云南省大理市2023-2024学年高二下学期数学6月质量检测试卷

试卷更新日期：2024-06-25 类型：月考试卷

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 小王每次通过英语听力测试的概率是 $\frac{2}{3}$ ，且每次通过英语听力测试相互独立，他连续测试3次，那么其中恰有1次通过的概率是（）

A、 $\frac{2}{9}$ B、 $\frac{2}{27}$ C、 $\frac{3}{9}$ D、 $\frac{4}{9}$

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2. $(1 + x) {(1 - 2 x)}^{5}$ 的展开式中 $x^{2}$ 的系数为

A、-40 B、-10 C、40 D、30

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3. 函数 $f (x) = x^{3} - x - 1$ 的图象在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程为（）

A、 $y = 2 x - 3$ B、 $y = x - 2$ C、 $y = - x$ D、 $y = - 2 x + 1$

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4. 某班联欢会原定5个节目，已排成节目单，开演前又增加了2个节目，现将这2个新节目插入节目单中，要求新节目既不排在第一位，也不排在最后一位，那么不同的插法种数为（）

A、12 B、18 C、20 D、60

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5. 设 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{1} = 1$ ，公差 $d = 2$ ， $S_{k + 2} - S_{k} = 24 (k \in Z)$ ，则 $k =$ （）

A、8 B、7 C、6 D、5

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6. 已知随机变量ε服从正态分布 $N (2, σ^{2})$ ，若 $P (ε \leq 4) = 0.8$ ，则 $P (0 \leq ε \leq 2) =$ （）

A、0.2 B、0.3 C、0.5 D、0.6

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7. 已知 $S_{n}$ 是等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{3} = 3, S_{3} = 9$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的公比是（）

A、 $- \frac{1}{2}$ 或1 B、 $\frac{1}{2}$ 或1 C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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8. 定义集合 $M = {x_{0} ∣ x_{0} \in R, x \in (- \infty, x_{0}), f (x) < f (x_{0})}$ ，在使得 $M = [- 1, 1]$ 的所有 $f (x)$ 中，下列成立的是( )

A、 $f (x)$ 是偶函数 B、 $f (x)$ 在 $x = 2$ 处取最大值 C、 $f (x)$ 严格增 D、 $f (x)$ 在 $x = - 1$ 处取到极小值

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数 $y = A \sin ω t$ ，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数 $f (x) = \sin x + \frac{1}{2} \sin 2 x$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $2 π$ 是 $f (x)$ 的一个周期 B、 $f (x)$ 在 $[0 ， 2 π]$ 上有3个零点 C、 $f (x)$ 的最大值为 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ D、 $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上是增函数

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10. 某不透明的盒子里装有若干个形状、大小、材质完全相同的红色和黑色的小球，现从盒子里随机抽取小球，每次抽取一个，用随机变量 $X$ 表示事件"抽到的小球为红色"发生的次数，下列说法正确的有（）

A、若盒子里有2个红色小球，4个黑色小球，从盒子里不放回地抽取小球，则第一次抽到红色小球且第二次抽到黑色小球的概率为 $\frac{4}{15}$ B、若盒子里有2个红色小球，4个黑色小球，从盒子里有放回地抽取6次小球，则 $X ~ B (6, \frac{1}{3})$ 且 $D (2 X + 1) = \frac{8}{3}$ C、若盒子里有 $N (N > 6, N \in Z)$ 个小球，其中红色小球有 $M$ 个，从盒子里不放回地随机抽取6个小球，且有红色球的数学期望为2，则盒子里黑色小球的个数是红色小球个数的2倍 D、若 $X ~ B (3, p) ， η ~ N (4, σ^{2}), P (X = 0) = 0.343 ， P (4 < η < 5) = p$ ，则 $P (η ⩽ 3) = 0.3$

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11. 大衍数列来源《乾坤诺》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程．已知大衍数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 0$ ， $a_{n + 1} = {\begin{array}{l} a_{n} + n + 1, n 为奇数 \\ a_{n} + n, n 为偶数 \end{array}$ ，则( )

A、 $a_{4} = 6$ B、 $a_{n + 2} = a_{n} + 2 (n + 1)$ C、 $a_{n} = {\begin{array}{l} \frac{n^{2} - 1}{2}, n 为奇数 \\ \frac{n^{2}}{2}, n 为偶数 \end{array}$ D、 $a_{1} - a_{2} + a_{3} - a_{4} + a_{5} - a_{6} + a_{7} - a_{8} = - 20$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 假设有两箱零件，第一箱内装有10件，其中有2件次品；第二箱内装有20件，其中有3件次品.现从两箱中随意挑选一箱，然后从该箱中随机取1个零件，则取出的零件是次品的概率是.

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13. 记 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{3} + a_{4} = 7, 3 a_{2} + a_{5} = 5$ ，则 $S_{10} =$ .

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14. 若曲线y＝e^x+x在点（0，1）处的切线也是曲线y＝ln（x+1）+a的切线，则a＝．

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四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 袋子中有大小相同的2个白球､3个黑球，每次从袋子中随机摸出一个球.

(1)、若摸出的球不再放回，求在第一次摸到白球的条件下，第二次摸到白球的概率；

(2)、若对摸出球看完颜色后就放回，这样连续摸了3次，求3次摸球中摸到白球的次数的分布列和均值.

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16. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的首项为1，公差为2．正项数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $2 S_{n} = b_{n}^{2} + b_{n}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和数列 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $c_{n} = {\begin{array}{l} a_{n}, n 为奇数 \\ 2^{b_{n}}, n 为偶数 \end{array}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $2 n$ 项和．

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17. 已知函数 $f (x) = a x - l n x (a \in R)$

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的最小值；

(2)、 $\forall x \in (0, + \infty)$ ， $f (x) > 0$ ，求 $a$ 的取值范围.

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18. 为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：
时间范围
学业成绩
$[0, 0.5)$
$[0.5, 1)$
$[1, 1.5)$
$[1.5, 2)$
$[2, 2.5)$
优秀
5
44
42
3
1
不优秀
134
147
137
40
27

(1)、该地区29000名学生中体育锻炼时长大于1小时人数约为多少？

(2)、估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）

(3)、是否有 $95 %$ 的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？
附： $χ^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $P (χ^{2} \geq 3.841) \approx 0.05$ .

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19. 已知无穷数列 ${a_{n}} (a_{n} \neq 0, n \in N^{*})$ ，构造新数列 ${a_{n}^{(1)}}$ 满足 $a_{n}^{(1)} = a_{n + 1} - a_{n}, {a_{n}^{(2)}}$ 满足 $a_{n}^{(2)} = {a_{n + 1}}^{(1)} - {a_{n}}^{(1)}, ⋯ ⋯, {{a_{n}}^{(k)}}$ 满足 ${a_{n}}^{(k)} = {a_{n + 1}}^{(k - 1)} - {a_{n}}^{(k - 1)} (k \geq 2, k \in N^{*})$ ，若 ${{a_{n}}^{(k)}}$ 为常数数列，则称 ${a_{n}}$ 为 $k$ 阶等差数列；同理令 $b_{n}^{(1)} = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}},$ $b_{n}^{(2)} = \frac{b_{n + 1}^{(1)}}{b^{(1)}}, ⋯ ⋯, b_{n}^{(k)} = \frac{b_{n + 1}^{(k - 1)}}{b_{n}^{(k - 1)}} (k \geq 2, k \in N^{*})$ ，若 ${b_{n}^{(k)}}$ 为常数数列，则称 ${a_{n}}$ 为 $k$ 阶等比数列..

(1)、已知 ${a_{n}}$ 为二阶等差数列，且 $a_{1} = 1, a_{2} = 4, a_{n}^{(2)} = 2$ ，求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 ${a_{n}}$ 为阶等差数列， ${b_{n}}$ 为一阶等比数列，证明： ${b_{n}^{a_{n}}}$ 为阶等比数列；

(3)、已知 $d_{n} = \frac{- 3 n^{2} + 8 n - 1}{4^{n}}$ ，令 ${d_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, T_{n} = \sum_{m = 1}^{n} \sqrt{S_{m} - 1}$ ，证明： $T_{n} < 2$ .

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