上海市金山中学2023-2024学年高一下学期数学期末试卷

试卷更新日期：2024-06-25 类型：期末考试

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一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）

1. 已知集合 $A = {x ∣ x < 2, x \in Z}, B = {x ∣ x > 0, x \in Z}$ ，则 $A \cap B =$ .

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2. 若扇形的弧长和半径都是3，则扇形的面积为.

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3. $\sum_{i = 1}^{+ \infty} {(\frac{2}{3})}^{i} =$ .

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4. 设 $x > 1$ ，则函数 $y = x + \frac{1}{x - 1} + 5$ 的最小值为

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5. 设 $\vec{a} = (\frac{3}{2}, s i n α), \vec{b} = (c o s α, \frac{1}{3})$ ，且 $\vec{a}$ $∥$ $\vec{b}$ ，则 $c o s 2 α =$ .

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6. 设 $i$ 为虚数单位，复数 $\frac{1 + a i}{2 - i}$ 为纯虚数，则实数 $a$ 为.

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7. 数列 ${a_{n}}$ 是等比数列， $a_{4}$ 和 $a_{2016}$ 是方程 $x^{2} + 3 x + 1 = 0$ 的两根，则 $a_{1010} =$ .

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8. 已知函数 $f (x) = s i n x - 2 c o s x$ 在 $x = θ$ 时取得最大值，则 $t a n (θ + \frac{π}{4}) =$ .

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9. 已知 $\vec{a} 、 \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 4, \vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的数量投影为-2，则 $| \vec{a} - 3 \vec{b} |$ 的最小值为.

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10. 设 $x, y$ 为锐角，且 $3 s i n x = 2 s i n y, 3 c o s x + 2 c o s y = 3$ ，则 $c o s (x + y) =$ .

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11. 为了研究问题方便，有时候余弦公式会写成： $a^{2} - 2 a b c o s C + b^{2} = c^{2}$ ，利用这个结构解决如下问题：如果三个正实数 $x ､ y ､ z$ 满足： $x^{2} + x y + y^{2} = 25, y^{2} + y z + z^{2} = 144$ ， $z^{2} + z x + x^{2} = 169$ ，则 $x y + y z + z x =$ .

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12. 已知平面向量 $\vec{e_{1}} 、 \vec{e_{2}}$ 是不共线的单位向量，记 $\vec{e_{1}} 、 \vec{e_{2}}$ 的夹角为 $θ$ ，若平面向量 $\vec{a}$ 满足 $| \vec{a} | = \frac{1}{2}$ ，且对于任意的正实数 $k, | \vec{a} - \vec{e_{1}} + k \vec{e_{2}} | \geq \frac{1}{4}$ 恒成立，则 $c o s θ$ 的最大值为.

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二、选择题（本大题共有4题，满分18分，13-14题每题4分，15-16题每题5分）

13. “ $s i n α < 0$ ”是“ $α$ 为第三､四象限”的（）条件.

A、充分不必要 B、必要不充分 C、充要 D、既不充分也不必要

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14. 下列命题为假命题的是（）

A、若 $a > b > 0$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ B、若 $a < b < 0$ ，则 $a^{2} > a b > b^{2}$ C、若 $a > b > 0$ 且 $c < 0$ ，则 $\frac{c}{a^{2}} > \frac{c}{b^{2}}$ D、若 $a > b$ 且 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ ，则 $a b < 0$

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15. 设 $△ A B C$ 的内角 $A 、 B 、 C$ 的边长分别是 $a, b, c$ ，且 $a c o s B - b c o s A = \frac{3}{5} c$ ，则 $t a n A c o t B$ 的值是（）

A、2 B、4 C、6 D、以上都不对

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16. 已知 $f (x) = 1 - 2 c o s^{2} (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ ，下列结论错误的个数是（）
①若 $f (x_{1}) = 1, f (x_{2}) = - 1$ ，且 $| x_{1} - x_{2} |$ 的最小值为 $π$ ，则 $ω = 2$ ；
②存在 $ω \in (0, 2)$ ，使得 $f (x)$ 的图像向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后得到的图像关于 $y$ 轴对称；
③若 $f (x)$ 在 $[0, 2 π]$ 上恰有7个零点，则 $ω$ 的取值范围是 $[\frac{41}{24}, \frac{47}{24}]$ ；
④若 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{6}, \frac{π}{4}]$ 上单调递增，则 $ω$ 的取值范围是 $(0, \frac{2}{3}]$ .

A、1 B、2 C、3 D、4

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三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤.

17. 已知集合 $A = {x ∣ l o g_{2} (2 x) \cdot l o g_{2} x \leq 0}$ .

(1)、求集合 $A$ 的值；

(2)、求函数 $y = 4^{2 x + 1} + 4^{x} (x \in A)$ 的值域.

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18. 已知 $z_{1}, z_{2}$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + m x + n = 0 (m, n \in R)$ 的两个虚根， $i$ 为虚数单位.

(1)、当 $z_{1} = 2 + i$ 时，求实数 $m, n$ 的值.

(2)、当 $m = 2$ ，且 $| z_{1} - z_{2} | = 2 \sqrt{2}$ ，求实数 $n$ 的值.

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19. 设 ${a_{n}}$ 是公比大于1的等比数列， $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和.已知 $S_{3} = 7$ ，且 $a_{1} + 3 ､ 3 a_{2}$ ､ $a_{3} + 4$ 构成等差数列，令 $b_{n} = l o g_{2} a_{3 n + 1}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}} 、 {b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、令 $c_{n} = a_{2 n - 1} + b_{n}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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20. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, | φ | \leq \frac{π}{2})$ 的图象如图所示.将函数 $y = f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到曲线 $C$ ，把 $C$ 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的曲线对应的函数记作 $y = g (x)$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调减区间；

(2)、求函数 $h (x) = f (\frac{x}{2}) g (x)$ 的最小值；

(3)、若函数 $F (x) = g (\frac{π}{2} - 2 x) + m g (x) (m \in R)$ 在 $(0, 4 π)$ 内恰有6个零点，求 $m$ 的值.

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21. 已知 $θ \in [0, π)$ ，向量 $\vec{a} = (c o s θ, s i n θ), \vec{b} = (1, 0), P_{1} 、 P_{2} 、 P_{3}$ 是坐标平面上的三点，使得 $\vec{O P_{2}} = 2 [\vec{O P_{1}} - (\vec{a} \cdot \vec{O P_{1}}) \vec{a}], \vec{O P_{3}} = 2 [\vec{O P_{2}} - (\vec{b} \cdot \vec{O P_{2}}) \vec{b}]$ .

(1)、若 $θ = \frac{π}{2}, P_{1}$ 的坐标为 $(20, 21)$ ，求 $\vec{O P_{3}}$ ；

(2)、若 $θ = \frac{2 π}{3}, | {\vec{O P}}_{1} | = 6$ ，求 $| {\vec{O P}}_{3} |$ 的最大值；

(3)、若存在 $α \in [0, π)$ ，使得当 $\vec{O P_{1}} = (c o s α, s i n α)$ 时， $△ P_{1} P_{2} P_{3}$ 为等边三角形，求 $θ$ 的所有可能值.

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