四川省成都市2024年中考数学试卷

试卷更新日期：2024-06-20 类型：中考真卷

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一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）

1. $- 5$ 的绝对值是（）

A、5 B、 $- 5$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $- \frac{1}{5}$

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2. 如图所示的几何体是由5个大小相同的小立方块搭成，它的主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列计算正确的是（）

A、 ${(3 x)}^{2} = 3 x^{2}$ B、 $3 x + 3 y = 6 x y$ C、 ${(x + y)}^{2} = x^{2} + y^{2}$ D、 $(x + 2) (x - 2) = x^{2} - 4$

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4. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $P (1, - 4)$ 关于原点对称的点的坐标是（）

A、 $(- 1, - 4)$ B、 $(- 1, 4)$ C、 $(1, 4)$ D、 $(1, - 4)$

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5. 为深入贯彻落实《中共中央、国务院关于学习运用“千村示范、万村整治”工程经验有力有效推进乡村全面振兴的意见》精神，某镇组织开展“村BA”、村超、村晚等群众文化赛事活动，其中参赛的六个村得分分别为：55，64，51，50，61，55，则这组数据的中位数是（）

A、53 B、55 C、58 D、64

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6. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$ ，则下列结论一定正确的是（）

A、 $A B = A D$ B、 $A C ⊥ B D$ C、 $A C = B D$ D、 $∠ A C B = ∠ A C D$

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7. 中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三.问人数，琎价各几何？其大意是：今有人合伙买琎石，每人出 $\frac{1}{2}$ 钱，会多出4钱；每人出 $\frac{1}{3}$ 钱，又差了3钱.问人数，琎价各是多少？设人数为 $x$ ，琎价为 $y$ ，则可列方程组为（）

A、 ${\begin{array}{l} y = \frac{1}{2} x + 4, \\ y = \frac{1}{3} x + 3 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} y = \frac{1}{2} x - 4, \\ y = \frac{1}{3} x + 3 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} y = \frac{1}{2} x - 4, \\ y = \frac{1}{3} x - 3 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} y = \frac{1}{2} x + 4, \\ y = \frac{1}{3} x - 3 \end{array}$

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8. 如图，在 $□ A B C D$ 中，按以下步骤作图：①以点 $B$ 为圆心，以适当长为半径作弧，分别交 $B A$ ， $B C$ 于点 $M$ ， $N$ ；②分别以 $M$ ， $N$ 为圆心，以大于 $\frac{1}{2} M N$ 的长为半径作弧，两弧在 $∠ A B C$ 内交于点 $O$ ；③作射线 $B O$ ，交 $A D$ 于点 $E$ ，交 $C D$ 延长线于点 $F$ .若 $C D = 3$ ， $D E = 2$ ，下列结论错误的是（）

A、 $∠ A B E = ∠ C B E$ B、 $B C = 5$ C、 $D E = D F$ D、 $\frac{B E}{E F} = \frac{5}{3}$

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二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）

9. 若 $m$ ， $n$ 为实数，且 ${(m + 4)}^{2} + \sqrt{n - 5} = 0$ ，则 ${(m + n)}^{2}$ 的值为.

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10. 分式方程 $\frac{1}{x - 2} = \frac{3}{x}$ 的解是．

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11. 如图，在扇形 $A O B$ 中， $O A = 6$ ， $∠ A O B = 120 °$ ，则 $\overset{⌢}{A B}$ 的长为.

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12. 盒中有 $x$ 枚黑棋和 $y$ 枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别.从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是 $\frac{3}{8}$ ，则 $\frac{x}{y}$ 的值为.

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13. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知 $A (3, 0)$ ， $B (0, 2)$ ，过点 $B$ 作 $y$ 轴的垂线 $l$ ， $P$ 为直线 $l$ 上一动点，连接 $P O$ ， $P A$ ，则 $P O + P A$ 的最小值为.

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三、解答题（本大题共5个小题，共48分）

14.

(1)、计算： $\sqrt{16} + 2 s i n 60 ° - {(π - 2024)}^{0} + | \sqrt{3} - 2 |$ .

(2)、解不等式组： ${\begin{array}{l} 2 x + 3 \geq - 1, ① \\ \frac{x - 1}{2} - 1 < \frac{x}{3} . ② \end{array}$

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15. 2024年成都世界园艺博览会以“公园城市美好人居”为主题，秉持“绿色低碳、节约持续、共享包容”的理念，以园艺为媒介，向世界人民传递绿色发展理念和诗意栖居的美好生活场景.在主会场有多条游园线路，某单位准备组织全体员工前往参观，每位员工从其中四条线路（国风古韵观赏线、世界公园打卡线、亲子互动慢游线、园艺小清新线）中选择一条.现随机选取部分员工进行了“线路选择意愿”的摸底调查，并根据调查结果绘制成如下统计图表.

游园线路
人数
国风古韵观赏线
44
世界公园打卡线
$x$
亲子互动慢游线
48
园艺小清新线
$y$
根据图表信息，解答下列问题：

(1)、本次调查的员工共有人，表中 $x$ 的值为：

(2)、在扇形统计图中，求“国风古韵观赏线”对应的圆心角度数；

(3)、若该单位共有2200人，请你根据调查结果，估计选择“园艺小清新线”的员工人数.

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16. 中国古代运用“土圭之法”判别四季.夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数.某地学生运用此法进行实践探索，如图，在示意图中，产生日影的杆子 $A B$ 垂直于地面， $A B$ 长8尺.在夏至时，杆子 $A B$ 在太阳光线 $A C$ 照射下产生的日影为 $B C$ ；在冬至时，杆子 $A B$ 在太阳光线 $A D$ 照射下产生的日影为 $B D$ .已知 $∠ A C B = 73.4 °$ ， $∠ A D B = 26.6 °$ ，求春分和秋分时日影长度.（结果精确到0.1尺；参考数据： $s i n 26.6 ° \approx 0.45$ ， $c o s 26.6 ° \approx 0.89$ ， $t a n 26.6 ° \approx 0.50$ ， $s i n 73.4 ° \approx 0.96$ ， $c o s 73.4 ° \approx 0.29$ ， $t a n 73.4 ° \approx 3.35$ ）

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17. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $D$ 为斜边 $A B$ 上一点，以 $B D$ 为直径作 $⊙ O$ ，交 $A C$ 于 $E$ ， $F$ 两点，连接 $B E$ ， $B F$ ， $D F$ .

(1)、求证： $B C \cdot D F = B F \cdot C E$ ；

(2)、若 $∠ A = ∠ C B F$ ， $t a n ∠ B F C = \sqrt{5}$ ， $A F = 4 \sqrt{5}$ ，求 $C F$ 的长和 $⊙ O$ 的直径.

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18. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $y = - x + m$ 与直线 $y = 2 x$ 相交于点 $A (2, a)$ ，与 $x$ 轴交于点 $B (b, 0)$ ，点 $C$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k < 0)$ 图象上.

(1)、求 $a$ ， $b$ ， $m$ 的值；

(2)、若 $O$ ， $A$ ， $B$ ， $C$ 为顶点的四边形为平行四边形，求点 $C$ 的坐标和 $k$ 的值；

(3)、过 $A$ ， $C$ 两点的直线与 $x$ 轴负半轴交于点 $D$ ，点 $E$ 与点 $D$ 关于 $y$ 轴对称.若有且只有一点 $C$ ，使得 $△ A B D$ 与 $△ A B E$ 相似，求 $k$ 的值.

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	游园线路	人数
国风古韵观赏线	44
世界公园打卡线	$x$
亲子互动慢游线	48
园艺小清新线	$y$

四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）

19. 如图， $△ A B C ≌ △ C D E$ ，若 $∠ D = 35 °$ ， $∠ A C B = 45 °$ ，则 $∠ D C E$ 的度数为.

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20. 若 $m$ ， $n$ 是一元二次方程 $x^{2} - 5 x + 2 = 0$ 的两个实数根，则 $m + {(n - 2)}^{2}$ 的值为.

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21. 在综合实践活动中，数学兴趣小组对 $1 \sim n$ 这 $n$ 个自然数中，任取两数之和大于 $n$ 的取法种数 $k$ 进行了探究.发现：当 $n = 2$ 时，只有 ${1, 2}$ 一种取法，即 $k = 1$ ；当 $n = 3$ 时，有 ${1, 3}$ 和 ${2, 3}$ 两种取法，即 $k = 2$ ；当 $n = 4$ 时，可得 $k = 4$ ；…….若 $n = 6$ ，则 $k$ 的值为；若 $n = 24$ ，则 $k$ 的值为.

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22. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A D$ 是 $△ A B C$ 的一条角平分线， $E$ 为 $A D$ 中点，连接 $B E$ .若 $B E = B C$ ， $C D = 2$ ，则 $B D =$ .

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23. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ ， $C (x_{3}, y_{3})$ 是二次函数 $y = - x^{2} + 4 x - 1$ 图象上三点.若 $0 < x_{1} < 1$ ， $x_{2} > 4$ ，则 $y_{1}$ $y_{2}$ （填“ $>$ ”或“ $<$ ”）；若对于 $m < x_{1} < m + 1$ ， $m + 1 < x_{2} < m + 2$ ， $m + 2 < x_{3} < m + 3$ ，存在 $y_{1} < y_{3} < y_{2}$ ，则 $m$ 的取值范围是.

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五、解答题（本大题共3个小题，共30分）

24. 推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴.某合作社着力发展乡村水果网络销售，在水果收获的季节，该合作社用17500元从农户处购进A ， B两种水果共 $1500 k g$ 进行销售，其中A种水果收购单价10元/kg，B种水果收购单价15元/kg.

(1)、求A ， B两种水果各购进多少千克；

(2)、已知A种水果运输和仓储过程中质量损失 $4 %$ ，若合作社计划A种水果至少要获得 $20 %$ 的利润，不计其他费用，求A种水果的最低销售单价.

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25. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $L$ ： $y = a x^{2} - 2 a x - 3 a (a > 0)$ 与 $x$ 轴交于A ， B两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），其顶点为 $C$ ， $D$ 是抛物线第四象限上一点.

(1)、求线段 $A B$ 的长；

(2)、当 $a = 1$ 时，若 $△ A C D$ 的面积与 $△ A B D$ 的面积相等，求 $t a n ∠ A B D$ 的值；

(3)、延长 $C D$ 交 $x$ 轴于点 $E$ ，当 $A D = D E$ 时，将 $△ A D B$ 沿 $D E$ 方向平移得到 $△ A^{'} E B^{'}$ .将抛物线 $L$ 平移得到抛物线 $L^{'}$ ，使得点 $A^{'}$ ， $B^{'}$ 都落在抛物线 $L^{'}$ 上.试判断抛物线 $L^{'}$ 与 $L$ 是否交于某个定点.若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由.

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26. 数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质.已知三角形纸片 $A B C$ 和 $A D E$ 中， $A B = A D = 3$ ， $B C = D E = 4$ ， $∠ A B C = ∠ A D E = 90 °$ .

(1)、【初步感知】
如图1，连接 $B D$ ， $C E$ ，在纸片 $A D E$ 绕点 $A$ 旋转过程中，试探究 $\frac{B D}{C E}$ 的值.

(2)、【深入探究】
如图2，在纸片 $A D E$ 绕点 $A$ 旋转过程中，当点 $D$ 恰好落在 $△ A B C$ 的中线 $B M$ 的延长线上时，延长 $E D$ 交 $A C$ 于点 $F$ ，求 $C F$ 的长.

(3)、【拓展延伸】
在纸片 $A D E$ 绕点 $A$ 旋转过程中，试探究 $C$ ， $D$ ， $E$ 三点能否构成直角三角形.若能，直接写出所有直角三角形 $C D E$ 的面积；若不能，请说明理由.

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