5

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5. 已知函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ 的图象如图所示，则下列正确的是（）

A、 $a < 0, b > 0$ B、 $a < 0, c > 0$ C、 $a > 0, b < 0$ D、 $a > 0, c < 0$

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6. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”），参照“冰雹猜想”，提出了如下问题：设各项均为正整数的数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = m, a_{n + 1} = {\begin{array}{l} \frac{a_{n}}{2}, & a_{n} 为偶数, \\ a_{n} + 5, & a_{n} 为奇数 \end{array}$ 若 $a_{5} = 4$ ，则 $m$ 的取值可以为（）

A、1 B、3 C、6 D、7

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7. 2024年世界园艺博览会在成都举行，展会期间需要志愿者开展服务活动，其中有5名志愿者全部被安排到3家参展商开展服务活动，每家参展商至少有1名志愿者，则5名志愿者不同的安排方法有（）

A、90种 B、150种 C、300种 D、540种

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8. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足： $2 S_{n} = (n + 1) a_{n} (n \in N^{*})$ ，且 $a_{1} = 1$ ，则 ${(a_{54} + 1)}^{55}$ 被8整除的余数为（）

A、4 B、6 C、7 D、5

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 在二项式 $(1 + 2 x)^{7}$ 的展开式中，下列说法正确的是（）

A、奇数项的二项式系数和为64 B、第6项和第7项二项式系数相等 C、第4项系数为280 D、系数最大的是第6项

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10. 某班一天上午有5节课，现要安排语文､数学､政治､英语､物理5门课程，下列说法正确的是（）

A、数学不排在第1节，物理不排在第5节共有96种排法 B、按语文､数学､英语的前后顺序（不一定相邻）一定共有20种排法 C、语文和英语必须相邻共有48种排法 D、数学和物理不相邻共有72种排法

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11. 甲､乙､丙､丁四人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外3人中的任意1人，设第n次传球后，球在甲手中的概率为 $P_{n} (n \in N^{*})$ .则下列结论正确的是（）

A、 $P_{1} = 0$ B、 $P_{3} = \frac{7}{36}$ C、 $3 P_{n} + 2 P_{n - 1} = 3 (n ⩾ 2)$ D、 $P_{2024} > \frac{1}{4}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，

12. 设随机变量 $x$ 的方差 $D (x) = 2$ ，则 $D (3 x + 1)$ 的值为.

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13. 袋子中有若干除颜色外完全相同的黑球和白球，在第一次摸到白球的条件下，第二次摸到黑球的概率为 $\frac{3}{7}$ ，第一次摸到白球且第二次摸到黑球的概率为 $\frac{1}{7}$ ，则第一次摸到白球的概率为.

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14. 已知函数 $f (x) = (2 x - 3) e^{x} - \frac{1}{2} a x^{2} + a x$ 有两个极值点，则实数 $a$ 的取值范围为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

15. 已知数列 ${a_{n}}$ 是公差不为0的等差数列， $a_{1} = 1, a_{2}$ 是 $a_{1}$ 和 $a_{4}$ 的等比中项.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = 2^{n} + 2 a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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16. 如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $△ A B C$ 为正三角形， $A B = A A_{1} = 2, ∠ A_{1} A C = ∠ A_{1} A B$ ， $O$ 为 $B C$ 的中点， $A_{1} O = 1$ .

(1)、证明： $A_{1} O ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、求平面 $B A A_{1}$ 与平面 $C A A_{1}$ 夹角的余弦值.

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17. 某学校开展社会实践进社区活动，高二某班有 $B_{1}, B_{2}, B_{3}, B_{4}, B_{5}, B_{6}$ 六名男生和 $G_{1}, G_{2}, G_{3}, G_{4}$ 四名女生报名参加活动，从中随机一次性抽取5人参加 $A$ 社区活动，其余5人参加 $B$ 社区活动.

(1)、求参加 $A$ 社区活动的同学中包含 $B_{1}$ 且不包含 $G_{1}$ 的概率；

(2)、用 $X$ 表示参加 $B$ 社区活动的女生人数，求 $X$ 的分布列和数学期望.

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18. 已知函数 $f (x) = \frac{2 l n x + 1}{x} - a x, a \in R$ .

(1)、讨论函数 $g (x) = x f (x)$ 的单调区间：

(2)、若函数 $f (x)$ 有两个不同的零点 $x_{1}, x_{2}$ ，
①求 $a$ 的取值范围，
②证明： $a {(x_{1} + x_{2})}^{2} > 4$ .

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19. 已知椭圆 $D : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，且过点 $(2, 1)$ .过椭圆 $D$ 上的点 $A$ 作圆 $O : x^{2} + y^{2} = 2$ 的两条切线，其中一条切线与椭圆 $D$ 相交于点 $B$ ，与圆 $O$ 相切于点 $C$ ，两条切线与 $y$ 轴分别交于 $E, F$ 两点.

(1)、求椭圆 $D$ 的方程；

(2)、线段 $| B C | \cdot | C A |$ 是否为定值，若是，请求出 $| B C | \cdot | C A |$ 的值；若不是，请说明理由：

(3)、若椭圆上点 $A (x_{0}, y_{0}) (x_{0} ⩾ 2)$ ，求 $△ A E F$ 面积的取值范围.

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