江西省2024年中考数学试卷

试卷更新日期：2024-06-24 类型：中考真卷

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一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填涂在答题卡相应位置．错选、多选或未选均不得分．

1. 实数-5的相反数是（）

A、5 B、-5 C、 $\frac{1}{5}$ D、 $- \frac{1}{5}$

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2. “长征是宣言书，长征是宣传队，长征是播种机”，二万五千里长征是中国历史上的伟大壮举，也是人类史上的奇迹，将25000用科学记数法可表示为（）

A、 $0.25 \times 1 0^{6}$ B、 $2.5 \times 1 0^{5}$ C、 $2.5 \times 1 0^{4}$ D、 $25 \times 1 0^{3}$

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3. 如图所示的几何体，其主视图为（）

A、 B、 C、 D、

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4. 将常温中的温度计插入一杯 $60 ℃$ 的热水（恒温）中，温度计的读数 $y (℃)$ 与时间 $x (m i n)$ 的关系用图象可近似表示为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 如图是某地去年一至六月每月空气质量为优的天数的折线统计图，关于各月空气质量为优的天数，下列结论错误的是（）

A、五月份空气质量为优的天数是16天 B、这组数据的众数是15天 C、这组数据的中位数是15天 D、这组数据的平均数是15天

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6. 如图是 $4 \times 3$ 的正方形网格，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成正方体展开图的方法有（）

A、1种 B、2种 C、3种 D、4种

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二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

7. 计算 $\sqrt{{(- 1)}^{2}}$ ＝.

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8. 因式分解： $a^{2} + 2 a =$ ．

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9. 在平面直角坐标系中，将点 $A (1, 1)$ 向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B ，则点B的坐标为．

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10. 观察a ， $a^{2}$ ， $a^{3}$ ， $a^{4}$ ， …，根据这些式子的变化规律，可得第100个式子为．

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11. 将图所示的七巧板，拼成图 $2$ 所示的四边形 $A B C D$ ，连接 $A C$ ，则 $t a n ∠ C A B =$ ．

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12. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $A B = 2$ ，点C在线段 $A B$ 上运动，过点C的弦 $D E ⊥ A B$ ，将 $\overset{⌢}{D B E}$ 沿 $D E$ 翻折交直线 $A B$ 于点F ，当 $D E$ 的长为正整数时，线段 $F B$ 的长为．

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三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）

13.

(1)、计算： $π^{0} + | - 5 |$ ；

(2)、化简： $\frac{x}{x - 8} - \frac{8}{x - 8}$ ．

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14. 如图， $A C$ 为菱形 $A B C D$ 的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）

(1)、如图，过点 $B$ 作 $A C$ 的垂线；

(2)、如图 $2$ ，点 $E$ 为线段 $A B$ 的中点，过点 $B$ 作 $A C$ 的平行线．

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15. 某校一年级开设人数相同的A ， B ， C三个班级，甲、乙两位学生是该校一年级新生，开学初学校对所有一年级新生进行电脑随机分班．

(1)、“学生甲分到A班”的概率是；

(2)、请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位新生分到同一个班的概率．

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16. 如图， $△ A O B$ 是等腰直角三角形， $∠ A B O = 90 °$ ，双曲线 $y = \frac{k}{x} (k > 0, x > 0)$ 经过点B ，过点 $A (4, 0)$ 作x轴的垂线交双曲线于点C ，连接 $B C$ ．

(1)、点B的坐标为；

(2)、求 $B C$ 所在直线的解析式．

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17. 如图， $A B$ 是半圆O的直径，点D是弦 $A C$ 延长线上一点，连接 $B D ， B C$ ， $∠ D = ∠ A B C = 60 °$ ．

(1)、求证： $B D$ 是半圆O的切线；

(2)、当 $B C = 3$ 时，求 $\overset{⌢}{A C}$ 的长．

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四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

18. 如图，书架宽 $84 c m$ ，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚 $0.8 c m$ ，每本语文书厚 $1.2 c m$ ．

(1)、数学书和语文书共90本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文书各多少本；

(2)、如果书架上已摆放10本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本？

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19. 图1是世界第一“大碗”——景德镇昌南里文化艺术中心主体建筑，其造型灵感来自于宋代湖田窑影青斗笠碗，寓意“万瓷之母”，如图2，“大碗”的主视图由“大碗”主体 $A B C D$ 和矩形碗底 $B E F C$ 组成，已知 $A D ∥ E F$ ， $A M$ ， $D N$ 是太阳光线， $A M ⊥ M N$ ， $D N ⊥ M N$ ，点M ， E ， F ， N在同一条直线上，经测量 $M E = F N = 20.0 m$ ， $E F = 40.0 m$ ， $B E = 2.4 m$ ， $∠ A B E = 152 °$ ．（结果精确到 $0.1 m$ ）

(1)、求“大碗”的口径 $A D$ 的长；

(2)、求“大碗”的高度 $A M$ 的长．（参考数据： $s i n 62 ° \approx 0.88$ ， $c o s 62 ° \approx 0.47$ ， $t a n 62 ° \approx 1.88$ ）

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20. 追本溯源：
题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）．

(1)、如图1，在 $△ A B C$ 中， $B D$ 平分 $∠ A B C$ ，交 $A C$ 于点D ，过点D作 $B C$ 的平行线，交 $A B$ 于点E ，请判断 $△ B D E$ 的形状，并说明理由．
方法应用：

(2)、如图2，在 $▱ A B C D$ 中， $B E$ 平分 $∠ A B C$ ，交边 $A D$ 于点E ，过点A作 $A F ⊥ B E$ 交 $D C$ 的延长线于点F ，交 $B C$ 于点G ．
①图中一定是等腰三角形的有（）A.3个　B.4个　C.5个　D.6个
②已知 $A B = 3$ ， $B C = 5$ ，求 $C F$ 的长．

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五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）

21. 近年来，我国肥胖人群的规模快速增长，目前，国际上常用身体质量指数（BodyMassIndex ，缩写 $B M I$ ）来衡量人体胖瘦程度，其计算公式是 $B M I = \frac{体重 (单位： k g)}{身高^{2} (单位： m^{2})}$ ．中国人的 $B M I$ 数值标准为： $B M I < 18.5$ 为偏瘦； $18.5 \leq B M I < 24$ 为正常； $24 \leq B M I < 28$ 为偏胖； $B M I \geq 28$ 为肥胖．某数学兴趣小组对本校七年级学生的胖瘦程度进行统计调查，从该校所有七年级学生中随机抽出10名男生、10名女生，测得他们的身高和体重值，并计算出相应的 $B M I$ 数值，再参照 $B M I$ 数值标准分成四组：A ． $16 \leq B M I < 20$ ；B ． $20 \leq B M I < 24$ ；C ． $24 \leq B M I < 28$ ；D ． $28 \leq B M I < 32$ ．将所得数据进行收集、整理、描述．
收集数据
七年级10名男生数据统计表
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
身高（ $m$ ）
1.56
1.50
1.66
1.58
1.50
1.70
1.51
1.42
1.59
1.72
体重（ $k g$ ）
52.5
49.5
45.6
40.3
55.2
56.1
48.5
42.8
67.2
90.5
$B M I$
21.6
s
16.5
16.1
245
19.4
21.3
21.2
26.6
30.6
七年级10名女生数据统计表
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
身高（ $m$ ）
1.46
1.62
1.55
1.65
1.58
1.67
1.55
1.46
1.53
1.62
体重（ $k g$ ）
46.4
49.0
61.5
56.5
52.9
75.5
50.3
47.6
52.4
46.8
$B M I$
21.8
18.7
25.6
20.8
21.2
27.1
20.9
22.3
22.4
17.8
整理、描述数据
七年级20名学生 $B M I$ 频数分布表
组别
$B M I$
男生频数
女生频数
A
$16 \leq B M I < 20$
3
2
B
$20 \leq B M I < 24$
4
6
C
$24 \leq B M I < 28$
t
2
D
$28 \leq B M I < 32$
1
0
应用数据

(1)、 $s =$ ， $t =$ $α =$ ；

(2)、已知该校七年级有男生260人，女生240人．
①估计该校七年级男生偏胖的人数；
②估计该校七年级学生 $B M I \geq 24$ 的人数

(3)、根据以上统计数据，针对该校七年级学生的胖瘦程度，请你提出一条合理化建议．

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22. 如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出球的飞行路线可以用二次函数 $y = a x^{2} + b x (a < 0)$ 刻画，斜坡可以用一次函数 $y = \frac{1}{4} x$ 刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律如下表：
x
0
1
2
m
4
5
6
7
…
y
0
$\frac{7}{2}$
6
$\frac{15}{2}$
8
$\frac{15}{2}$
n
$\frac{7}{2}$
…

(1)、① $m =$ ▲ ， $n =$ ▲ ；
②小球的落点是A ，求点A的坐标．

(2)、小球飞行高度y（米）与飞行时间t（秒）满足关系 $y = - 5 t^{2} + v t$ ．
①小球飞行的最大高度为 ▲ 米；
②求v的值．

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六、解答题（本大题共12分）

23. 综合与实践
如图，在 $R t △ A B C$ 中，点D是斜边 $A B$ 上的动点（点D与点A不重合），连接 $C D$ ，以 $C D$ 为直角边在 $C D$ 的右侧构造 $R t △ C D E$ ， $∠ D C E = 90 °$ ，连接 $B E$ ， $\frac{C E}{C D} = \frac{C B}{C A} = m$ ．

(1)、特例感知
如图1，当 $m = 1$ 时， $B E$ 与 $A D$ 之间的位置关系是，数量关系是；

(2)、类比迁移
如图2，当 $m \neq 1$ 时，猜想 $B E$ 与 $A D$ 之间的位置关系和数量关系，并证明猜想．

(3)、拓展应用
在（1）的条件下，点F与点C关于 $D E$ 对称，连接 $D F$ ， $E F$ ， $B F$ ，如图3．已知 $A C = 6$ ，设 $A D = x$ ，四边形 $C D F E$ 的面积为y ．
①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值；
②当 $B F = 2$ 时，请直接写出 $A D$ 的长度．

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编号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
身高（ $m$ ）	1.56	1.50	1.66	1.58	1.50	1.70	1.51	1.42	1.59	1.72
体重（ $k g$ ）	52.5	49.5	45.6	40.3	55.2	56.1	48.5	42.8	67.2	90.5
$B M I$	21.6	s	16.5	16.1	245	19.4	21.3	21.2	26.6	30.6

编号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
身高（ $m$ ）	1.46	1.62	1.55	1.65	1.58	1.67	1.55	1.46	1.53	1.62
体重（ $k g$ ）	46.4	49.0	61.5	56.5	52.9	75.5	50.3	47.6	52.4	46.8
$B M I$	21.8	18.7	25.6	20.8	21.2	27.1	20.9	22.3	22.4	17.8

组别	$B M I$	男生频数	女生频数
A	$16 \leq B M I < 20$	3	2
B	$20 \leq B M I < 24$	4	6
C	$24 \leq B M I < 28$	t	2
D	$28 \leq B M I < 32$	1	0

x	0	1	2	m	4	5	6	7	…
y	0	$\frac{7}{2}$	6	$\frac{15}{2}$	8	$\frac{15}{2}$	n	$\frac{7}{2}$	…