湖北省随州市广水市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2024-03-06 类型：期末考试

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一、单选题（共30分）

1. 下列计算正确的是（）

A、 $(- 1)^{2023} = - 2023$ B、 $- 3^{2} = 9$ C、 $\sqrt{4} = \pm 2$ D、 ${(a^{3})}^{2} = a^{6}$

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2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列事件中是不可能事件的是（　　）

A、水滴石穿 B、瓮中捉鳖 C、水中捞月 D、守株待兔

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4. 我国“DF－41型”导弹俗称“东风快递”，速度可达到26马赫（1马赫＝340米/秒），则“DF－41型”导弹飞行多少分钟能打击到12000公里处的目标？设飞行 $x$ 分钟能打击到目标，可以得到方程（）

A、 $26 \times 340 \times 60 x = 12000$ B、 $26 \times 340 x = 12000$ C、 $\frac{26 \times 340 x}{1000} = 12000$ D、 $\frac{26 \times 340 \times 60 x}{1000} = 12000$

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5. 如图， $△ A O B$ 是以边长为2的等边三角形，则点A关于x轴的对称点的坐标为（　　）

A、 $(- 1, \sqrt{3})$ B、 $(- 1, - \sqrt{3})$ C、 $(1, \sqrt{3})$ D、 $(1, - \sqrt{3})$

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6. 在如图所示的电路中，随机闭合开关 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ 、 $S_{3}$ 中的两个，能让灯泡 $L_{1}$ 发光的概率是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{1}{4}$

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7. 如图，在 $⊙ O$ 中， $∠ B A C = 55 °$ ，分别过 $B$ ， $C$ 两点作 $⊙ O$ 的切线，两切线相交于点 $P$ ，则 $∠ B P C$ 的度数（）

A、 $55 °$ B、 $110 °$ C、 $70 °$ D、 $140 °$

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8. 已知二次函数 $y = a x^{2} - 2 a x + 1$ （ $a$ 为常数，且 $a > 0$ ）的图象上有三点 $A (- 2 ， y_{1})$ ， $B (1 ， y_{2})$ ， $C (3 ， y_{3})$ ，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 的大小关系是（）

A、 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ B、 $y_{1} < y_{3} < y_{2}$ C、 $y_{2} < y_{1} < y_{3}$ D、 $y_{2} < y_{3} < y_{1}$

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9. 某网红店生产并销售一种特色食品，每天均能限量生产并销售完毕，如图中的线段 $A B$ ， $O C$ 分别表示某天生产成本 $y_{1}$ （单位：元），收入 $y_{2}$ （单位：元）与产量x（单位：千克）之间的函数关系．根据图象信息可知，该网红店某一天中盈利120元时的产量是（）

A、30千克 B、42千克 C、45千克 D、48千克

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10. 利用平方根去根号可以构造一个整系数方程．例如： $x = \sqrt{2} + 1$ 时，移项得 $x - 1 = \sqrt{2}$ ，两边平方得 ${(x - 1)}^{2} = {(\sqrt{2})}^{2}$ ，所以 $x^{2} - 2 x + 1 = 2$ ，即 $x^{2} - 2 x - 1 = 0$ ．仿照上述构造方法，当 $x = \frac{\sqrt{6} - 1}{2}$ 时，可以构造出一个整系数方程是（　　）

A、 $4 x^{2} + 4 x + 5 = 0$ B、 $4 x^{2} + 4 x - 5 = 0$ C、 $x^{2} + x + 1 = 0$ D、 $x^{2} + x - 1 = 0$

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二、填空题（共18分）

11. 分解因式： $m^{2} - 4$ = ．

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12. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $(k - 5) x^{2} - 2 x + 1 = 0$ 有实数根，则 $k$ 的取值范围为．

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13. 一座拱桥的轮廓是一段半径为 $250 m$ 的圆弧（如图所示），桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面 $A B$ 长度为 $300 m$ ，那么这些钢索中最长的一根为 $m$ ．

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14. 小明要把一篇文章录入电脑，所需时间y（min）与录入文字的速度x（字/min）之间的函数关系如图所示．如果小明要在7min内完成录入任务，那么他录入文字的速度至少为字/min．

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15. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象如图所示抛物线的顶点坐标是 $(1, 1)$ ，有下列结论① $a > 0$ ；② $b^{2} - 4 a c > 0$ ；③ $4 a + b = 1$ ；④若点 $A (m, n)$ 在该抛物线上，则 $a m^{2} + b m + c \geq a + b + c$ ．其中正确的结论是．

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16. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为6，点E，F分别在线段 $B C$ ， $C D$ 上，且 $C F = 4$ ， $C E = 2$ ，若点M，N分别在线段 $A B$ ， $A D$ 上运动，P为线段 $M F$ 上的点，在运动过程中，始终保持 $∠ P E B = ∠ P F C$ ，则线段 $P N$ 的最小值为．

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三、解答题（共72分）

17. 先化简，再求值： $(1 - \frac{a + 1}{a}) \div \frac{a^{2} - 1}{a^{2} - a}$ ，其中 $a = \sqrt{2} - 1$ ．

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， E为 $B A$ 延长线上一点，且 $E D ⊥ B C$ 交 $A C$ 于点F．

(1)、求证： $△ A E F$ 是等腰三角形；

(2)、若 $A B = 13 ， E F = 12$ ， F为 $A C$ 中点，求 $B C$ 的长．

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19. 某初中为增强学生亚运精神，举行了“迎亚运”书画作品创作比赛，评选小组从全校24个班中随机抽取4个班（用 A，B，C，D表示），并对征集到的作品数量进行了统计分析，得到下列两幅不完整的统计图．

(1)、评选小组采用的调查方式是普查还抽样调查？

(2)、根据上图表中的数据，补充完整作品数量条形图，并求出C班扇形的圆心角度数；

(3)、请你估计该校在此次活动中征集到的作品数量．

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20. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 $A (- 1, 5)$ ， $B (- 3, 1)$ 和 $C (4, 0)$ ，请按下列要求画图并填空．

(1)、平移线段AB，使点A平移到点C，则点B的对应点点D坐标为______；若点 $P (a, b)$ 为AB上一点，则平移后，点P的对应点的坐标为______（用含a、b的代数式表示）．

(2)、将线段AB绕点A逆时针旋转 $90 °$ ，请在图1的网格图中画出旋转后所得的线段AE，并写出点E的坐标为______，连接点BE，EC，CB，得到 $△ B E C$ ，请说明 $△ B E C$ 的形状，并说明理由；

(3)、请在图2的y轴上找出一点F（保留画图痕迹），使 $△ A B F$ 的周长最小，并直接写出点F的坐标为______．

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21. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理：如图 $1$ ，其原理是利用流动的河水，推动水车转动，水斗舀满河水，将水提升，等水斗转至顶空后再倾入接水槽，水流源源不断，流入田地，以利灌溉．如图 $2$ ，筒车 $⊙ O$ 与水面分别交于点 $A$ ， $B$ ，筒车上均匀分布着若干盛水筒， $P$ 表示筒车的一个盛水筒．接水槽 $M N$ 所在的直线是 $⊙ O$ 的切线，且与直线 $A B$ 交于点 $M$ ，当点 $P$ 恰好在 $N M$ 所在的直线上时．解决下面的问题：

(1)、求证： $∠ B A P = ∠ M P B$ ；

(2)、若 $A B = A P$ ， $M B = 8$ ， $M P = 12$ ，求 $B P$ 的长．

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22. 第31届世界大学生夏季运动会将于2023年7月28日至8月8日在成都举行，大熊猫是成都最具特色的对外传播标识物和“品牌图腾”，是天府之国享有极高知名度的个性名片．此次成都大运会吉祥物“蓉宝”（如图1）便是以熊猫基地真实的大熊猫“芝麻”为原型创作的．某商店销售“蓉宝”的公仔毛绒玩具，进价为30元/件，经市场调查发现：该商品的月销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的关系如图2所示．

(1)、求y关于x的函数解析式；

(2)、由于某种原因，该商品进价提高了a元/件（ $a > 0$ ），如果规定该玩具售价不超过40元/件，该商品在今后的销售中，月销售量与销售价仍然满足（1）中的函数关系，若该商品的月销售最大利润是2400元，求a的值．

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23. 据图回答下列各题．
【问题：】如图1，在 $Rt △ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点 $D$ 是 $B C$ 边上一点（不与 $B$ ， $C$ 重合），将线段 $A D$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $90 °$ 得到 $A E$ ，连接 $E C$ ，则线段 $B D$ ， $C E$ 之间满足的数量关系式为．
【探索：】如图2，在 $Rt △ A B C$ 与 $Rt △ A D E$ 中， $A B = A C$ ， $A D = A E$ ，将 $△ A D E$ 绕点 $A$ 旋转，使点 $D$ 落在 $B C$ 边上，请探索线段 $A D$ ， $B D$ ， $C D$ 之间满足的数量关系，并证明你的结论．
【应用：】如图3，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = ∠ A C B = ∠ A D C = 45 °$ ，若 $B D = 9$ ， $C D = 3$ ，求 $A D$ 的长．

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24. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $y = - \frac{1}{2} x + 2$ 与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 经过A，B两点且与x轴的负半轴交于点C．

(1)、求该抛物线的解析式．

(2)、若点D为直线 $A B$ 上方抛物线上的一个动点，当 $∠ A B D = 2 ∠ B A C$ 时，求点D的坐标．

(3)、已知E，F分别是直线 $A B$ 和抛物线上的动点，当 $E F ∥ O B$ ，且以B，O，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的E点的坐标．

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