河南省南阳市镇平县2023-2024学年八年级下学期5月月考数学试题

试卷更新日期：2024-06-06 类型：月考试卷

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一、选择题（每小题3分，共30分）

1. 下列分式中，是最简分式的是（）

A、 $\frac{x^{2}}{x}$ B、 $\frac{x - 1}{x + 1}$ C、 $\frac{2}{4 x}$ D、 $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 2 x + 1}$

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2. 苔花的花粉粒直径约为 $0.0000084$ 米，数字 $0.0000084$ 用科学记数法表示为（）

A、 $8.4 \times 10^{- 5}$ B、 $0.84 \times 10^{- 5}$ C、 $84 \times 10^{- 7}$ D、 $8.4 \times 10^{- 6}$

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3. “龟兔赛跑”这则寓言故事讲述的是比赛中兔子开始领先，但它因为骄傲在途中睡觉，而乌龟一直坚持爬行最终赢得比赛，下列函数图象可以体现这一故事过程的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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4. 小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（　　）

A、①，② B、①，④ C、③，④ D、②，③

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5. 若关于x的方程 $a x + m = 0$ 的解为 $x = - 2$ ，则直线 $y = a x + m$ 一定经过点（）

A、 $(- 2, 0)$ B、 $(- 2, - 2)$ C、 $(0, - 2)$ D、 $(- 2, 2)$

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6. 如图，在平面直角坐标系中， $▱ A O B C$ 的顶点B在x轴上，点A坐标为 $(1, 2)$ ，以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交 $O A 、 O B$ 于点D、E，再分别以点D、点E为圆心，以大于 $\frac{1}{2} D E$ 的长为半径作弧，两弧在 $∠ A O B$ 内相交于点F，作射线 $O F$ 交 $A C$ 于点P．则点P的坐标是（）

A、 $(3, 2)$ B、 $(\sqrt{5}, 2)$ C、 $(1 + \sqrt{5}, 2)$ D、 $(2 + \sqrt{5}, 1)$

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7. 已知直线 $y = k x - 1$ 是由直线 $y = - 2 x$ 平移得到的，则直线 $y = k x + k$ 不经过（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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8. 如图，在平面直角坐标系中， $A (0, 1)$ 、 $B (- 1, 0)$ 、 $C (1, 0)$ ，请确定一点D，使得以点A、B、C、D为顶点的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形，则点D的坐标可能是（）

A、 $(- 2, 1)$ B、 $(0, - 1)$ C、 $(2, 1)$ D、 $(0, - 2)$

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9. 如图， $△ A B C$ 的顶点A在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象上，点C在x轴上， $A B ∥ x$ 轴，若点B的坐标为 $(1, 3)$ ， $S_{△ A B C} = 2$ ，则k的值是（）

A、3 B、3.5 C、5 D、7

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10. 如图1， $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，点 $P$ 从点 $C$ 出发，沿折线 $C - B - A$ 匀速运动，连接 $A P$ ，设点 $P$ 的运动距离为 $x$ ， $A P$ 的长为 $y$ ， $y$ 关于 $x$ 的函数图象如图 $2$ 所示，则当点 $P$ 运动到 $A B$ 的中点时，线段 $C P$ 的长为（）

A、 $2$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $2.5$ D、 $3$

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二、填空题：（每小题3分，共15分）

11. 若分式 $\frac{x}{x - 2}$ 有意义，则 $x$ 的取值范围是．

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12. 已知正比例函数的图象如图所示，则这个函数的关系式为．

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13. 如图，在 $▱ A B C D$ 中摆放了一副三角板，已知 $∠ 1 = 30 °$ ，则 $∠ 2 =$ ．

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14. 如图，将含 $45 °$ 角的直角三角尺放置在平面直角坐标系中，其中 $A (- 3, 0)$ ， $B (0, 2)$ ，则直线 $B C$ 的函数表达式为．

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15. 矩形ABCD中，M为对角线BD的中点，点N在边AD上，且 $A N = A B = 1$ ．当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，AD的长为．

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三、解答题（本大题共8个小题，共75分）

16. （1）化简： $(1 - \frac{1}{x - 1}) \div \frac{x^{2} - 4 x + 4}{x - 1}$ ；
（2）化简： $\frac{2 a^{2} + 2 a}{a^{2} - 1} \div (1 + \frac{1}{a - 1})$ ．

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17. 樱桃是春季热销的水果之一，某水果商家4月份第一次用6000元购进樱桃若干千克，销售完后，他第二次又用6000元购进该樱桃，但第二次的单价比第一次的提高了 $20 %$ ，第二次所购进樱桃的数量比第一次少了50千克，求该商家第一次、第二次购进樱桃的单价分别为每千克多少元．

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18. 某手机的电板剩余电量 $y$ （毫安）是使用天数 $x$ 的一次函数， $y$ 和 $x$ 的函数关系如图所示．

(1)、此种手机的电板最大带电量是_____毫安，此种手机在充满电时最多可供手机消耗_____天，此种手机每天消耗电量______毫安；

(2)、求一次函数 $y = k x + b$ 的解析式，并说出 $k$ 和 $b$ 的实际意义；

(3)、此种手机剩余 $400$ 毫安电量就会发出提示音，在手机充满电后，使用_____天后，手机会发出提示音？

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19. 在学完矩形的判定后，善于钻研的小壮、小刚和小强同学有自己独到的见解：
已知：如图，四边形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ，对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于点O， $O A = O C$ ．
小壮说：若 $O A = O B$ ，则四边形 $A B C D$ 为矩形；
小刚说：若 $∠ A B C = ∠ B C D$ ，则四边形 $A B C D$ 为矩形．
小强说：若 $∠ 1 = 2 ∠ 2$ ，则四边形 $A B C D$ 为矩形．
请对三人的说法任选其一进行判断并证明．

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20. 如图，已知一次函数 $y = k x + b$ 的图象经过点 $A (0, 2)$ ， $B (4, 0)$ ， $C$ 为直线 $A B$ 上的动点，正比例函数 $y = m x$ 的图象经过点 $C$ ．

(1)、求一次函数的表达式；

(2)、若点 $C (1, a)$ ，请直接写出方程组 $\{\begin{cases} m x - y = 0 \\ k x - y = - b \end{cases}$ 的解；

(3)、若 $S_{△ B O C} = 3 S_{△ A O C}$ ，求m的值．

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21. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， $∠ B = 90 °$ ， $A D = 22 cm$ ， $A B = 8 cm$ ， $B C = 24 cm$ ，动点P从点A出发沿 $A D$ 边以 $1 cm/s$ 的速度向点D匀速运动，同时动点Q从点C出发沿CB边以 $3cm/s$ 的速度向点B匀速运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为 $t s$ ．

(1)、当 $t =$ 时，四边形 $A B Q P$ 是矩形．

(2)、当t为何值时，四边形 $P Q C D$ 是平行四边形？

(3)、当 $t = 5$ 时，直接写出 $P Q$ 的长为．

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22. 在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数 $y = \frac{6 x}{x^{2} + 1}$ 的性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．

(1)、请把下表补充完整，并在图中补全该函数图象．
x
…
$- 5$
$- 4$
$- 3$
$- 2$
$- 1$
0
1
2
3
4
5
…
$y = \frac{6 x}{x^{2} + 1}$
…
$- \frac{15}{13}$
$- \frac{24}{17}$

$- \frac{12}{5}$
$- 3$
0
3
$\frac{12}{5}$

$\frac{24}{17}$
$\frac{15}{13}$
…

(2)、根据函数图象，判断下列关于该函数性质的说法正确的有．
①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴．
②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值．当 $x = 1$ 时，函数取得最大值3；当 $x = - 1$ 时，函数取得最小值 $- 3$ ．
③当 $x < - 1$ 或 $x > 1$ 时，y随x的增大而减小；当 $- 1 < x < 1$ 时，y随x的增大而增大．

(3)、若 $A (1, 3)$ ， $B (3, 5)$ ， $C (- 2, - 5)$ ，直接写出 $S_{△ A B C} =$ ．

(4)、已知函数 $y = 2 x - 1$ 的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式 $\frac{6 x}{x^{2} + 1} > 2 x - 1$ 的解集（保留1位小数，误差不超过0.2）．

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23. 综合与实践：折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧．
定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为完美矩形．

(1)、操作发现：
如图①，将 $△ A B C$ 纸片按所示折叠成完美矩形 $E F G H$ ，若 $△ A B C$ 的面积为24， $B C = 8$ ，则此完美矩形的边长 $F G =$ ，面积为．

(2)、类比探究：
如图②，将平行四边形 $A B C D$ 纸片按所示折叠成完美矩形 $A E F G$ ，若平行四边形 $A B C D$ 的面积为 $30$ ， $B C = 6$ ，则完美矩形 $A E F G$ 的周长为．

(3)、拓展延伸：
如图③，将平行四边形 $A B C D$ 纸片按所示折叠成完美矩形 $E F G H$ ，若 $E F : E H = 3 : 4$ ， $A D = 15$ ，求此完美矩形的周长为多少．

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x	…	$- 5$	$- 4$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	0	1	2	3	4	5	…
$y = \frac{6 x}{x^{2} + 1}$	…	$- \frac{15}{13}$	$- \frac{24}{17}$		$- \frac{12}{5}$	$- 3$	0	3	$\frac{12}{5}$		$\frac{24}{17}$	$\frac{15}{13}$	…