江苏省连云港市2024年中考数学试卷

试卷更新日期：2024-06-20 类型：中考真卷

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一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1. $- \frac{1}{2}$ 的相反数是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、-2 D、2

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2. 2024年5月，全国最大的海上光伏项目获批落地连云港，批准用海面积约28000亩，总投资约90亿元．其中数据“28000”用科学记数法可以表示为（）

A、 $28 \times 1 0^{3}$ B、 $2.8 \times 1 0^{4}$ C、 $2.8 \times 1 0^{3}$ D、 $0.28 \times 1 0^{5}$

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3. 下列运算结果等于 $a^{6}$ 的是（）

A、 $a^{3} + a^{3}$ B、 $a \cdot a^{6}$ C、 $a^{8} \div a^{2}$ D、 ${(- a^{2})}^{3}$

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4. 下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（）

A、甲和乙 B、乙和丁 C、甲和丙 D、甲和丁

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5. 如图，将一根木棒的一端固定在 $O$ 点，另一端绑一重物．将此重物拉到 $A$ 点后放开，让此重物由 $A$ 点摆动到 $B$ 点．则此重物移动路径的形状为（）

A、倾斜直线 B、抛物线 C、圆弧 D、水平直线

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6. 下列说法正确的是（）

A、10张票中有1张奖票，10人去摸，先摸的人摸到奖票的概率较大 B、从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，取得偶数的可能性较大 C、小强一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上是随机事件 D、抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为 $\frac{1}{2}$ ，连续抛此硬币2次必有1次正面朝上

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7. 如图，正方形中有一个由若干个长方形组成的对称图案，其中正方形边长是 $80 c m$ ，则图中阴影图形的周长是（）

A、 $440 c m$ B、 $320 c m$ C、 $280 c m$ D、 $160 c m$

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8. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a 、 b 、 c$ 是常数， $a < 0)$ 的顶点为 $(1, 2)$ ．小烨同学得出以下结论：① $a b c < 0$ ；②当 $x > 1$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而减小；
③若 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的一个根为3，则 $a = - \frac{1}{2}$ ；
④拋物线 $y = a x^{2} + 2$ 是由抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的．其中一定正确的是（）

A、①② B、②③ C、③④ D、②④

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二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）

9. 如果公元前 $12 \dot{1}$ 年记作-121年，那么公元2024年应记作年．

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10. 若 $\sqrt{x - 2}$ 在实数范围内有意义，则x的取值范围是．

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11. 如图，直线 $a / / b$ ，直线 $l ⊥ a, ∠ 1 = 12 0^{°}$ ，则 $∠ 2 =$ °.

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12. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - x + c = 0$ 有两个相等的实数根，则 $c$ 的值为．

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13. 杜杆平衡时，“阻力 $\times$ 阻力臂=动力 $\times$ 动力臂”．已知阻力和阻力臂分别为 $1600 N$ 和 $0.5 m$ ，动力为 $F (N)$ ，动力臂为 $l (m)$ ．则动力 $F$ 关于动力臂 $l$ 的函数表达式为．

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14. 如图，AB是圆的直径， $∠ 1 、 ∠ 2 、 ∠ 3 、 ∠ 4$ 的顶点均在AB上方的圆弧上， $∠ 1 、 ∠ 4$ 的一边分别经过点A、B，则 $∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 + ∠ 4 =$ .

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15. 如图，将一张矩形纸片ABCD上下对折，使之完全重合，打开后，得到折痕EF，连接BF．再将矩形纸片折叠，使点 $B$ 落在BF上的点 $H$ 处，折痕为AG．若点 $G$ 恰好为线段BC最靠近点 $B$ 的一个五等分点， $A B = 4$ ，则BC的长为．

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16. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 9 0^{°}, ∠ B = 3 0^{°}, A C = 2$ ．点 $P$ 在边AC上，过点 $P$ 作 $P D ⊥ A B$ ，垂足为 $D$ ，过点 $D$ 作 $D F ⊥ B C$ ，垂足为 $F$ ．连接PF，取PF的中点 $E$ ．在点 $P$ 从点 $A$ 到点 $C$ 的运动过程中，点 $E$ 所经过的路径长为.

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三、解答题（本大题共11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步䯅，作图过程需保留作图痕迹）

17. 计算 $| - 2 | + (π - 1)^{0} - \sqrt{16}$ ．

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18. 解不等式 $\frac{x - 1}{2} < x + 1$ ，并把解集在数轴上表示出来．

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19. 下面是某同学计算 $\frac{1}{m - 1} - \frac{2}{m^{2} - 1}$ 的解题过程：
解： $\frac{1}{m - 1} - \frac{2}{m^{2} - 1} = \frac{m + 1}{(m + 1) (m - 1)} - \frac{2}{(m + 1) (m - 1)}$
$= (m + 1) - 2$
$= m - 1$
上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出完整的正确解题过程.

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20. 如图，AB与CD相交于点 $E, E C = E D, A C / / B D$ ．

(1)、求证： $△ A E C ≅ △ B E D$ ；

(2)、用无刻度的直尺和圆规作图：求作菱形DMCN，使得点 $M$ 在AC上，点 $N$ 在BD上.（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）

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21. 为了解七年级男生体能情况，某校随机抽取了七年级20名男生进行体能测试，并对测试成绩(单位：分)进行了统计分析：
【收集数据】
$\begin{array}{l} 100 & 94 & 88 & 88 & 52 & 79 & 83 & 64 & 83 & 87 \\ 76 & 89 & 91 & 68 & 77 & 97 & 72 & 83 & 96 & 73 \end{array}$
【整理数据】
该校规定 $x \leq 59$ 为不合格， $59 < x ⩽ 75$ 为合格， $75 < x ⩽ 89$ 为良好， $89 < x ⩽ 100$ 为优秀．（成绩用 $x$ 表示）
等次
频数（人数）
频率
不合格
1
0.05
合格
a
0.20
良好
10
0.50
优秀
5
b
合计
20
1.00
【分析数据】
此组数据的平均数是82，众数是83，中位数是 $c$ ；
【解决问题】

(1)、填空： $a =$ ， $b =$ ， $c =$ ；

(2)、若该校七年级共有300名男生，估计体能测试能达到优秀的男生约有多少人?

(3)、根据上述统计分析情况，写一条你的看法．

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22. 数学文化节猜谜游戏中，有四张大小、形状、质地都相同的字谜卡片，分别记作字谜 $A$ 、字谜 $B$ 、字谜 $C$ 、字谜 $D$ ，其中字谜 $A$ 、字谜 $B$ 是猜“数学名词”，字谜 $C$ 、字谜 $D$ 是猜“数学家人名”．

(1)、若小军从中随机抽取一张字谜卡片，则小军抽取的字谜是猜“数学名词”的概率是；

(2)、若小军一次从中随机抽取两张字谜卡片，请用画树状图或列表的方法求小军抽取的字谜均是猜“数学家人名”的概率．

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23. 我市将5月21日设立为连云港市“人才日”，以最大诚意礼遇人才，让人才与城市“双向奔赴”．活动主办方分两次共邮购了200把绘有西游文化的折扇作为当天一项活动的纪念品．折扇单价为8元，其中邮费和优惠方式如下表所示：
邮购数量
1~99
100以上（含100）
邮寄费用
总价的10%
免费邮寄
折扇价格
不优惠
打九折
若两次邮购折扇共花费1504元，求两次邮购的折扇各多少把？

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24. 如图1，在平面直角坐标系xOy中，一次函数 $y = k x + 1 (k \neq 0)$ 的图像与反比例函数 $y = \frac{6}{x}$ 的图像交于点A、B，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $A$ 的横坐标为2．

(1)、求 $k$ 的值；

(2)、利用图像直接写出 $k x + 1 < \frac{6}{x}$ 时 $x$ 的取值范围；

(3)、如图2，将直线AB沿 $y$ 轴向下平移4个单位，与函数 $y = \frac{6}{x} (x > 0)$ 的图像交于点 $D$ ，与 $y$ 轴交于点 $E$ ，再将函数 $y = \frac{6}{x} (x > 0)$ 的图像沿AB平移，使点A、D分别平移到点C、F处，求图中阴影部分的面积.

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25. 图1是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研究.数学兴趣小组也类比进行了如下探究：如图2，正八边形游乐城 $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5} A_{6} A_{7} A_{8}$ ，的边长为长 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $k m$ ，南门 $O$ 设立在 $A_{6} A_{7}$ 边的正中央，游乐城南侧有一条东西走向的道路 $B M, A_{6} A_{7}$ 在BM上（门宽及门与道路间距离忽略不计），东侧有一条南北走向的道路BC，C处有一座雕塑．在 $A_{1}$ 处测得雕塑在北偏东 $4 5^{°}$ 方向上，在 $A_{2}$ 处测得雕塑在北偏东 $5 9^{°}$ 方向上．

(1)、 $∠ C A_{1} A_{2} =$ $°, ∠ C A_{2} A_{1} =$ $°$ ；

(2)、求点 $A_{1}$ 到道路BC的距离；

(3)、若该小组成员小李出南门O后沿道路MB向东行走，求她离 $B$ 处不超过多少千米，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响?
（结果精确到 $0.1 k m$ ，参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.41, s i n 7 6^{°} \approx 0.97, t a n 7 6^{°} \approx 4.00, s i n 5 9^{°} \approx 0.86, t a n 5 9^{°} \approx 1.66$ ）

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26. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x - 1 (a 、 b$ 为常数， $a > 0)$ ．

(1)、若抛物线与 $x$ 轴交于 $A (- 1, 0) 、 B (4, 0)$ 两点，求抛物线对应的函数表达式；

(2)、如图，当 $b = 1$ 时，过点 $C (- 1, a) 、 D (1, a + 2 \sqrt{2})$ 分别作 $y$ 轴的平行线，交抛物线于点M、N，连接MN、MD．求证：MD平分 $∠ C M N$ ；

(3)、当 $a = 1, b ⩽ - 2$ 时，过直线 $y = x - 1 (1 ⩽ x ⩽ 3)$ 上一点 $G$ 作 $y$ 轴的平行线，交抛物线于点 $H$ ．若GH的最大值为4，求 $b$ 的值．

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27.

(1)、【问题情境】
如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍?小昕将小正方形绕圆心旋转 $4 5^{°}$ （如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略；

(2)、【操作实践】
如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边a、b、c、d之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点 $P$ 为端点的四条线段之间的数量关系；

(3)、【探究应用】
如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将 $△ P D C$ 绕点 $P$ 逆时针旋转，他发现旋转过程中 $∠ D A P$ 存在最大值．若 $P E = 8, P F = 5$ ，当 $∠ D A P$ 最大时，求AD的长；

(4)、如图6，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 9 0^{°}$ ，点D、E分别在边AC和BC上，连接DE、AE、BD．若 $A C +$ $C D = 5, B C + C E = 8$ ，求 $A E + B D$ 的最小值．

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等次	频数（人数）	频率
不合格	1	0.05
合格	a	0.20
良好	10	0.50
优秀	5	b
合计	20	1.00

邮购数量	1~99	100以上（含100）
邮寄费用	总价的10%	免费邮寄
折扇价格	不优惠	打九折