上海市位育中学2023-2024学年高二下学期数学期末试卷

试卷更新日期：2024-06-25 类型：期末考试

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一、填空题（本大题共有12小题，满分42分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得0分.

1. 已知集合 $A = {1, 2, 3}, B = {x ∣ 2 x - x^{2} \leq 0}$ ，则 $A \cap B =$ .

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2. 函数 $y = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x$ 的驻点是.

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3. 已知两点 $P (m, 2), Q (2, 4)$ 所在直线的斜率为1，则 $m =$ .

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4. 已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (2, σ^{2})$ ，且 $P (2 < X \leq 2.5) = 0.3$ ，则 $P (X > 2.5) =$ .

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5. 若椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{k + 2} = 1$ 的一个焦点为 $(0, - 2)$ ，则 $k =$ .

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6. 已知直线 $3 x + 2 y - 3 = 0$ 与直线 $6 x + m y + 7 = 0$ 互相平行，则它们之间的距离是.

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7. 已知 $(1 - 2 x)^{7} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + ⋯ + a_{7} x^{7}$ ，则 $a_{1} + a_{2} + ⋯ + a_{7} =$ .

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8. 设点 $P$ 是曲线 $x^{2} = 4 y$ 上一点，则点 $P$ 到直线 $l : 3 x + 4 y + 6 = 0$ 最小的距离为.

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9. 若直线 $2 a x - b y + 2 = 0 (a, b \in R^{+})$ 是曲线 $x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y + 1 = 0$ 的一条对称轴，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值是.

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10. 已知 $P_{1}, P_{2}, \dots, P_{8}$ 是抛物线 $x^{2} = 4 y$ 上不同的点，且 $F (0, 1)$ .若 $\vec{F P_{1}} + \vec{F P_{2}} + \dots + \vec{F P_{8}} = \vec{0}$ ，则 $| \vec{F P_{1}} | + | \vec{F P_{2}} | + \dots + | \vec{F P_{8}} | =$ .

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11. 已知 $A (- 1, 0), B (3, 0), P$ 是圆 $O : x^{2} + y^{2} = 45$ 上的一个动点，则 $s i n ∠ A P B$ 的最大值为.

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{1}{2} - | x - \frac{3}{2} | (x ⩽ 2) \\ e^{x - 2} (- x^{2} + 8 x - 12) (x > 2) \end{array}$ ，若在区间 $(1, + ∞)$ 上存在 $n (n ⩾ 2)$ 个不同的数 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, ⋯, x_{n}$ ，使得 $\frac{f (x_{1})}{x_{1}} = \frac{f (x_{2})}{x_{2}} = \dots \frac{f (x_{n})}{x_{n}}$ 成立，则 $n$ 的取值集合是.

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二、选择题（本大题共有4题，满分16分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.

13. 已知 $a ， b \in R$ ，则“ $a = b$ ”是“ $\frac{a + b}{2} = \sqrt{a b}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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14. 函数 $f (x) = x^{3} - \frac{m}{x} (m > 0)$ 的图像可能是（）

A、 B、 C、 D、

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15. 下列命题为真命题的有（）

A、若随机变量 $X$ 的方差为 $\frac{12}{25}$ ，则 $D [5 X + 2] = 14$ B、已知经验回归方程 $y = 3 - 2 x$ ，则 $y$ 与 $x$ 具有正线性相关关系 C、对于随机事件 $A$ 与 $B$ ，若 $P (\bar{B}) = 0.3, P (B ∣ A) = 0.7$ 则事件 $A$ 与 $B$ 独立 D、根据分类变量 $X$ 与 $Y$ 的成对样本数据，计算得到 $χ^{2} = 3.712$ ，根据 $α = 0.05$ 的独立性检验 $(P (χ^{2} ⩾ 3.841) = 0.05)$ ，有 $95 %$ 的把握认为 $X$ 与 $Y$ 有关

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16. 点 $P$ 为抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 准线上的点，若存在过 $P$ 的直线交拋物线 $C$ 于 $A ､ B$ 两点，且 $| P A | = | A B |$ ，则称点 $P$ 为“ $Ω$ 点”，那么下列结论中正确的是（）

A、准线上的所有点都不是“ $Ω$ 点” B、准线上的所有点都是“ $Ω$ 点” C、准线上仅有有限个点是“ $Ω$ 点” D、准线上有无穷多个点（不是所有的点）是“ $Ω$ 点”

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三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.

17. 已知 $a \in R$ ，解关于 $x$ 的不等式 $\frac{a x^{2}}{a x - 1} > x$

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18. 设双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左､右焦点分别是 $F_{1}, F_{2}$ ，渐近线分别为 $l_{1}, l_{2}$ ，过 $F_{2}$ 作渐近线的垂线，垂足为 $P$ ，且 $△ O P F_{1}$ 的面积为 $\frac{b^{2}}{4}$ .求双曲线 $C$ 的离心率.

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19. 某工厂生产某产品的固定成本为400万元，每生产 $x$ 万箱，需另投入成本 $p (x)$ 万元，当产量不足60万箱时， $p (x) = \frac{1}{150} x^{3} + 150 x$ ；当产量不小于60万箱时， $p (x) = 201 x + \frac{6400}{x} - 1860$ ，若每箱产品的售价为200元，通过市场分析，该厂生产的产品可以全部每售完.

(1)、求销售利润 $y$ （万元）关于产量 $x$ （万箱）的函数关系式；

(2)、当产量为多少万箱时，该厂在生产中所获得利润最大？

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20. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ .

(1)、若椭圆 $C$ 的左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}, P$ 为 $C$ 的上顶点，求 $△ P F_{1} F_{2}$ 的周长；

(2)、设过定点 $M (0, 2)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于不同的两点 $A ､ B$ ，且 $∠ A O B$ 为锐角（其中 $O$ 为坐标原点），求直线 $l$ 的斜率 $k$ 的取值范围.

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21. 已知 $f (x) = 2 x + 1 - x l n x$ .

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程；

(2)、若对任意的 $x_{1}, x_{2} \in (0, + ∞)$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > m (x_{1} + x_{2})$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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