河南省南阳市镇平县2023-2024学年七年级下学期5月月考数学试题

试卷更新日期：2024-05-28 类型：月考试卷

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一、选择题（每小题3分，共30分）

1. 已知关于 $x$ 的方程 $x - a = 3$ 的解为 $x = 5$ ，则 $a$ 的值为（）．

A、 $8$ B、 $2$ C、 $- 8$ D、 $- 2$

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2. 如图所示，△ABC 中 AB 边上的高线是（）

A、线段 DA B、线段 CA C、线段 CD D、线段 BD

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3. 将方程组 $\{\begin{matrix} 2 x + y = 5 \\ 2 x - 3 y = 1 \end{matrix}$ 中的x消去后，得到的方程是（）．

A、 $4 y = 4$ B、 $- 2 y = 6$ C、 $2 y = 4$ D、 $4 y = - 4$

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4. 下列多边形材料中，不能单独用来铺满地面的是（　　）

A、三角形 B、四边形 C、正五边形 D、正六边形

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5. 如图1的标志表示机动车驶入前方道路之后的最低时速限制，即要求在前方路况良好的情况下，机动车最低时速不得低于50千米/小时；如图2的标志表示机动车驶入前方道路之后的最高时速限制，即机动车行驶的最高时速不得超过70千来/小时．若在公路上同时看到上述两个标志，且前方路况良好的情况下，机动车行驶速度（v）的取值范围是（）．

A、 $50 < v < 70$ B、 $50 < v \leq 70$ C、 $50 \leq v \leq 70$ D、 $50 \leq x < 70$

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6. 某中学将国家非物质文化遗产——“抖空竹”引入特色大课间，某同学“抖空竹”的一个瞬间如图示．将图①抽象成图②的数学问题：在平面内， $A B ∥ C D$ ， $D C$ 的延长线交 $A E$ 于点 $F$ ；若 $∠ B A E = 75 °$ ， $∠ E = 35 °$ ，则 $∠ D C E$ 的度数为（）

A、 $75 °$ B、 $110 °$ C、 $115 °$ D、 $120 °$

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7. 二果问价源于我国古代数学著作《四元玉鉴》“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜果苦果各几个？”设甜果为x个，苦果y个，下列方程组表示正确的是（）

A、 ${\begin{array}{l} x + y = 1000 \\ \frac{11}{9} x + \frac{4}{7} y = 999 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x + y = 1000 \\ 11 x + 4 y = 999 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x + y = 1000 \\ \frac{9}{11} x + \frac{7}{4} y = 999 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} x + y = 1000 \\ \frac{4}{7} x + \frac{11}{9} y = 999 \end{array}$

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8. 用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图1所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形 $A B C D E$ ，则 $∠ A F B$ 的度数为（）．

A、 $75 °$ B、 $72 °$ C、 $70 °$ D、 $60 °$

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9. 已知关于x、y的方程组 $\{\begin{matrix} 5 x + 2 y = 6 \\ x - 2 y = 4 a \end{matrix}$ 的解满足 $x + y > 2$ ，则a的取值范围是（）．

A、 $a < - \frac{1}{2}$ B、 $a < \frac{1}{2}$ C、 $a > \frac{1}{2}$ D、 $a > - \frac{1}{2}$

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10. 如图， $△ A B C$ 的角平分线 $C D 、 B E$ 相交于点F， $∠ A = 90 °$ ， $E G ∥ B C$ ，且 $C G ⊥ E G$ 于点G，下列结论：① $∠ C E G = 2 ∠ D C B$ ；② $C A$ 平分 $∠ B C G$ ；③ $∠ A D C = ∠ G C D$ ；④ $∠ D F B = 45 °$ ．其中正确的结论有（）．

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题（每小题3分，共15分）

11. 如图，数轴上表示的是某关于x、y的不等式组的解集，则这个不等式组可能是．（写出一个即可）

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12. 如图，人字梯中间设计一“拉杆”，在使用梯子时，固定拉杆会增加安全性，这样做蕴含的数学道理是．

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13. 小明在某书店购买数学课外读物《几何原本》，已知每本《几何原本》的定价为40元，若按八折出售，该书店仍可获利10元，则每本《几何原本》的进价为元．

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14. 已知一个等腰三角形的两条边长分别为2和8，则此等腰三角形的周长为．

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15. 如果两个角的两边分别平行，其中一个角比另一个角的2倍少 $18 °$ ，那么这两个角的度数分别为．

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三、解答题（本大题共8个小题，共75分）

16.

(1)、解方程： $1 - \frac{3 x - 11}{3} = \frac{x + 12}{4}$ ；

(2)、解不等式组 $\{\begin{matrix} 2 x > x + 1 & ① \\ 1 - \frac{x}{2} \leq 2 & ② \end{matrix}$ ．

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17. 解方程组：

(1)、 $\{\begin{matrix} x + y = 10 \\ 2 x + 3 y = 15 \end{matrix}$ ；

(2)、 $\{\begin{matrix} 2 x + 5 y = 1 \\ 5 x + 2 y = 13 \end{matrix}$ ．

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18. 如图为 $7 \times 7$ 的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点．已知A、B、C、D均为格点，按要求解答：

(1)、 $△ A B C$ 的形状为__________（按边分）； $△ D B C$ 的形状为__________（按角分）；

(2)、画 $∠ B A C$ 的平分线与 $D C$ 的延长线交于点E，连接 $B E$ ，请直接写出 $B E$ 与 $D E$ 的长度比为__________；

(3)、请画出 $△ D B C$ 的 $B D$ 边上的中线 $C F$ ，请直线写出 $△ A B C$ 与 $△ D C F$ 的面积比为__________．

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19. 下列是学习方程应用时，老师板书和两名同学所列的方程（组）．
古代问题：某人工作一年的报酬是年终给他一件衣服和 $17$ 枚银币，但他干满 $7$ 个月就决定不再继续干了，结账时，给了他一件衣服和 $2$ 枚银币．这件衣服值多少枚银币？
小刚所列方程组： $\{\begin{cases} 7 y = x + 2 \\ 12 y = x + 17 \end{cases}$ ，小强所列方程： $\frac{7 (x + 17)}{12} = x + 2$ ．
根据以上信息，解答下列问题．

(1)、以上两个方程（组）中 $x$ 的意义是__________；小刚所列的方程组中 $y$ 的意义是__________；

(2)、小红发现可将小刚所列的方程组中的某个方程变形为用含 $x$ 的代数式表示 $y$ ，再将其代入另一个方程，即可得到小强所列的方程．请完成这一推导过程；

(3)、请从以上两个方程（组）中任选一个，并直接回答老师提出的问题．

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20. 在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， D为直线 $B C$ 上任意一点，连结 $A D$ ， $D E ⊥ A B$ 于点E， $D F ⊥ A C$ 于点F．
【画图】（1）如图①，当点D在边 $B C$ 上时，请画出 $△ A B C$ 中 $A C$ 边上的高 $B G$ ；
【探究】（2）如图①，通过观察、测量，你猜想 $D E ， D F ， B G$ 之间的数量关系为__________；为了说明 $D E ， D F ， B G$ 之间的数关系，小明是这样做的：
证明：∵ $S_{△ A B C} =$ __________ $+ S_{△ A C D}$ ，
∴ $\frac{1}{2} A C \cdot B G = \frac{1}{2} A B \cdot D E +$ __________．
∵ $A B = A C$ ， ∴__________．
【运用】（3）如图②，当点D为 $B C$ 中点时，试判断 $B G$ 与 $D E$ 的数量关系，并说明理由．
【拓展】（4）如图③，当点D在 $C B$ 的延长线上时，请直接写出 $D E 、 D F 、 B G$ 之间的数量关系．

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21. 阅读下列材料：求不等式 $(2 x - 1) (x + 3) > 0$ 的解集．
解：根据“同号两数相乘，积为正”可得：
① $\{\begin{array}{l} 2 x - 1 > 0 \\ x + 3 > 0 \end{array}$ 或② $\{\begin{array}{l} 2 x - 1 < 0 \\ x + 3 < 0 \end{array}$ ．
解①，得 $x > \frac{1}{2}$ ．解②，得 $x < - 3$ ，
∴不等式的解集为 $x > \frac{1}{2}$ 或 $x < - 3$ ．
请你仿照上述方法解决下列问题：

(1)、求不等式 $(2 x - 3) (x + 1) < 0$ 的解集；

(2)、求不等式 $\frac{4 x - 1}{x + 2} \geq 0$ 的解集．

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22. 互动学习课堂上，某小组同学对一个课题展开了探究．

(1)、已知：如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B$ 和 $∠ C$ 的平分线相交于点P，试探究 $∠ B P C$ 和 $∠ A$ 的关系．请在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由成数学式）．
解：延长 $B P$ 交 $A C$ 于点D．
$∵$ $∠ B P C = ∠ 2 + ∠ 3$ ， $∠ 3 = ∠ 1 + ∠ A$ （__________），
$∴$ $∠ B P C = ∠ 2 + ∠ 1 + ∠ A$ ．
$∵$ $∠ B$ 和 $∠ C$ 的平分线相交于点P，
$∴$ $∠ 1 = \frac{1}{2} ∠ A B C$ ， $∠ 2 = \frac{1}{2} ∠ A C B$ （角平分线定义），
$∴$ $∠ B P C = \frac{1}{2} ∠ A C B + \frac{1}{2} ∠ A B C + ∠ A = \frac{1}{2} (∠ A B C + ∠ A C B) + ∠ A$ ．
$∵$ $∠ A + ∠ A B C + ∠ A C B = 180 °$ （__________），
$∴$ $∠ A B C + ∠ A C B = 180 ° - ∠ A$ （等式的性质），
$∴$ $∠ B P C = \frac{1}{2} (180 ° - ∠ A) + ∠ A =$ __________．

(2)、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C$ 的平分线和外角 $∠ A C D$ 的平分线相交于点P，试探究 $∠ P$ 和 $∠ A$ 的关系，并说明理由．

(3)、如图， $△ A B C$ 的外角 $∠ C B D$ 的平分线和 $∠ B C E$ 的平分线相交于点P，若 $∠ A = 50 °$ ，则 $∠ P$ 的度数为__________．

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23. 某健身器材专卖店推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种．
活动一：所购商品按原价打八折；
活动二：所购商品按原价每满 $300$ 元减 $80$ 元．（如：所购商品原价为 $300$ 元，可减 $80$ 元，需付款 $220$ 元；所购商品原价为 $770$ 元，可减 $160$ 元，需付款 $610$ 元）

(1)、购买一件原价为 $460$ 元的健身器材时，选择哪种活动更合算？请说明理由；

(2)、购买一件原价在 $500$ 元以下的健身器材时，若选择活动一和选择活动二的付款金额相等，求一件这种健身器材的原价；

(3)、购买一件原价在 $900$ 元以下的健身器材时，原价在什么范围内，选择活动二比选择活动一更合算？设一件这种健身器材的原价为 $a$ 元，请直接写出 $a$ 的取值范围．

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