湖南省湘西州2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2024-03-17 类型：期末考试

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一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）

1. 关于 $x$ 的方程 $x^{2} - m x - 6 = 0$ 的一个根为 $x = - 3$ ，则实数 $m$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- 5$ D、5

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2. 抛物线 $y = 3 {(x - 2)}^{2} + 5$ 的顶点坐标为（）

A、 $(- 2, 5)$ B、 $(2, 5)$ C、 $(- 3, 5)$ D、 $(- 2, - 5)$

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3. 下列标志中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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4. $⊙ O$ 的直径为6，直线 $l$ 上有一点 $P$ 满足 $O P = 3$ ，则 $l$ 与 $⊙ O$ 的位置关系是（）

A、相切 B、相离 C、相离或相切 D、相切或相交

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5. 某商品原价为200元，连续两次平均降价的百分率为 $x$ ，连续两次降价后售价为146元，下面所列方程正确的是（）

A、 $200 {(1 + x)}^{2} = 146$ B、 $200 {(1 - x)}^{2} = 146$ C、 $200 (1 - 2 x) = 146$ D、 $200 (1 - x^{2}) = 146$

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6. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 4 x - 2 a = 0$ 有两个不相等实数根，则 $a$ 满足（）

A、 $a \geq - 2$ 且 $a \neq 0$ B、 $a > - 2$ C、 $a \geq - 2$ D、 $a > - 2$ 且 $a \neq 0$

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7. 函数 $y = a x^{2}$ 与 $y = a x + b (a < 0, b > 0)$ 在同一坐标系中的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 如图，将线段 $A B$ 绕点 $O$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到线段 $A^{'} B^{'}$ ，那么 $A (- 2, 6)$ 的对应点 $A^{'}$ 的坐标是（）

A、 $(6, 2)$ B、 $(2, 6)$ C、 $(2, - 6)$ D、 $(6, - 2)$

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9. 如图， $O A$ 是 $⊙ O$ 的半径，弦 $B C ⊥ O A, D$ 是优弧 $\overset{⌢}{B C}$ 上一点，如果 $∠ A O B = 58 °$ ，那么 $∠ A D C$ 的度数为（）

A、 $32 °$ B、 $29 °$ C、 $58 °$ D、 $26 °$

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10. 下列说法正确的是（）

A、“三点确定一个圆”是真命题 B、“抛一枚硬币正面朝上的概率为 $\frac{1}{2}$ ”表示每抛两次就有一次正面朝上 C、相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等 D、抛一枚均匀的正方体骰子，朝上的点数是3的概率为 $\frac{1}{6}$

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11. 探究课上，老师给出一个问题“利用二次函数与一次函数的图象，求一元二次方程 $2 x^{2} = x + 2$ 的近似根”小华利用计算机绘制出如图所示的图象，通过观察可知该方程的两近似根 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 满足 $- 1 < x_{1} < 0, 1 < x_{2} < 2$ ，小华的上述方法体现的数学思想是（）

A、公理化 B、分类讨论 C、数形结合 D、由特殊到一般

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12. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $C D = 2, ∠ D B C = 30 °$ ．若将 $B D$ 绕点 $B$ 旋转后，点 $D$ 落在 $D C$ 延长线上的点E处，点D经过的路径 $\overset{⌢}{D E}$ ，则图中阴影部分的面积是（）

A、 $\frac{2}{3} π - 2 \sqrt{3}$ B、 $\frac{1}{3} π - \sqrt{3}$ C、 $\frac{4}{3} π - 2 \sqrt{3}$ D、 $\frac{4}{3} π - 4 \sqrt{3}$

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13. 如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（　　）

A、8≤AB≤10 B、8＜AB≤10 C、4≤AB≤5 D、4＜AB≤5

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14. 已知二次函数 $y = m x^{2} - 4 m x - 5 m + 1 (m < 0)$ 下列结论正确的是（）
①已知点 $M (4, y_{1})$ ，点 $N (- 2, y_{2})$ 在二次函数的图象上，则 $y_{1} > y_{2}$ ；②该图象一定过定点 $(5, 1)$ 和 $(- 1, 1)$ ；③直线 $y = x - 1$ 与抛物线 $y = m x^{2} - 4 m x - 5 m + 1$ 一定存在两个交点；④当 $- 3 \leq x \leq 1$ 时， $y$ 的最小值是 $m$ ，则 $m = \frac{1}{9}$ ．

A、①②③ B、①③④ C、②③④ D、①②③④

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二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

15. 写出一个一元二次方程，满足其中一个根是1，这个方程可以是．

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16. 某二次函数的图象过点 $(0, - 8)$ ， $(- 3, 7)$ 利 $(5, 7)$ ，则此二次函数的图象的对称轴为．

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17. 一个不透明的布袋里装有5个只有颜色不同的球，其中3个红球，2个白球，从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是.

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18. 如图，等边 $△ A B C$ 的边长为 $4, D$ 是 $A C$ 上一点，过点 $D$ 作 $B C$ 的垂线，交 $B C$ 于 $E$ ，用 $x$ 表示线段 $B E$ 的长度，显然， $Rt △ C D E$ 的面积 $y$ 是线段 $x$ 的二次函数，则这个函数顶点式是．

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19. 如图，在 $Rt △ O A B$ 中， $∠ A O B = 30 °$ ，将 $△ A O B$ 绕点 $O$ 逆时针方向旋转 $106 °$ 得到 $△ O A_{1} B_{1}$ ，则 $∠ A_{1} O B$ 的度数为．

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20. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C$ 是 $B A$ 延长线上一点，点 $D$ 在 $⊙ O$ 上，且 $C D = O A$ ， $C D$ 的延长线交 $⊙ O$ 于点 $E$ ，若 $∠ E = 30 °$ ，那么 $∠ C =$ ．

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三、解答题（本大题共7小题，共60分）

21. 解方程：

(1)、 $x^{2} - 2 x - 2 = 0$ ；

(2)、 $x (x + 2) = 6 + 3 x$ ．

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22. 叮叮和当当玩纸牌游戏：如图是同一副扑克牌中的3张黑桃牌的正面，将这3张牌正面朝下洗匀后放在桌上，叮叮先从中抽出一张，当当从剩余的2张牌中也抽出一张，比较两人抽出的牌面上的数字，数字大者获胜，该游戏是否公平？请用画树状图或列表的方法说明理由．

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23. 如图，某隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长OA为12m，宽OB为4m，隧道顶端D到路面的距离为10m，建立如图所示的直角坐标系．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱，集装箱最高处与地面距离为6m，宽为4m，隧道内设双向行车道，问这辆货车能否安全通过？

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24. 如图， $△ A B C$ 在平面直角坐标系中，根据要求作答．

(1)、请画出 $△ A B C$ 关于原点 $O$ 对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、请画出 $△ A B C$ 绕点 $B$ 逆时针旋转 $90 °$ 后的 $△ A_{2} B C_{2}$ ，并写出 $C_{2}$ 坐标．

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25. 如图， $P A$ 是 $⊙ O$ 的切线，A为切点，连接 $P O$ 交 $⊙ O$ 于点 $C$ ，且 $P C = O C$ ， $⊙ O$ 上有一点 $B$ 且 $∠ P O B = 60 °$ ，连接 $P B$ ．

(1)、判断 $△ C O A$ 的形状，并说明理由；

(2)、求证： $P B$ 是 $⊙ O$ 的切线．

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26. 阅读材料：
材料1：如图，是由四个长为 $a$ ，宽为 $b$ 的长方形拼摆而成的正方形，其中 $a > b > 0$ ，则根据图形可以得到等式 ${(a + b)}^{2} = {(a - b)}^{2} + 4 a b$ ．
材料2：若一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的两个根为 $x_{1}, x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ ， $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ ．
材料3：已知实数 $m, n$ 满足 $m^{2} - m - 1 = 0, n^{2} - n - 1 = 0$ ，且 $m \neq n$ ，则 $m, n$ 是方程 $x^{2} - x - 1 = 0$ 的两个不相等的实数根．
根据上述材料解决以下问题：

(1)、材料理解：一元二次方程 $4 x^{2} - 8 x + 1 = 0$ 两个根为 $x_{1}, x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} =$ ______， $x_{1} x_{2} =$ _____．

(2)、应用探究：一元二次方程 $4 x^{2} - 8 x + 1 = 0$ 两个根为 $x_{1}, x_{2}$ ，则 $x_{1} - x_{2} =$ _______．

(3)、思维拓展：已知实数 $s 、 t$ 分别满足 $9 s^{2} + 9 s + 1 = 0$ ， $t^{2} + 9 t + 9 = 0$ ，其中 $s t \neq 1$ 且 $s t \neq 0$ ，求 $\frac{3 s t + 9 s + 3}{t}$ 的值．

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27. 抛物线 $y = \frac{2}{3} x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于 $A, B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，抛物线的对称轴交 $x$ 轴于点 $D$ ，已知 $A (- 1, 0), C (0, 2)$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、在抛物线的对称轴上是否存在点 $P$ ，使 $△ P C D$ 是以 $C D$ 为腰的等腰三角形？如果存在，求出点 $P$ 的坐标；如果不存在，请说明理由；

(3)、点 $E$ 是线段 $B C$ 上的一个动点，过点 $E$ 作 $x$ 轴的垂线与抛物线相交于点 $F$ ，当 $△ B C F$ 面积 $S$ 最大时，求点 $E$ 的坐标及 $S$ 的最大值．

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