广东省清远市连山壮族瑶族自治县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2024-02-27 类型：期末考试

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一、选择题：本大题10小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑．

1. 下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（）

A、正方形　 B、矩形　 C、菱形　 D、平行四边形

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2. 若 $△ A B C$ 与 $△ D E F$ 相似，且对应中线的比为 $1 : 7$ ，则 $△ A B C$ 与 $△ D E F$ 的面积比是（）

A、 $1 : \sqrt{7}$ B、 $1 : 3.5$ C、 $1 : 7$ D、 $1 : 49$

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3. 关于 $x$ 的方程 $(m - \sqrt{3}) x^{m^{2} - 1} - x + 2 = 0$ 是一元二次方程，则 $m$ 的值是（）

A、 $- \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{3}$ 或 $- \sqrt{3}$ D、3

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4. 把方程x²﹣8x+3＝0化成（x+m）²＝n的形式，则m，n的值是（）

A、4，13 B、﹣4，19 C、﹣4，13 D、4，19

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5. 物理某一实验的电路图如图所示，其中K₁ ， K₂ ， K₃为电路开关，L₁ ， L₂为能正常发光的灯泡．任意闭合开关K₁ ， K₂ ， K₃中的两个，那么能让两盏灯泡同时发光的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{4}$

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6. 已知点 $A (- 1, y_{1})$ ， $B (1, y_{2})$ 都在双曲线 $y = \frac{3 + m}{x}$ 上，且 $y_{1} < y_{2}$ ，则m的取值范围是（）

A、 $m < 0$ B、 $m > 0$ C、 $m > - 3$ D、 $m < - 3$

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7. 如图是由6个同样大小的正方体摆成的几何体．将正方体①移走后，所得几何体（）

A、主视图改变，左视图改变 B、俯视图不变，左视图不变 C、俯视图改变，左视图改变 D、主视图改变，左视图不变

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8. 已知a、b、c为常数，点P（a，c）在第二象限，则关于x的方程ax²+bx+c=0根的情况是（）

A、有两个相等的实数根 B、有两个不相等的实数根 C、没有实数根 D、无法判断

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9. 在四边形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C ， A B = C D$ ．下列说法能使四边形 $A B C D$ 为矩形的是（）

A、 $A B ∥ C D$ B、 $A D = B C$ C、 $∠ A = ∠ B$ D、 $∠ A = ∠ D$

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10. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点E，F分别在 $B C$ ， $C D$ 上， $A E = A F$ ， $A C$ 与 $E F$ 相交于点G．下列结论，其中正确的是（）
① $A C$ 垂直平分 $E F$ ；② $B E + D F = E F$ ；③当 $∠ D A F = 15 °$ 时， $△ A E F$ 为等边三角形；④当 $∠ E A F = 60 °$ 时， $S_{△ A B E} = \frac{1}{2} S_{△ C E F}$ ．

A、①③④ B、②③ C、①③ D、②④

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二、填空题：本大题7小题，每小题4分，共28分．

11. 菱形的两条对角线的长分别是 $4 cm$ 和 $8cm$ ，则它的面积为 ${cm}^{2}$ ．

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12. 若 $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = 2$ ，且 $b + d + f = 3$ ，则 $a + c + e =$ ．

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13. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，点P为 $A B$ 的黄金分割点 $(A P > P B)$ ，如果 $A P$ 的长度为 $6cm$ ，那么 $A B$ 的长度是 $cm$ （保留根号）．

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14. 如图，小华做小孔成像实验，已知蜡烛与成像板之间的距离为 $21 cm$ ，则蜡烛与成像板之间的小孔纸板应放在离蜡烛 $cm$ 的地方时，蜡烛焰 $A B$ 是像 $A^{'} B^{'}$ 的一半．

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15. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE=度．

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16. 正比例函数 $y = x$ 与反比例函数 $y = \frac{1}{x}$ 的图象相交于A，C两点， $A B ⊥ x$ 轴于B， $C D ⊥ x$ 轴于D，则四边形 $A B C D$ 的面积为．

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17. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 1 ， A D = 2$ ，点E在 $A D$ 上，点F在 $B C$ 上，且 $A E = C F$ ，连结 $C E ， D F$ ，则 $C E + D F$ 的最小值为．

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三、解答题（一）：本大题3小题，每小题6分，共18分．

18. 解一元二次方程： $x^{2} - 2 x - 8 = 0$ ．

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19. 已知一元二次方程 $x^{2} - 5 x + k = 0$ 的两个实数根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，若 $x_{1} x_{2} + 2 x_{1} + 2 x_{2} = 1$ ，求实数k的值．

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20. 如图，有 $4$ 张分别印有 $Q$ 版西游图案的卡片： $A$ 唐僧、 $B$ 孙悟空、 $C$ 猪八戒、 $D$ 沙悟净．

现将这 $4$ 张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出 $1$ 张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出 $1$ 张卡片求下列事件发生的概率：

(1)、第一次取出的卡片图案为“ $B$ 孙悟空”的概率为__________；

(2)、用画树状图或列表的方法，求两次取出的2张卡片中至少有 $1$ 张图案为“ $A$ 唐僧”的概率．

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四、解答题（二）：本大题3小题，每小题8分，共24分．

21. 如图， $C A ⊥ A D, E D ⊥ A D$ ，点 $B$ 是线段 $A D$ 上的一点，且 $C B ⊥ B E$ ．已知 $A B = 8, A C = 6, D E = 4$ ．

(1)、证明： $△ A B C ∽ △ D E B$ ．

(2)、求线段 $B D$ 的长．

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22. 笑笑同学通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长 $λ$ （单位：m）会随着电磁波的频率f（单位： $M H z$ ）的变化而变化．已知波长 $λ$ 与频率f是反比例函数关系，下面是它们的部分对应值：

频率f（ $M H z$ ）

10

15

50

波长 $λ$ （m）

30

20

6

(1)、求波长 $λ$ 关于频率f的函数解析式．

(2)、当 $f = 75 M H z$ 时，求此电磁波的波长 $λ$ ．

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23. 电动自动车已成为市民日常出行的首选工具．据某市某品牌电动自行车经销商1至3月份统计，该品牌电动自行车1月份销售 $150$ 辆，3月份销售 $216$ 辆．

(1)、求该品牌电动自行车销售量的月均增长率；

(2)、假设每月的增长率相同，预计4月份的销量会达到 $300$ 辆吗?

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五、解答题（三）：本大题2小题，每小题10分，共20分．

24. 如图，反比例函数 $y = \frac{2}{x}$ 的图象与一次函数 $y = k x + b$ 的图象交于点A，B，点A，B的横坐标分别为1， $- 2$ ，一次函数图象与y轴交于点C，与x轴交于点D．

(1)、求一次函数的解析式；

(2)、对于反比例函数 $y = \frac{2}{x}$ ，当 $y > - 1$ 时，写出x的取值范围；

(3)、在第三象限的反比例函数图象上是否存在点P，使得 $S_{△ O D P} = 2 S_{△ O C A}$ ？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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25. 综合与实践课上，诸葛小组三位同学对含 $60 °$ 角的菱形进行了探究．
【背景】在菱形 $A B C D$ 中， $∠ B = 60 °$ ，作 $∠ P A Q = ∠ B$ ， $A P$ 、 $A Q$ 分别交边 $B C$ 、 $C D$ 于点P、Q．

(1)、【感知】如图1，若点P是边 $B C$ 的中点，小南经过探索发现了线段 $A P$ 与 $A Q$ 之间的数量关系，请你写出这个关系式______．

(2)、【探究】如图2，小阳说“点P为 $B C$ 上任意一点时，（1）中的结论仍然成立”，你同意吗？请说明理由．

(3)、【应用】小宛取出如图3所示的菱形纸片 $A B C D$ ，测得 $∠ A B C = 60 °$ ， $A B = 6$ ，在 $B C$ 边上取一点P，连接 $A P$ ，在菱形内部作 $∠ P A Q = 60 °$ ， $A Q$ 交 $C D$ 于点Q，当 $A P = 2 \sqrt{7}$ 时，请直接写出线段 $D Q$ 的长．

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频率f（ $M H z$ ）	10	15	50
波长 $λ$ （m）	30	20	6