四川省泸州市2024年中考数学试卷

试卷更新日期：2024-06-20 类型：中考真卷

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一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．

1. 下列各数中，无理数是（）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、3.14 C、0 D、 $π$

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2. 第二十届中国国际酒业博览会于2024年3月21-24日在泸州市国际会展中心举办，各种活动带动消费2.6亿元，将数据260000000用科学记数法表示为（）

A、 $2.6 \times 1 0^{7}$ B、 $2.6 \times 1 0^{8}$ C、 $2.6 \times 1 0^{9}$ D、 $2.6 \times 1 0^{10}$

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3. 下列几何体中，其三视图的主视图和左视图都为矩形的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 把一块含30°角的直角三角板按如图方式放置于两条平行线间，若 $∠ 1 = 45 °$ ，则 $∠ 2 =$ （）

A、10° B、15° C、20° D、30°

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5. 下列运算正确的是（）

A、 $3 a + 2 a^{3} = 5 a^{4}$ B、 $3 a^{2} \cdot 2 a^{3} = 6 a^{6}$ C、 ${(- 2 a^{3})}^{2} = 4 a^{6}$ D、 $4 a^{6} \div a^{2} = 4 a^{3}$

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6. 已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件中，不能判定 $▱ A B C D$ 为矩形的是（）

A、 $∠ A = 90 °$ B、 $∠ B = ∠ C$ C、 $A C = B D$ D、 $A C ⊥ B D$

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7. 分式方程 $\frac{1}{x - 2} - 3 = \frac{2}{2 - x}$ 的解是（）

A、 $x = - \frac{7}{3}$ B、 $x = - 1$ C、 $x = \frac{5}{3}$ D、 $x = 3$

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8. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} + 2 x + 1 - k = 0$ 无实数根，则函数 $y = k x$ 与函数 $y = \frac{2}{x}$ 的图象交点个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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9. 如图，EA ， ED是 $⊙ O$ 的切线，切点为A ， D ，点B ， C在 $⊙ O$ 上，若 $∠ B A E + ∠ B C D = 236 °$ ，则 $∠ E =$ （）

A、56° B、60° C、68° D、70°

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10. 宽与长的比是 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．如图，把黄金矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点 $B^{'}$ 处， $A B^{'}$ 交CD于点E ，则 $s i n ∠ D A E$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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11. 已知二次函数 $y = a x^{2} + (2 a - 3) x + a - 1$ （x是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为（）

A、 $1 \leq a < \frac{9}{8}$ B、 $0 < a < \frac{3}{2}$ C、 $0 < a < \frac{9}{8}$ D、 $1 \leq a < \frac{3}{2}$

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12. 如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E ， F分别是边AB ， BC上的动点，且满足 $A E = B F$ ， AF与DE交于点O ，点M是DF的中点，G是边AB上的点， $A G = 2 G B$ ，则 $O M + \frac{1}{2} F G$ 的最小值是（）

A、4 B、5 C、8 D、10

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二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）．

13. 函数 $y = \sqrt{x + 2}$ 的自变量x的取值范围是．

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14. 在一个不透明的盒子中装有6个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球是白球的概率是 $\frac{2}{3}$ ，则黄球的个数为．

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15. 已知 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是一元二次方程 $x^{2} - 3 x - 5 = 0$ 的两个实数根，则 ${(x_{1} - x_{2})}^{2} + 3 x_{1} x_{2}$ 的值是．

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16. 定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移 $a (a > 0)$ 个单位，再绕原点按逆时针方向旋转 $θ$ 角度，这样的图形运动叫做图形的 $ρ (a, θ)$ 变换．如：点 $A (2, 0)$ 按照 $ρ (1, 90 °)$ 变换后得到点 $A^{'}$ 的坐标为 $(- 1, 2)$ ，则点 $B (\sqrt{3}, - 1)$ 按照 $ρ (2, 105 °)$ 变换后得到点 $B^{'}$ 的坐标为．

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三、本大题共3个小题，每小题6分，共18分．

17. 计算： $| - \sqrt{3} | + {(π - 2024)}^{0} - 2 s i n 60 ° + {(\frac{1}{2})}^{- 1}$ ．

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18. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，E ， F是对角线BD上的点，且 $D E = B F$ ．求证： $∠ 1 = ∠ 2$ ．

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19. 化简： $(\frac{y^{2}}{x} + x - 2 y) \div \frac{x^{2} - y^{2}}{x}$ ．

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四、本大题共2个小题，每小题7分，共14分．

20. 某地两块试验田中分别栽种了甲、乙两种小麦，为了考察这两种小麦的长势，分别从中随机抽取16株麦苗，测得苗高（单位：cm）如下表．
甲
7
8
10
11
11
12
13
13
14
14
14
14
15
16
16
18
乙
7
10
13
11
18
12
13
13
10
13
13
14
15
16
11
17
将数据整理分析，并绘制成以下不完整的统计表格和频数分布直方图．
苗高分组
甲种小麦的频数
$7 \leq x < 10$
a
$10 \leq x < 13$
b
$13 \leq x < 16$
7
$16 \leq x < 19$
3
甲
乙
平均数
12.875
12.875
众数
14
d
中位数
c
13
方差
8.65
7.85
根据所给出的信息，解决下列问题：

(1)、 $a =$ ， $b =$ ，并补全乙种小麦的频数分布直方图；

(2)、 $c =$ ， $d =$ ；

(3)、甲、乙两种小麦的苗高长势比较整齐的是（填甲或乙）；若从栽种乙种小麦的试验田中随机抽取1200株，试估计苗高在 $10 \leq x < 13$ （单位：cm）的株数．

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21. 某商场购进A ， B两种商品，已知购进3件A商品比购进4件B商品费用多60元；购进5件A商品和2件B商品总费用为620元．

(1)、求A ， B两种商品每件进价各为多少元？

(2)、该商场计划购进A ， B两种商品共60件，且购进B商品的件数不少于A商品件数的2倍．若A商品按每件150元销售，B商品按每件80元销售，为满足销售完A ， B两种商品后获得的总利润不低于1770元，则购进A商品的件数最多为多少？

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五、本大题共2小题，每小题8分，共16分．

22. 如图，海中有一个小岛C ，某渔船在海中的A点测得小岛C位于东北方向上，该渔船由西向东航行一段时间后到达B点，测得小岛C位于北偏西30°方向上，再沿北偏东60°方向继续航行一段时间后到达D点，这时测得小岛C位于北偏西60°方向上．已知A ， C相距30n mile．求C ， D间的距离（计算过程中的数据不取近似值）．

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23. 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数 $y = k x + b$ 与x轴相交于点 $A (- 2, 0)$ ，与反比例函数 $y = \frac{a}{x}$ 的图象相交于点 $B (2, 3)$ ．

(1)、求一次函数和反比例函数的解析式；

(2)、直线 $x = m (m > 2)$ 与反比例函数 $y = \frac{a}{x} (x > 0)$ 和 $y = - \frac{2}{x} (x > 0)$ 的图象分别交于点C ， D ，且 $S_{△ O B C} = 2 S_{△ O C D}$ ，求点C的坐标．

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六、本大题共2个小题，每小题12分，共24分．

24. 如图， $△ A B C$ 是 $⊙ O$ 的内接三角形，AB是 $⊙ O$ 的直径，过点B作 $⊙ O$ 的切线与AC的延长线交于点D ，点E在 $⊙ O$ 上， $A C = C E$ ， CE交AB于点F ．

(1)、求证： $∠ C A E = ∠ D$ ；

(2)、过点C作 $C G ⊥ A B$ 于点G ，若 $O A = 3$ ， $B D = 3 \sqrt{2}$ ，求FG的长．

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25. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3$ 经过点 $A (3, 0)$ ，与y轴交于点B ，且关于直线 $x = 1$ 对称．

(1)、求该抛物线的解析式；

(2)、当 $- 1 \leq x \leq t$ 时，y的取值范围是 $0 \leq y \leq 2 t - 1$ ，求t的值；

(3)、点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线AB于点D ，在y轴上是否存在点E ，使得以B ， C ， D ， E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由．

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甲	7	8	10	11	11	12	13	13	14	14	14	14	15	16	16	18
乙	7	10	13	11	18	12	13	13	10	13	13	14	15	16	11	17

苗高分组	甲种小麦的频数
$7 \leq x < 10$	a
$10 \leq x < 13$	b
$13 \leq x < 16$	7
$16 \leq x < 19$	3

	甲	乙
平均数	12.875	12.875
众数	14	d
中位数	c	13
方差	8.65	7.85

甲	7	8	10	11	11	12	13	13	14	14	14	14	15	16	16	18
乙	7	10	13	11	18	12	13	13	10	13	13	14	15	16	11	17

甲	7	8	10	11	11	12	13	13	14	14	14	14	15	16	16	18
乙	7	10	13	11	18	12	13	13	10	13	13	14	15	16	11	17