浙江省宁波市2023-2024学年高二下学期数学期末试卷

试卷更新日期：2024-06-25 类型：期末考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合 $U = {1, 2, 3, 4, 5}$ ， $A = {1, 2, 4}$ ， $B = {1, 5}$ ，则 $(∁_{U} A) ∩ B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 ${1}$ C、 ${5}$ D、 ${1, 5}$

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2. 已知复数 $z = 1 + 2 i$ ，则 $\frac{1}{z}$ 的虚部为（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{2}{5} i$ C、 $- \frac{2}{5} i$ D、 $- \frac{2}{5}$

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3. 已知角 $α$ 的终边过点 $(- 4, 3)$ ，则 $\frac{s i n α + c o s α}{s i n α} =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{7}{3}$

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4. 已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 为单位向量，则“ $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ”是“ $| \vec{a} - 2 \vec{b} | = | 2 \vec{a} + \vec{b} |$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 对于直线m ， n和平面 $α$ ， $β$ ，下列说法错误的是（）

A、若 $m ∥ α$ ， $n ∥ α$ ， m ， n共面，则 $m ∥ n$ B、若 $m \subset α$ ， $n ∥ α$ ， m ， n共面，则 $m ∥ n$ C、若 $m ⊥ β$ ，且 $α ∥ β$ ，则 $m ⊥ α$ D、若 $m ⊥ α$ ，且 $m ∥ β$ ，则 $α ⊥ β$

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6. 若 $l n x - l n y > y^{2} - x^{2}$ ，则（）

A、 $e^{x - y} > 1$ B、 $e^{x - y} < 1$ C、 $l n | x - y | > 0$ D、 $l n | x - y | < 0$

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7. 袋子中有n个大小质地完全相同的球，其中4个为红球，其余均为黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，已知摸出的2个球都是红球的概率为 $\frac{1}{6}$ ，则两次摸到的球颜色不相同的概率为（）

A、 $\frac{5}{18}$ B、 $\frac{4}{9}$ C、 $\frac{5}{9}$ D、 $\frac{13}{18}$

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8. 颐和园的十七孔桥，初建于清乾隆年间；永定河上的卢沟桥，始建于宋代；四川达州的大风高拱桥，修建于清同治7年，这些桥梁屹立百年而不倒，观察它们的桥梁结构，有一个共同的特点，那就是拱形结构，这是悬链线在建筑领域的应用。悬链线出现在建筑领域，最早是由十七世纪英国杰出的科学家罗伯特·胡克提出的，他认为当悬链线自然下垂时，处于最稳定的状态，反之如果把悬链线反方向放置，它也是一种稳定的状态，后来由此演变出了悬链线拱门，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为 $c o s h (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ ，相应的双曲正弦函数的表达式为 $s i n h (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ ．若关于x的不等式 $4 m c o s h^{2} (x) - 4 s i n h (2 x) - 1 > 0$ 对任意的 $x > 0$ 恒成立，则实数m的取值范围为（）

A、 $(2, + \infty)$ B、 $[2, + \infty)$ C、 $(\frac{1}{4}, + \infty)$ D、 $[\frac{1}{4}, + \infty)$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9. 已知平面向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (- 2, x)$ ，则（）

A、当 $x = 2$ 时， $\vec{a} + \vec{b} = (- 1, 4)$ B、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $x = - 1$ C、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x = 1$ D、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为针角，则 $x \in (- \infty, - 4) ∪ (- 4, 1)$

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10. 已知函数 $f (x) = \frac{m \cdot 2^{x} - 1}{2^{x} + 1}$ 是奇函数，则下列说法正确的是（）

A、 $m = 1$ B、 $f (x) = - 1$ 无解 C、 $f (x)$ 是减函数 D、 $f (2024) + f (- 2023) > 0$

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11. 如图，点P是棱长为3的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的表面上一个动点， $\vec{A_{1} E} = \frac{1}{3} \vec{A_{1} B_{1}}$ ， $\vec{A_{1} F} = \frac{1}{3} \vec{A_{1} D_{1}}$ ， $B_{1} P ∥$ 平面AEF ，则下列说法正确的是（）

A、三棱锥 $A - P E F$ 的体积是定值 B、存在一点P ，使得 $C_{1} P ⊥ A_{1} C$ C、动点P的轨迹长度为 $5 \sqrt{2} + 2 \sqrt{10}$ D、五面体 $E F - A B D$ 的外接球半径为 $\frac{\sqrt{211}}{6}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12. 设 $f (x) = {\begin{array}{l} l o g_{3} x, 0 < x < 1 \\ \frac{1}{1 + x}, x \geq 1 \end{array}$ ，则 $f (f (2)) =$ ．

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13. 已知正实数x ， y满足 $x^{2} + 4 y^{2} - 2 x y = 1$ ，则xy的最大值为．

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14. 在△ABC中，a ， b ， c分别是A ， B ， C所对的边， $b^{2} - a^{2} = \frac{1}{3} c^{2}$ ，当 $t a n A + \frac{1}{t a n B}$ 取得最小值时，角C的大小为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15. 已知单位向量 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 满足 $\vec{e_{1}} \cdot \vec{e_{2}} = \frac{1}{2}$ ．

(1)、求 $| 2 \vec{e_{1}} + 3 \vec{e_{2}} |$ ；

(2)、求 $\vec{e_{1}} - 3 \vec{e_{2}}$ 在 $\vec{e_{1}}$ 上的投影向量（用 ${\vec{e}}_{1}$ 表示）．

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16. 函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2}$ ）的部分图象如图， $P (\frac{2}{3}, 0)$ 和 $Q (\frac{11}{3}, - \sqrt{3})$ 均在函数 $f (x)$ 的图象上，且Q是图象上的最低点．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若 $f (x_{0}) = \frac{4 \sqrt{3}}{5}$ ， $x_{0} \in [\frac{5}{3}, \frac{8}{3}]$ ，求 $c o s \frac{π x_{0}}{2}$ 的值．

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17. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $∠ A B C = ∠ P B C = 45 °$ ， $P A = \sqrt{2}$ ， $A B = B C = P B = 2$ ， $A D ⊥ B C$ ，点D在BC上，点E为PA的中点．

(1)、求证：平面 $P A D ⊥$ 平面PBC；

(2)、求BE与平面PBC所成角的正弦值．

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18. 为纪念五四青年运动105周年，进一步激励广大团员青年继承和发扬五四精神，宁波市教育局组织中小学开展形式多样、内容丰富、彰显青年时代风貌的系列主题活动．某中学开展“读好红色经典，争做强国少年”经典知识竞赛答题活动，现从该校参加竞赛的全体学生中随机选取100份学生的答卷作为样本，所有得分都分布在 $[0, 140]$ ，将得分数据按照 $[0, 20)$ ， $[20, 40)$ ， …， $[120, 140]$ 分成7组，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)、估计该中学参加竞赛学生成绩的平均分（注：同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

(2)、估计该中学参加竞赛学生成绩的第75百分位数（结果精确到0.1）；

(3)、若竞赛得分100分及以上的学生视为“强国少年”．根据选取的100份答卷数据统计；竞赛得分在 $[100, 120)$ 内学生的平均分和方差分别为110和9，竞赛得分在 $[120, 140]$ 内学生的平均分和方差分别为128和6，请估计该中学“强国少年”得分的方差．

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19. 已知函数 $f (x) = x^{3} - 4 u x + 3 u^{2}$ ．

(1)、当 $u = 1$ 时，求 $f (\frac{5}{4})$ ，并判断函数 $f (x)$ 零点的个数；

(2)、当 $u \in (\frac{1}{3}, 1)$ 时， $f (x)$ 有三个零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3} (x_{1} < x_{2} < x_{3})$ ，记 ${(\frac{u}{x_{i}} - \frac{2}{3})}^{2} = t_{i}$ ， $i = 1$ ， 2，3．证明：
① $2 < x_{1} + 2 x_{2} + 3 x_{3} < 5$ ；
② $t_{1} t_{3} + t_{2} t_{3} < \frac{11}{81}$ ．
参考公式： $(x - x_{1}) (x - x_{2}) (x - x_{3}) = x^{3} - (x_{1} + x_{2} + x_{3}) x^{2} + (x_{1} x_{2} + x_{2} x_{3} + x_{3} x_{1}) x - x_{1} x_{2} x_{3}$ ．

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