2014年全国高考理数真题试卷（新课标II卷）

试卷更新日期：2016-09-29 类型：高考真卷

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一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.

1. 设集合M={0，1，2}，N={x|x²﹣3x+2≤0}，则M∩N=（）

A、{1} B、{2} C、{0，1} D、{1，2}

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2. 设复数z₁ ， z₂在复平面内的对应点关于虚轴对称，z₁=2+i，则z₁z₂=（）

A、﹣5 B、5 C、﹣4+i D、﹣4﹣i

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3. 设向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足| $\vec{a}$ + $\vec{b}$ |= $\sqrt{10}$ ，| $\vec{a}$ ﹣ $\vec{b}$ |= $\sqrt{6}$ ，则 $\vec{a}$ • $\vec{b}$ =（）

A、1 B、2 C、3 D、5

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4. 钝角三角形ABC的面积是 $\frac{1}{2}$ ，AB=1，BC= $\sqrt{2}$ ，则AC=（）

A、5 B、 $\sqrt{5}$ C、2 D、1

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5. 某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）

A、0.8 B、0.75 C、0.6 D、0.45

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6.
如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）

A、 $\frac{17}{27}$ B、 $\frac{5}{9}$ C、 $\frac{10}{27}$ D、 $\frac{1}{3}$

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7. 执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S=（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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8. 设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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9. 设x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} x + y - 7 \leq 0 \\ x - 3 y + 1 \leq 0 \\ 3 x - y - 5 \geq 0 \end{matrix}$ ，则z=2x﹣y的最大值为（）

A、10 B、8 C、3 D、2

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10. 设F为抛物线C：y²=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ B、 $\frac{9 \sqrt{3}}{8}$ C、 $\frac{63}{32}$ D、 $\frac{9}{4}$

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11. 直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，∠BCA=90°，M，N分别是A₁B₁ ， A₁C₁的中点，BC=CA=CC₁ ，则BM与AN所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{1}{10}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{30}}{10}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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12. 设函数f（x）= $\sqrt{3}$ sin $\frac{π x}{m}$ ，若存在f（x）的极值点x₀满足x₀²+[f（x₀）]²＜m² ，则m的取值范围是（）

A、（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞） B、（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞） C、（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D、（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）

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二、填空题：（第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答）

13. （x+a）¹⁰的展开式中，x⁷的系数为15，则a= ．

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14. 函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）的最大值为．

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15. 已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是．

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16. 设点M（x₀ ， 1），若在圆O：x²+y²=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x₀的取值范围是．

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三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.

17. 已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=3a_n+1．

(1)、证明{a_n+ $\frac{1}{2}$ }是等比数列，并求{a_n}的通项公式；

(2)、证明： $\frac{1}{a_{1}}$ + $\frac{1}{a_{2}}$ +…+ $\frac{1}{a_{n}}$ ＜ $\frac{3}{2}$ ．

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18. 如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．

(1)、证明：PB∥平面AEC；

(2)、设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP=1，AD= $\sqrt{3}$ ，求三棱锥E﹣ACD的体积．

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19. 某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如表：
年份
2007
2008
2009
2010
2011
2014
2013
年份代号t
1
2
3
4
5
6
7
人均纯收入y
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
5.2
5.9

(1)、求y关于t的线性回归方程；

(2)、利用（1）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： $\hat{b}$ = $\frac{\sum_{i = 1}^{n} (t_{i} - \bar{t}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(t_{i} - \bar{t})}^{2}}$ ， $\hat{a}$ = $\bar{y}$ ﹣ $\hat{b}$ $\bar{t}$ ．

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20. 设F₁ ， F₂分别是C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞b＞0）的左，右焦点，M是C上一点且MF₂与x轴垂直，直线MF₁与C的另一个交点为N．

(1)、若直线MN的斜率为 $\frac{3}{4}$ ，求C的离心率；

(2)、若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F₁N|，求a，b．

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21. 已知函数f（x）=e^x﹣e^﹣^x﹣2x．

(1)、讨论f（x）的单调性；

(2)、设g（x）=f（2x）﹣4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0，求b的最大值；

(3)、已知1.4142＜ $\sqrt{2}$ ＜1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）．

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22. 如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：

(1)、BE=EC；

(2)、AD•DE=2PB² ．

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23. 在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0， $\frac{π}{2}$ ]

(1)、求C的参数方程；

(2)、设点D在半圆C上，半圆C在D处的切线与直线l：y= $\sqrt{3}$ x+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线CD的倾斜角及D的坐标．

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四、解答题

24. 设函数f（x）=|x+ $\frac{1}{a}$ |+|x﹣a|（a＞0）．

(1)、证明：f（x）≥2；

(2)、若f（3）＜5，求a的取值范围．

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年份	2007	2008	2009	2010	2011	2014	2013
年份代号t	1	2	3	4	5	6	7
人均纯收入y	2.9	3.3	3.6	4.4	4.8	5.2	5.9