湖北省武汉市蔡甸，黄陂、江夏区2023~2024学年九年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2023-11-20 类型：期中考试

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一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1. 方程 $2 x^{2} - 3 x - 1 = 0$ 的二次项系数和一次项系数分别为（）。

A、 $2 x^{2}$ 和 $- 3 x$ B、 $2 x^{2}$ 和 $3 x$ C、2和 $- 3$ D、2和3

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2. 若 $x_{1}, x_{2}$ 是一元二次方程 $x^{2} + 3 x - 5 = 0$ 的两根，则 $x_{1} + x_{2}$ 的值是（）

A、3 B、 $- 3$ C、5 D、 $- 5$

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3. 下列交通标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 抛物线 $y = {(x + 7)}^{2} - 5$ 的顶点坐标是（）

A、 $(7, 5)$ B、 $(7, - 5)$ C、 $(- 7, 5)$ D、 $(- 7, - 5)$

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5. 把抛物线 $y = x^{2}$ 先向左平移2个单位，再向上平移3个单位所得抛物线为（）

A、 $y = {(x - 2)}^{2} - 3$ B、 $y = {(x + 2)}^{2} - 3$ C、 $y = {(x + 2)}^{2} + 3$ D、 $y = {(x - 2)}^{2} + 3$

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6. 如图，将 $△ A B C$ 绕顶点C逆时针旋转得到 $△ A^{'} B^{'} C$ ，且点B刚好落在 $A^{'} B^{'}$ 上．若 $∠ A = 27 °$ ， $∠ B C A^{'} = 35 °$ ，则 $∠ A^{'} B A$ 等于（）

A、 $35 °$ B、 $56 °$ C、 $62 °$ D、 $66 °$

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7. 已知点 $A (a, 2023)$ 与点 $A^{'} (2024, b)$ 是关于原点O的对称点，则 $a - b$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- 4047$ D、4047

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8. 某大桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，函数关系为 $y = - \frac{1}{25} x^{2}$ ，当水面宽度 $A B$ 为 $20 m$ 时，水面与桥拱顶的高度 $C O$ 等于（）

A、 $2 m$ B、 $4m$ C、 $10 m$ D、 $16m$

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9. 如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的点和三角形组成．第1个图案中有3个点和1个三角形，第2个图案中有6个点和3个三角形，第3个图案中有9个点和6个三角形，……依此规律，若第n个图案中，三角形的个数是点个数的3倍，则n的值为（）

A、15 B、16 C、17 D、18

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10. 关于x的一元二次方程 $x^{2} - (m + 2) x - 3 m - 3 = 0$ 在 $- 2 \leq x \leq 2$ 范围内有且只有一个根，则m的取值范围为（）

A、 $m > - \frac{3}{5}$ B、 $- \frac{3}{5} < m \leq 5$ 或 $m = - 8 - 4 \sqrt{3}$ C、 $m < - \frac{3}{5}$ 或 $m \geq 5$ D、 $- \frac{3}{5} < m \leq 5$ 或 $m = - 8 + 4 \sqrt{3}$

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二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）

11. 若 $x = 2$ 是方程 $x^{2} - m x + 4 = 0$ 的根，则 $m =$ ．

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12. 关于x的一元二次方程 $(m + 1) x^{2} - 3 x + 1 = 0$ 有实数根，则m的取值范围是．

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13. 某学校开办篮球比赛，规定每两个球队之间都要进行一场比赛，共要比赛15场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，列出的方程是

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14. 在平面直角坐标系中，将点 $A (3, \sqrt{3})$ 绕点O逆时针旋转 $150 °$ ，得到点 $A^{'}$ ，则点 $A^{'}$ 的坐标为．

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15. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a < 0)$ 的图象与 $x$ 轴的一个交点坐标为 $(- 1, 0)$ ，对称轴为直线 $x = 1$ ，下列结论中： $①$ $a - b + c = 0$ ； $②$ 若 $P$ 为常数，则方程 $a (x + 1) (x - 3) + p^{2} = 0$ 一定有两个不相等的实数根； $③$ 若 $m$ 为任意实数，则 $a m^{2} - b m \geq a - b$ ； $④$ 若 $m < x_{1} < x_{2} < m + 3$ ，且该抛物线上存在 $A (x_{1}, y_{1})$ 、 $B (x_{2}, y_{2})$ 两点，满足 $y_{1} = y_{2}$ ，则 $m$ 的取值范围是 $- 2 < m < 1$ ，正确结论为

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16. 如图，矩形 $A B C D$ 中 $A B = 3$ ， $B C = 5$ ， E为 $B C$ 上一点，且 $B E = 1$ ， F为 $A B$ 边上的一个动点，连接 $E F$ ，将 $E F$ 绕着点E顺时针旋转 $30 °$ 到 $E G$ 的位置，连接 $F G$ 和 $C G$ ，则 $C G$ 的最小值为．

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三、解答题（共72分）

17. 解方程： $x^{2} - 2 x - 9 = 0$ （用公式法）

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A C = 6$ ，在同一平面内，将 $△ A B C$ 绕点C顺时针旋转至 $△ A^{'} B^{'} C$ 的位置， $∠ B^{'} C A^{'} = 72 °$ ，且 $B^{'} C ∥ A^{'} A$ ．

(1)、 $A^{'} C =$ ．

(2)、求旋转角的大小．

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19. 在平面直角坐标系中，已知二次函数的解析式为 $y = a x^{2} + b x + c$ ．

(1)、完成表格，并直接写出二次函数的顶点坐标________；
$x$
$\dots$
$- 1$
$0$
$2$
$3$
$4$
$\dots$
$y$
$\dots$
$- 1$
$- 4$
$- 4$
$\dots$

(2)、若 $- 1 < x < 5$ ，则 $y$ 的取值范围是________；

(3)、若 $y \geq 4$ ，则 $x$ 的取值范围是________．

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20. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - (k + 3) x + 3 k = 0$ ．

(1)、求证：无论 $k$ 为何值，此方程总有一个根是定值；

(2)、若直角三角形的一边为 $4$ ，另两边恰好是这个方程的两根，求 $k$ 的值．

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21. 如图是由小正方形组成的 $8 \times 8$ 网格，每个小正方形的顶点叫做格点．点A、B、E、F都在格点上，小正方形的边长为1个单位长度，以格点O为原点建立平面直角坐标系，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）．

(1)、如图1，画出线段 $A B$ 绕点 $O$ 逆时针旋转 $180 °$ 后的图形 $C D (A$ 与 $C$ 对应）；

(2)、如图1，点 $M$ 是线段 $A B$ 上一点，在（1）中的线段 $C D$ 上找到一点 $N$ ，使得 $D N = B M$ ；

(3)、如图1，线段 $E F$ 是由线段 $A B$ 绕点 $P$ 顺时针旋转得到的 $(A$ 与 $E$ 对应），请直接写出 $P$ 的坐标________；

(4)、如图2，点 $G$ 为格点，点 $H$ 是线段 $E F$ 上一点，在线段 $E G$ 上找到一点 $Q$ ，使得 $F Q + H Q$ 最小．

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22. 如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖高度 $O H$ 为 $1.2 m$ ．可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形 $D E F G$ ，其水平宽度 $D E = 2.5 m$ ，竖直高度 $E F = 0.7 m$ ， H点是下边缘抛物线的最高点，下边缘喷水的最大射程 $O B = 2 m$ ，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为 $2 m$ ，高出喷水口 $0.4 m$ ，灌溉车到绿化带的距离 $O D$ 为d（单位：m）．

(1)、直接写出上、下边缘抛物线的函数解析式；（不写自变量的取值范围）

(2)、此时，距喷水口水平距离为6.5米的地方正好有一个行人经过，试判断该行人是否会被洒水车淋到水？并写出你的判断过程；

(3)、要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d（米）的取值范围．

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23. 问题背景（1）如图1， $△ A B C$ 与 $△ A D E$ 中， $A B = A C$ ， $A D = A E$ ， $∠ B A C = ∠ D A E$ ，求证： $B D = C E$ ；
尝试应用（2）如图2，点D是等边 $△ A B C$ 内一点，连接 $B D 、 C D$ ，点E在 $B D$ 上， $E D = C D$ ，延长 $C D$ 交 $A E$ 于F，若 $∠ E D C = 120 °$ ，求证：点F是 $A E$ 的中点．
拓展应用（3）如图3，已知 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 30 °$ ， $A B = 2 \sqrt{3}$ ， $B C = 9$ ，以 $A C$ 为底边在 $△ A B C$ 外作等腰三角形 $A C D$ ，且 $∠ A D C = 120 °$ ，连接 $B D$ ，则 $B D$ 的长为________

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24. 如图1，已知二次函数 $y = x^{2} + b x + c$ 的图象与x轴交于点 $A (- 4, 0)$ 和点B，与y轴的负半轴交于点 $C (0, - 4)$ ．

(1)、求这个函数的解析式；

(2)、点P是抛物线上的一点，当 $∠ B C P = 45 °$ 时，求点P的坐标；

(3)、如图2，将直线 $A C$ 向下平移与抛物线交于M、N两点，直线 $A M 、 C N$ 交于Q点，请问点Q的横坐标是否为定值，并说明理由．

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$x$	$\dots$	$- 1$	$0$	$2$	$3$	$4$	$\dots$
$y$	$\dots$	$- 1$	$- 4$	$- 4$			$\dots$