上海市民办南模中学2023-2024学年高一下学期数学期末试卷

试卷更新日期：2024-06-25 类型：期末考试

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一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）

1. 已知 $t a n α = \frac{3}{4}$ ，则 $t a n (2024 π + 2 α) =$ .

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2. 已知向量 $\vec{a} = (2, x), \vec{b} = (1, 3), \vec{a} ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，则 $x =$ .

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3. 在半径为1的圆中， $\frac{π}{3}$ 弧度的圆心角所对的弧长为.

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4. 已知复数 $z$ 满足： $\frac{z}{1 + i} = 2 - 3 i$ ，则 $\bar{z} =$ .

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5. 若向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角 $15 0^{∘}, | \vec{a} | = \sqrt{3}, | \vec{b} | = 4$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} | =$ .

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6. 在公差为正数的等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 3$ ，若 $a_{3}, a_{6}, \frac{3}{2} a_{8}$ 成等比数列，则数列 ${a_{n}}$ 的前10项和为.

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7. 已知平面向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，若 $| \vec{a} | = 1$ ， $\vec{b} = (1, 2)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量的坐标为.

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8. 若将函数f（x）=sin（2x+ $\frac{π}{4}$ ）的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是．

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9. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{n} = 2 n^{2} + λ n + 3, n \in N^{*}$ ，且 ${a_{n}}$ 是严格增数列，则实数 $λ$ 的取值范围是.

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10. 如图，在扇形 $A O B$ 中， $∠ A O B = 60, O A = 14 m$ ，点 $C$ 在扇形 $A O B$ 内部， $O C ⊥ A C$ ， $∠ A O C = ∠ O B C$ ，则阴影部分的面积为 $m^{2}$ .

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11. 设 $\vec{a}, \vec{b}$ 为平面内的任意两个向量，定义一种向量运算“ $\otimes$ ”； $\vec{a} \otimes \vec{b} = {\begin{array}{l} \vec{a} \cdot \vec{b}, \vec{a} 与 \vec{b} 不共线, \\ | \vec{a} - \vec{b} |, \vec{a} 与共线 . \end{array}$ 对于同一平面内的向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ ，给出下列结论：
① $\vec{a} \otimes \vec{b} = \vec{b} \otimes \vec{a};$
② $λ (\vec{a} \otimes \vec{b}) = (λ \vec{a}) \otimes \vec{b} (λ \in R)$ ；
③ $(\vec{a} + \vec{b}) \otimes \vec{c} = \vec{a} \otimes \vec{c} + \vec{b} \otimes \vec{c};$
④若 $\vec{e}$ 是单位向量，则 $| \vec{a} \otimes \vec{e} | \leq | \vec{a} | + 1$ .
以上所有正确结论的序号是.

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12. 欧拉函数 $φ (n) (n \in N^{*})$ 的函数值等于所有不超过 $n$ 且与 $n$ 互质的正整数的个数（公约数只有1的两个整数称为互质整数），例如： $φ (3) = 2, φ (4) = 2$ .记 $a_{n} = \frac{φ (1 0^{n})}{φ (5^{n})}$ ，数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{n} + n - 1 \leq λ a_{n}$ 恒成立，则实数 $λ$ 的取值范围为.

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二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）

13. 在公差为 $d$ 的等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{6} = 6, a_{3} a_{7} = 48$ ，则 $d =$ （）

A、1或2 B、1 C、-1 D、-2

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14. 下列函数在 $(\frac{π}{4}, \frac{3 π}{4})$ 上严格减的是（）

A、 $y = s i n 4 x$ B、 $y = s i n (2 x - \frac{π}{12})$ C、 $y = c o s (2 x - \frac{π}{3})$ D、 $y = c o s (x - \frac{π}{6})$

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15. 已知复数 $z_{1} 、 z_{2}$ 在复平面内对应的点分别为 $P 、 Q, | O P | = 5$ （ $O$ 为坐标原点），且 $z_{1}^{2} - z_{1} z_{2} \cdot s i n θ + z_{2}^{2} = 0$ ，则对任意 $θ \in R$ ，下列选项中为定值的是（）

A、 $| O Q |$ B、 $| P Q |$ C、 $△ O P Q$ 的周长 D、 $△ O P Q$ 的面积

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16. 在 $△ A B C$ 中， $S_{△ A B C} = \frac{\sqrt{3}}{6} \vec{A B} \cdot \vec{A C} = \frac{\sqrt{3}}{2}, s i n B = c o s A s i n C, P$ 为线段 $A B$ 上的动点，且 $\vec{C P} = x \frac{\vec{C A}}{| \vec{C A} |} + y \frac{\vec{C B}}{| \vec{C B} |}$ ，则 $\frac{\sqrt{3}}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值为（）

A、4 B、 $2 \sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{3}$

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三、解答题（本大题共有5题，满分78分）

17. 本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.
已知 $2 - i$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + m x + n = 0 (m, n \in R)$ 的一个根，其中 $i$ 为虚数单位.

(1)、求 $m + 2 n$ 的值；

(2)、记复数 $z = m + n i$ ，求复数 $\frac{\bar{z}}{1 + i}$ 的模.

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18. 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
已知向量 $\vec{m} = (c o s^{2} x, \sqrt{3}), \vec{n} = (2, s i n 2 x)$ ，函数 $f (x) = \vec{m} \cdot \vec{n}$ .

(1)、求函数 $y = f (x)$ 的单调增区间；

(2)、若 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ ，求函数 $y = f (x)$ 的值域.

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19. 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) + B (A > 0, ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示.

(1)、求 $f (x)$ 的解析式与单调增区间；

(2)、若将 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位，再向上平移1个单位得到 $g (x)$ 的图象，写出 $g (x)$ 图像的对称中心的坐标，并求当 $x \in [- \frac{π}{6}, \frac{π}{3}]$ 时， $g (x)$ 的最值.

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20. 若数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n} < a_{n + 1}$ ，从数列 ${a_{n}}$ 中任取2项相加，把所有和的不同值按照从小到大排成一列，称为数列 ${a_{n}}$ 的和数列，记作数列 ${b_{m}}$ ．

(1)、已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{n} < a_{n + 1}$ ．
①若 $a_{3} = 0$ ， $S_{4} = - 2$ ，求 ${a_{n}}$ 的通项公式，并写出 ${b_{m}}$ 的前5项；
②若 $S_{10} = 100$ ， $b_{99} = 200$ ，求数列 ${b_{m}}$ 的前50项的和；

(2)、若 $a_{n} = 2^{n}$ （ $n \leq 100$ ），证明：对任意 $i \neq k$ 或 $j \neq l$ ， $a_{i} + a_{j} \neq a_{k} + a_{l}$ （ $1 \leq i < j \leq 100$ ， $1 \leq k < l \leq 100$ ），并求数列 ${b_{m}}$ 的所有项的和．

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21. 已知 $O$ 为坐标原点，对于函数 $f (x) = a s i n x + b c o s x$ ，称向量 $\vec{O M} = (a, b)$ 为函数 $f (x)$ 的相伴特征向量，同时称函数 $f (x)$ 为向量 $\vec{O M}$ 的相伴函数.

(1)、记向量 $\vec{O N} = (1, \sqrt{3})$ 的相伴函数为 $f (x)$ ，求当 $f (x) = \frac{8}{5}$ 且 $x \in (- \frac{π}{6}, \frac{π}{3})$ 时， $s i n x$ 的值；

(2)、设函数 $g (x) = \sqrt{3} c o s (x + \frac{π}{6}) + c o s (\frac{π}{3} - x)$ ，试求 $g (x)$ 的相伴特征向量 $\vec{O M}$ ，并求出与 $\vec{O M}$ 共线的单位向量；

(3)、已知 $A = (- 2, 3), B = (2, 6), \vec{O T} = (- \sqrt{3}, 1)$ 为 $h (x) = m s i n (x - \frac{π}{6})$ 的相伴特征向量， $φ (x) = h (\frac{x}{2} - \frac{π}{3})$ ，请问在 $y = φ (x)$ 的图象上是否存在一点 $P$ ，使得 $\vec{A P} ⊥ \vec{B P}$ .若存在，求出 $P$ 点坐标；若不存在，说明理由.

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