安徽省2024年中考数学试卷

试卷更新日期：2024-06-24 类型：中考真卷

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一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．

1. $- 5$ 的绝对值是（）

A、5 B、 $- 5$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $- \frac{1}{5}$

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2. 据统计，2023年我国新能源汽车产量超过944万辆，其中944万用科学记数法表示为（）

A、 $0.944 \times 1 0^{7}$ B、 $9.44 \times 1 0^{6}$ C、 $9.44 \times 1 0^{7}$ D、 $94.4 \times 1 0^{6}$

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3. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（）

A、 B、 C、 D、

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4. 下列计算正确的是（）

A、 $a^{3} + a^{5} = a^{6}$ B、 $a^{6} \div a^{3} = a^{2}$ C、 ${(- a)}^{2} = a^{2}$ D、 $\sqrt{a^{2}} = a$

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5. 若扇形AOB的半径为6， $∠ A O B = 120 °$ ，则 $\overset{⌢}{A B}$ 的长为（）

A、2π B、3π C、4π D、6π

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6. 已知反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 与一次函数 $y = 2 - x$ 的图象的一个交点的横坐标为3，则k的值为（）

A、 $- 3$ B、 $- 1$ C、1 D、3

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7. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $A C = B C = 2$ ，点D在AB的延长线上，且 $C D = A B$ ，则BD的长是（）

A、 $\sqrt{10} - \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{2} - 2$ D、 $2 \sqrt{2} - \sqrt{6}$

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8. 已知实数a ， b满足 $a - b + 1 = 0$ ， $0 < a + b + 1 < 1$ ，则下列判断正确的是（）

A、 $- \frac{1}{2} < a < 0$ B、 $\frac{1}{2} < b < 1$ C、 $- 2 < 2 a + 4 b < 1$ D、 $- 1 < 4 a + 2 b < 0$

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9. 在凸五边形ABCDE中， $A B = A E$ ， $B C = D E$ ， F是CD的中点．下列条件中，不能推出AF与CD一定垂直的是（）

A、 $∠ A B C = ∠ A E D$ B、 $∠ B A F = ∠ E A F$ C、 $∠ B C F = ∠ E D F$ D、 $∠ A B D = ∠ A E C$

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10. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = 4$ ， $B C = 2$ ， BD是边AC上的高．点E ， F分别在边AB ， BC上（不与端点重合），且 $D E ⊥ D F$ ．设 $A E = x$ ，四边形DEBF的面积为y ，则y关于x的函数图象为（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）

11. 若分式 $\frac{1}{x - 4}$ 有意义，则实数x的取值范围是．

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12. 我国古代数学家张衡将圆周率取值为 $\sqrt{10}$ ，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为 $\frac{22}{7}$ ．比较大小： $\sqrt{10}$ $\frac{22}{7}$ （填“>”或“<”）．

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13. 不透明的袋中装有大小质地完全相同的4个球，其中1个黄球、1个白球和2个红球．从袋中任取2个球，恰为2个红球的概率是．

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14. 如图，现有正方形纸片ABCD ，点E ， F分别在边AB ， BC上，沿垂直于EF的直线折叠得到折痕MN ，点B ， C分别落在正方形所在平面内的点 $B^{'}$ ， $C^{'}$ 处，然后还原．

(1)、若点N在边CD上，且 $∠ B E F = α$ ，则 $∠ C^{'} N M =$ （用含α的式子表示）；

(2)、再沿垂直于MN的直线折叠得到折痕GH ，点G ， H分别在边CD ， AD上，点D落在正方形所在平面内的点 $D^{'}$ 处，然后还原．若点 $D^{'}$ 在线段 $B^{'} C^{'}$ 上，且四边形EFGH是正方形， $A E = 4$ ． $E B = 8$ 、MN与GH的交点为P ，则PH的长为．

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三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

15. 解方程： $x^{2} - 2 x = 3$

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16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy ，格点（网格线的交点）A、B ， C、D的坐标分别为 $(7, 8)$ ， $(2, 8)$ ， $(10, 4)$ ， $(5, 4)$ ．

(1)、以点D为旋转中心，将 $△ A B C$ 旋转180°得到 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，画出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、直接写出以B ， $C_{1}$ ， $B_{1}$ ， C为顶点的四边形的面积；

(3)、在所给的网格图中确定一个格点E ，使得射线AE平分 $∠ B A C$ ，写出点E的坐标．

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四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

17. 乡村振兴战略实施以来，很多外出人员返乡创业．某村有部分返乡青年承包了一些田地．采用新技术种植A ， B两种农作物．种植这两种农作物每公顷所需人数和投入资金如下表：
农作物品种
每公顷所需人数
每公顷所需投入资金（万元）
A
4
8
B
3
9
已知农作物种植人员共24位，且每人只参与一种农作物种植，投入资金共60万元。问A ， B这两种农作物的种植面积各多少公顷？

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18. 数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为

x^{2} - y^{2}

（x ， y均为自然数）”的问题．

(1)、指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（n为正整数）：

N	奇数	4的倍数
表示结果	$1 = 1^{2} - 0^{2}$	$4 = 2^{2} - 0^{2}$
	$3 = 2^{2} - 1^{2}$	$8 = 3^{2} - 1^{2}$
	$5 = 3^{2} - 2^{2}$	$12 = 4^{2} - 2^{2}$
	$7 = 4^{2} - 3^{2}$	$16 = 5^{2} - 3^{2}$
	$9 = 5^{2} - 4^{2}$	$20 = 6^{2} - 4^{2}$
	…	…
一般结论	$2 n - 1 = n^{2} - {(n - 1)}^{2}$	$4 n =$ ▲

按上表规律，完成下列问题：

（ⅰ） $24 =$ $^{2} -$ ²；

（ⅱ） $4 n =$ ；

(2)、兴趣小组还猜测：像2，6，10，14，…这些形如

4 n - 2

（n为正整数）的正整数N不能表示为

x^{2} - y^{2}

（x ， y均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下：

假设 $4 n - 2 = x^{2} - y^{2}$ ，其中x ， y均为自然数．

分下列三种情形分析：

①若x ， y均为偶数，设 $x = 2 k$ ， $y = 2 m$ ，其中k ， m均为自然数，

则 $x^{2} - y^{2} = {(2 k)}^{2} - {(2 m)}^{2} = 4 (k^{2} - m^{2})$ 为4的倍数．

而 $4 n - 2$ 不是4的倍数，矛盾．故x ， y不可能均为偶数．

②若x ， y均为奇数，设 $x = 2 k + 1$ ， $y = 2 m + 1$ ，其中k ， m均为自然数，

则 $x^{2} - y^{2} = {(2 k + 1)}^{2} - {(2 m + 1)}^{2} =$ 为4的倍数．

而 $4 n - 2$ 不是4的倍数，矛盾．故x ， y不可能均为奇数．

③若x ， y一个是奇数一个是偶数，则 $x^{2} - y^{2}$ 为奇数．

而 $4 n - 2$ 是偶数，矛盾．故x ， y不可能一个是奇数一个是偶数．

由①②③可知，猜测正确．

阅读以上内容，请在情形②的横线上填写所缺内容。

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五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）

19. 科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验，如图，光线自点B处发出，经水面点E折射到池底点A处．已知BE与水平线的夹角 $α = 36.9 °$ ，点B到水面的距离 $B C = 1.20$ m，点A处水深为1.20m，到池壁的水平距离 $A D = 2.50$ m点B ， C ， D在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内。记入射角为β ，折射角为γ ，求 $\frac{s i n β}{s i n γ}$ 的值（精确到0.1）．
参考数据： $s i n 36.9 ° \approx 0.60$ ， $c o s 36.9 ° \approx 0.80$ ， $t a n 36.9 ° \approx 0.75$ ．

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20. 如图， $⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的外接圆，D是直径AB上一点， $∠ A C D$ 的平分线交AB于点E ，交 $⊙ O$ 于另一点F ， $F A = F E$ ．

(1)、求证： $C D ⊥ A B$ ；

(2)、设 $F M ⊥ A B$ ，垂足为M ，若 $O M = O E = 1$ ，求AC的长．

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六、（本题满分12分）

21. 综合与实践
【项目背景】
无核柑橘是我省西南山区特产，该地区某村有甲、乙两块成龄无核柑橘园．在柑橘收获季节，班级同学前往该村开展综合实践活动，其中一个项目是：在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致的条件下，对两块柑橘园的优质柑橘情况进行调查统计，为柑橘园的发展规划提供一些参考．
【数据收集与整理】
从两块柑橘园采摘的柑橘中各随机选取200个．在技术人员指导下，测量每个柑橘的直径，作为样本数据．柑橘直径用x（单位：cm）表示．
将所收集的样本数据进行如下分组：
组别
A
B
C
D
E
x
3.5≤x<4.5
4.5≤x<5.5
5.5≤x<6.5
6.5≤x<7.5
7.5≤x≤8.5
整理样本数据，并绘制甲、乙两园样本数据的频数直方图，部分信息如下：

(1)、任务1求图1中a的值．

(2)、【数据分析与运用】
任务2A，B，C，D，E五组数据的平均数分别取为4，5，6，7，8，计算乙园样本数据的平均数．

(3)、任务3下列结论一定正确的是（填正确结论的序号）．
①两园样本数据的中位数均在C组；
②两园样本数据的众数均在C组；
③两园样本数据的最大数与最小数的差相等．

(4)、任务4结合市场情况，将C，D两组的柑橘认定为一级，B组的柑橘认定为二级，其它组的柑橘认定为三级，其中一级柑橘的品质最优，二级次之，三级最次．试估计哪个园的柑橘品质更优，并说明理由．
根据所给信息，请完成以上所有任务．

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七、（本题满分12分）

22. 如图1， $▱ A B C D$ 的对角线AC与BD交于点O ，点M ， N分别在边AD ， BC上，且 $A M = C N$ ．点E ， F分别是BD与AN ， CM的交点．

(1)、求证： $O E = O F$ ；

(2)、连接BM交AC于点H ，连接HE ， HF ．
（ⅰ）如图2，若 $H E ∥ A B$ ，求证： $H F ∥ A D$ ；
（ⅱ）如图3，若 $▱ A B C D$ 为菱形，且 $M D = 2 A M$ ， $∠ E H F = 60 °$ ，求 $\frac{A C}{B D}$ 的值．

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八、（本题满分14分）

23. 已知抛物线 $y = - x^{2} + b x$ （b为常数）的顶点横坐标比抛物线 $y = - x^{2} + 2 x$ 的顶点横坐标大1．

(1)、求b的值；

(2)、点 $A (x_{1}, y_{1})$ 在抛物线 $y = - x^{2} + 2 x$ 上，点 $B (x_{1} + t, y_{1} + h)$ 在抛物线 $y = - x^{2} + b x$ 上．
（ⅰ）若 $h = 3 t$ ，且 $x_{1} \geq 0$ ， $t > 0$ ，求h的值；
（ⅱ）若 $x_{1} = t - 1$ ，求h的最大值．

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农作物品种	每公顷所需人数	每公顷所需投入资金（万元）
A	4	8
B	3	9

组别	A	B	C	D	E
x	3.5≤x<4.5	4.5≤x<5.5	5.5≤x<6.5	6.5≤x<7.5	7.5≤x≤8.5