四川省凉山州安宁联盟2023-2024学年高二下学期数学期末联考试卷

试卷更新日期：2024-06-25 类型：期末考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{5} = 1$ ， $a_{8} + a_{13} = 24$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的公差d=（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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2. 函数f（x）＝lnx－x＋1的图像在点（1，f（1））处的切线方程是（）

A、y＝0 B、x＝0 C、y＝1 D、x＝1

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3. ${(2 x + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n}$ 的二项展开式中，二项式系数之和等于256，则二项展开式中二项式系数最大的项为（）

A、 $1120 x^{2}$ B、 $1792 x^{\frac{7}{2}}$ C、 $448 x^{\frac{1}{2}}$ D、 $112 x^{5}$

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4. 为弘扬“五四”精神学校举行了一次演讲比赛，经过大数据分析，发现本次演讲比赛的成绩服从N（70，64），据此估计比赛成绩不小于86的学生所占的百分比为（）
参考数据：P（μ－σ<X<μ+σ）≈0.6827，P（μ－2σ<X<μ+2σ）≈0.9545，P（μ－3σ<X<μ+3σ）≈0.9973

A、0.135％ B、0.27％ C、2.275％ D、3.173％

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5. 电影飞驰人生中对汽车的撞击能力进行检测，需要对汽车实施两次撞击，若没有受损，则认为该汽车通过质检．若第一次撞击后该汽车没有受损的概率为0.84，当第一次没有受损时第二次实施撞击也没有受损的概率为0.85，则该汽车通过检验的概率为（）

A、0.794 B、0.684 C、0.714 D、0.684

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6. 已知函数 $f (x) = l n x - a x^{2} + x$ 在区间[1，2]上单调递增，则实数a的最大值是（）

A、1 B、 $\frac{3}{8}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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7. 用红、黄、蓝三种不同颜色给如图所示的4块区域A、B、C、D涂色，要求同一区域用同一种颜色，有共公边的区域使用不同颜色，则共有涂色方法（）

A、14种 B、16种 C、20种 D、18种

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8. 已知可导函数f（x）的定义域为（-∞，0），其导函数f^'（x）满足xf^'（x）+2f（x）＞0，则不等式（x+2024）²•f（x+2024）-f（-1）＜0的解集为（　　）

A、（－2025，－2024） B、（－2024，－2023） C、（－∞，－2024） D、（－∞，－2023）

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 设随机变量ξ的分布列为 $P (ξ = \frac{k}{4}) = a k$ ，（k＝1，2，3，4），则（）

A、10a＝1 B、P（0.3＜ξ＜0.82）＝0.5 C、 $E (ξ) = \frac{3}{4}$ D、P（ξ＝1）＝0.3

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10. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{1} = 29$ ， $S_{12} = S_{18}$ ，则下列选项正确的有（）

A、 $a_{9} = 13$ B、数列 ${a_{n}}$ 是递增数列 C、当n＝15时， $S_{n}$ 取得最大值为225 D、 $\frac{S_{n} - 30 n}{a_{n} - 30}$ 的最小值为1

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11. 已知m∈R，n∈R，且mn≠0，x＝1为函数 $f (x) = - (n - m x) (x^{2} - 2 x + 1)$ 的极小值点，则下列不等式可以成立的有（）

A、 $m^{2} < n^{2} < m n$ B、 $n^{2} < m n < m^{2}$ C、 $n^{2} < m^{2} < m n$ D、 $m^{2} < m n < n^{2}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 若已知 $x^{2} {(x + 4)}^{8} = a_{0} + a_{1} (x + 3) + a_{2} {(x + 3)}^{2} + a_{3} {(x + 3)}^{3} + … + a_{10} {(x + 3)}^{10}$ ，则 $a_{0} + a_{2} + a_{4} + a_{6} + a_{8} + a_{10} =$ .

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13. 某学校选派甲，乙，丙，丁共4位教师分别前往A，B，C三所中学支教，其中每所中学至少去一位教师，乙，丙不去C中学但能去其他两所中学，甲，丁三个学校都能去，则不同的安排方案的种数是（用数字作答）

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14. 已知 $f (x) = a {x^{a}}^{- 1} l n x$ ， $g (x) = e^{x}$ ，对任意的x＞2都有f（x）≤g（x），则a的取值范围是.

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， ${a_{n}}_{+ 1} = S_{n} + 3$ ， $a_{1} = 3$

(1)、证明： ${a_{n}}$ 是等比数列，并求出 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、已知 $c_{n} = \frac{n a_{n}}{2^{n - 1}} + \frac{a_{n}}{3}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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16. 某歌手选秀节目，要求参赛歌手先参加初赛．歌手晋级与否由A、B、C三名导师负责．首先由A、B两位导师对歌手表现进行初评，若两位老师均表示通过，则歌手晋级；若均表示不通过，则歌手淘汰；若只有一名导师表示通过，则由老师C进行复合审查，复合合格才能通过；并晋级．已知每个歌手通过A、B、C三位导师审核的概率分别为 $\frac{2}{3}$ ， $\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{3}$ ，且各老师的审核互不影响．

(1)、在某歌手通过晋级的条件下，求他（她）经过了复合审查的概率；

(2)、从参赛歌手中选出3人，设其中通过晋级的人数为X ，求X的分布列和数学期望．

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17. 教育局为了了解本区高中生参加户外运动的情况，从本区随机抽取了600名高中学生进行在线调查，收集了他们参加户外运动的时间（单位：小时）分配情况等数据，并将样本数据分成[0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]，（12，14]，（14，16]，（16，18]九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．

(1)、为进一步了解这600名学生参加户外运动时间的分配情况，从参加户外运动时间在（12，14]，（14，16]，（16，18]三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人．记参加户外运动时间在（14，16]内的学生人数为X ，求X的分布列和期望；

(2)、以调查结果的频率估计概率，从该区所有高中学生中随机抽取10名学生，用“ $P_{10} (k)$ ”表示这10名学生中恰有k名学生户外运动时间在（10，12]（单位：小时）内的概率，当 $P_{10} (k)$ 最大时求k的值．

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18. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差d≠0，且 $a_{1}$ ， $a_{4}$ ， $a_{13}$ 成等比数列， ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $S_{2} + S_{5} = 43$ ，设 $b_{n} = 2^{n} \cdot a_{n}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，

(1)、求数列 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若不等式 $(T_{n} - 2) λ + 2 S_{n} - 11 n + 3 \leq 0$ 对一切 $n \in N^{*}$ 恒成立，求实数λ的最大值．

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19. 已知函数f（x）＝mx－lnx ， $g (x) = \frac{e^{x}}{x} (m \neq 0)$ 的定义域为（0，＋∞）．

(1)、求g（x）的极值点；

(2)、讨论f（x）的单调性；

(3)、若函数f（g（x））存在唯一极小值点，求m的取值范围．

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