2014年全国高考理数真题试卷（大纲卷）

试卷更新日期：2016-09-29 类型：高考真卷

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一、选择题

1. 设z= $\frac{10 i}{3 + i}$ ，则z的共轭复数为（）

A、﹣1+3i B、﹣1﹣3i C、1+3i D、1﹣3i

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2. 设集合M={x|x²﹣3x﹣4＜0}，N={x|0≤x≤5}，则M∩N=（）

A、（0，4] B、[0，4） C、[﹣1，0） D、（﹣1，0]

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3. 设a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，则（）

A、a＞b＞c B、b＞c＞a C、c＞b＞a D、c＞a＞b

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4. 若向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 满足：| $\vec{a}$ |=1，（ $\vec{a}$ + $\vec{b}$ ）⊥ $\vec{a}$ ，（2 $\vec{a}$ + $\vec{b}$ ）⊥ $\vec{b}$ ，则| $\vec{b}$ |=（）

A、2 B、B $\sqrt{2}$ C、1 D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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5. 有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）

A、60种 B、70种 C、75种 D、150种

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6. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的左、右焦点为F₁、F₂ ，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，过F₂的直线l交C于A、B两点，若△AF₁B的周长为4 $\sqrt{3}$ ，则C的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{2}$ =1 B、 $\frac{x^{2}}{3}$ +y²=1 C、 $\frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{8}$ =1 D、 $\frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{4}$ =1

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7. 曲线y=xe^x^﹣¹在点（1，1）处切线的斜率等于（）

A、2e B、e C、2 D、1

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8. 正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）

A、 $\frac{81 π}{4}$ B、16π C、9π D、 $\frac{27 π}{4}$

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9. 已知双曲线C的离心率为2，焦点为F₁、F₂ ，点A在C上，若|F₁A|=2|F₂A|，则cos∠AF₂F₁=（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$

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10. 等比数列{a_n}中，a₄=2，a₅=5，则数列{lga_n}的前8项和等于（　　）

A、6 B、5 C、4 D、3

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11. 已知二面角α﹣l﹣β为60°，AB⊂α，AB⊥l，A为垂足，CD⊂β，C∈l，∠ACD=135°，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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12. 函数y=f（x）的图象与函数y=g（x）的图象关于直线x+y=0对称，则y=f（x）的反函数是（）

A、y=g（x） B、y=g（﹣x） C、y=﹣g（x） D、y=﹣g（﹣x）

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二、填空题

13. ${(\frac{x}{\sqrt{y}} - \frac{y}{\sqrt{x}})}^{8}$ 的展开式中x²y²的系数为．（用数字作答）

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14. 设x、y满足约束条件 ${\begin{matrix} x - y \geq 0 \\ x + 2 y \leq 3 \\ x - 2 y \leq 1 \end{matrix}$ ，则z=x+4y的最大值为．

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15. 直线l₁和l₂是圆x²+y²=2的两条切线，若l₁与l₂的交点为（1，3），则l₁与l₂的夹角的正切值等于．

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16. 若函数f（x）=cos2x+asinx在区间（ $\frac{π}{6}$ ， $\frac{π}{2}$ ）是减函数，则a的取值范围是．

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三、解答题

17. △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA= $\frac{1}{3}$ ，求B．

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18. 等差数列{a_n}的前n项和为S_n ．已知a₁=10，a₂为整数，且S_n≤S₄ ．

(1)、求{a_n}的通项公式；

(2)、设b_n= $\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列{b_n}的前n项和T_n ．

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19. 如图，三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，点A₁在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC₁=2．

(1)、证明：AC₁⊥A₁B；

(2)、设直线AA₁与平面BCC₁B₁的距离为 $\sqrt{3}$ ，求二面角A₁﹣AB﹣C的大小．

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20. 设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4，各人是否需使用设备相互独立．

(1)、求同一工作日至少3人需使用设备的概率；

(2)、X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望．

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21. 已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|= $\frac{5}{4}$ |PQ|．

(1)、求C的方程；

(2)、过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．

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22. 函数f（x）=ln（x+1）﹣ $\frac{a x}{x + a}$ （a＞1）．

(1)、讨论f（x）的单调性；

(2)、设a₁=1，a_n+1=ln（a_n+1），证明： $\frac{2}{n + 2}$ ＜a_n≤ $\frac{3}{n + 2}$ ．

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