上海市静安区2023-2024学年高一下学期数学期末试卷

试卷更新日期：2024-06-25 类型：期末考试

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一、填空题（本大题共有10题，满分35分，其中115题每题3分，610题每题4分）【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．】

1. 已知向量 $\vec{a} = (2, 3), \vec{b} = (- 2, 4), \vec{c} = (- 1, - 2)$ ，则 $(\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{c} =$ ．

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2. 若复数 $z$ 满足 $(1 + i) (z - 1) = 2$ （ $i$ 为虚数单位），则 $| \bar{z} | =$ ．

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3. 已知 ${a_{n}}$ （其中 $n$ 为正整数）是公比为 $q$ 的等比数列，且 $a_{1} = \frac{1}{3}, a_{7} = 9$ ，则 $q^{2} =$ ．

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4. 已知角 $α$ 的终边经过点 $P (- 8, - 6)$ ，则 $c o s 2 α =$ ．

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5. 已知向量 $\vec{a} = (k, - 1), \vec{b} = (2, - 1)$ ，且 $(\vec{a} + \vec{b}) ∥ \vec{b}$ ，则实数 $k =$ ．

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6. 已知平面上 $A, B$ 两点的坐标分别是 $(2, 5), (3, 0), M$ 是直线 $A B$ 上的一点，且 $\vec{A M} = - \frac{2}{3} \vec{M B}$ ，则点 $M$ 的坐标是．

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7. 在 $△ A B C$ 中，若 $s i n A : s i n B : s i n C = 3 : 4 : 6$ ，那么 $c o s C =$ ．

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8. 设 $α$ 是正实数，将函数 $y = \sqrt{3} | x |$ 的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角 $θ (0 < θ < α)$ ，得到的曲线仍然是某个函数的图象，则 $α$ 的最大值．

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9. 已知角 $θ \in (π, 2 π), θ$ 的终边经过点 $(c o s 1 + s i n 1, c o s 1 - s i n 1)$ ，则 $θ =$ ．

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10. 函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, 0 < φ < π)$ 的部分图像的示意图如图所示，已知 $f (x_{1}) + f (x_{2}) = 0$ ，且 $| x_{2} - x_{1} | < \frac{π}{2}$ ，则 $f (x_{1} + x_{2}) =$ ．

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二、选择题（本大题共有3题，满分12分，每题4分）【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得相应分值，否则一律得零分．】

11. 已知 $t a n α > 0, s i n α < 0$ ，则角 $α$ 的终边所在的象限为第（）象限．

A、一 B、二 C、三 D、四

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12. 已知函数 $f (x) = x^{3} + a x + b s i n x - 3$ ，且 $f (- \frac{π}{2}) = - 20$ ，则 $f (\frac{π}{2}) =$ （）

A、11 B、14 C、17 D、20

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13. 若函数 $y = l o g_{(a^{2} - 1)} x$ 在 $(0, + ∞)$ 内是严格减函数，则实数 $a$ 的取值范围是（）．

A、 $| a | > 1$ B、 $| a | < \sqrt{2}$ C、 $a > \sqrt{2}$ D、 $1 < | a | < \sqrt{2}$

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三、解答题（本大题共有5题，满分53分）【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．】

14. 已知一元二次方程 $x^{2} - 4 x + 5 = 0$ ．

(1)、在复数范围内解该方程；

(2)、设这个方程的两个复数根 $z_{1}, z_{2}$ 在复平面上所对应的向量分别为 $\vec{O Z_{1}}, \vec{O Z_{2}}$ （ $O$ 为坐标原点），求 $\vec{O Z_{1}}$ 与 $\vec{O Z_{2}}$ 夹角 $θ$ 的大小．（结果用反三角函数值表示）

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15. 设 $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和（其中 $n$ 为正整数），已知 $a_{2} = 4, S_{4} = 20$ ，且数列 ${\frac{S_{n}}{n}}$ 是等差数列，求 $S_{n}$ ．

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16. 化简下列各式：

(1)、 $c o s (α + \frac{π}{4}) + s i n (α + \frac{π}{4})$ ；

(2)、 $\frac{s i n (π - α)}{t a n (π + α)} \cdot \frac{c o t (\frac{π}{2} - α)}{t a n (\frac{π}{2} + α)} \cdot \frac{c o s (2 π + α)}{s i n (2 π - α)}$ ．

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17. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ ．

(1)、某同学打算用“五点法”画出函数 $y = f (x)$ 在某一周期内的图像，列表如下：
x $- \frac{2 π}{3}$ $\frac{π}{3}$ $\frac{4 π}{3}$ $\frac{7 π}{3}$ $\frac{10 π}{3}$
$ω x + φ$
0
$\frac{π}{2}$
$π$
$\frac{3 π}{2}$
$2 π$
$s i n (ω x + φ)$
0
1
0
$- 1$
0
$f (x)$
0
$\sqrt{3}$
0

0
请在答题纸上填写上表的空格处数值，并写出函数 $y = f (x)$ 的表达式和单调递增区间；

(2)、将（1）中函数 $y = f (x)$ 的图像向下平移 $m$ 个单位得到 $y = g (x)$ 的图像，若函数 $y = g (x)$ 在闭区间 $[0, π]$ 上恰有两个零点，请直接写出实数 $m$ 的取值范围．

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18. 在某一个十字路口，每次亮绿灯的时长为 $15 s$ （ $s$ 为时间单位：秒），那么每次绿灯亮时，在同一条直行道路上同方向能有多少辆汽车通过该十字路口？
该问题涉及车长、车距、车速，前方堵塞状况包括行人非机动车等因素．为了将问题简化，在路况车况驾驶状态等都良好的前提下，提出如下基本假设：
⑴通过路口的车辆长度都相等；
⑵等待通行时，前后相邻两辆车的车距都相等；
⑶绿灯亮时，汽车都是沿同方向从静止状态匀加速启动，到达最高限速汽车开始匀速行驶；
⑷离路口信号灯最近的第一辆车在绿灯亮后延迟 $1 s$ 时间开始动起来．前一辆车启动后，下一辆车启动的延迟时间相等，在延迟时间内，车辆保持静止；
⑸按照交通安全法规行驶，行车秩序良好，没有碰擦或堵塞等现象发生．
一名建模爱好者收集数据整理如下：
⑴车长设为 $l$ ，取 $5 m$ ，车距设为 $d$ ，取 $2 m$ ，第一辆车离停车线距离为 $0 m$ ；
⑵加速度记作 $a$ ，取 $2 m / s^{2}$ ，汽车在匀加速运动 $t s$ 时段行驶路程 $S = \frac{1}{2} a t^{2}$ ；
⑶前后车启动延迟时间记为 $T$ ，取 $1 s$ ；
⑷第 $n$ 辆车启动延迟时间为 $t_{n}, t_{n} = n T$ ；
⑸该十字路口限速 $v^{*} = 40 k m / h$ ，换算为 $11.11 m / s$ ；
⑹第 $n$ 辆车到达最高限速的时间为 $t_{n} *, t_{n} * - t_{n} = v^{*} / a$ 取 $5 ． 55 s$ ．
设第 $n$ 辆车在绿灯持续 $t s$ 时间内驶离停车线的距离为 $S_{n} (t)$ ．根据上述假设与数据， $S_{1} (0) = 0 m, S_{2} (0) = - 7 ． 0 m$ ，依次类推．请你解决下列问题：

(1)、求 $S_{3} (0), S_{1} (15)$ ；（结果保留一位小数，单位： $m$ ）

(2)、对于第 $n$ 辆车，写出函数 $S_{n} (t)$ 的分段表达式；

(3)、求在亮绿灯的 $15 s$ 内，这一条直行道路上同方向能有多少辆汽车通过该十字路口．

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x	$- \frac{2 π}{3}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{4 π}{3}$	$\frac{7 π}{3}$	$\frac{10 π}{3}$
$ω x + φ$	0	$\frac{π}{2}$	$π$	$\frac{3 π}{2}$	$2 π$
$s i n (ω x + φ)$	0	1	0	$- 1$	0
$f (x)$	0	$\sqrt{3}$	0		0