四川省广安市2024年中考数学试卷

试卷更新日期：2024-06-20 类型：中考真卷

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一、选择题（每小题只有一个选项符合题意，请将所选选项填涂在答题卡相应位置上．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）

1. 下列各数最大的是（）

A、-2 B、 $- \frac{1}{2}$ C、0 D、1

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2. 下列对代数式 $- 3 x$ 的意义表述正确的是（）

A、-3与 $x$ 的和 B、-3与 $x$ 的差 C、-3与 $x$ 的积 D、-3与 $x$ 的商

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3. 下列运算中，正确的是（）

A、 $a^{2} + a^{3} = a^{5}$ B、 ${(- 2 a^{2})}^{3} = - 8 a^{6}$ C、 $(a - 1)^{2} = a^{2} - 1$ D、 $a^{8} \div a^{4} = a^{2}$

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4. 将“共建平安校园”六个汉字分别写在某正方体的表面上，下图是它的一种展开图，则在原正方体上，与“共”字所在面相对的面上的汉字是（）

A、校 B、安 C、平 D、园

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5. 如图，在 $△ A B C$ 中，点D，E分别是AC，BC的中点，若 $∠ A = 4 5^{°}, ∠ C E D = 7 0^{°}$ ，则 $∠ C$ 的度数为（）

A、 $4 5^{°}$ B、 $5 0^{°}$ C、 $6 0^{°}$ D、 $6 5^{°}$

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6. 下列说法正确的是（）

A、将580000用科学记数法表示为： $5.8 \times 1 0^{4}$ B、在8，6，3，5，8，8这组数据中，中位数和众数都是8 C、甲乙两组同学参加“环保知识竞赛”，若甲乙两组同学的平均成绩相同，甲组同学成绩的方差 $S_{甲}^{2} = 1.2$ ，乙组同学成绩的方差 $S_{乙}^{2} = 0.05$ ，则甲组同学的成绩较稳定 D、“五边形的内角和是 $54 0^{°}$ ”是必然事件

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7. 关于 $x$ 的一元一次方程 $(m + 1) x^{2} - 2 x + 1 = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $m < 0$ 且 $m \neq - 1$ B、 $m ⩾ 0$ C、 $m ⩽ 0$ 且 $m \neq - 1$ D、 $m < 0$

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8. 向如图所示的空容器内匀速注水，从水刚接触底部时开始计时，直至把容器注满．在注水过程中，设容器内底部所受水的压强为 $y$ （单位：帕），时间为 $x$ （单位：秒），则 $y$ 关于 $x$ 的函数图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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9. 如图，在等腰三角形ABC中， $A B = A C = 10, ∠ C = 7 0^{°}$ ，以AB为直径作半圆，与AC，BC分别相交于点D，E，则 $\overset{⌢}{D E}$ 的长度为（）

A、 $\frac{π}{9}$ B、 $\frac{5 π}{9}$ C、 $\frac{10 π}{9}$ D、 $\frac{25 π}{9}$

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10. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a, b, c$ 为常数， $a \neq 0)$ 的图象与 $x$ 轴交于点 $A (- \frac{3}{2}, 0)$ ，对称轴是直线 $x = - \frac{1}{2}$ ，有以下结论：① $a b c < 0$ ；②和点 $(- 1, y_{1})$ 和点 $(2, y_{2})$ 都在拋物线上，则 $y_{1} < y_{2}$ ；③ $a m^{2} + b m ⩽ \frac{1}{4} a - \frac{1}{2} b (m$ 为任意实数）；④ $3 a + 4 c = 0$ ．其中正确的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题（请把最简答案填写在答题卡相应位置．本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11. $3 - \sqrt{9} =$ ．

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12. 分解因式： $a^{3} - 9 a =$ ．

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13. 若 $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ ，则 $2 x^{2} - 4 x + 1 =$ ．

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14. 如图，直线 $y = 2 x + 2$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别相交于点A，B，将 $△ A O B$ 绕点 $A$ 逆时针方向旋转 $9 0^{°}$ 得到 $△ A C D$ ，则点 $D$ 的坐标为．

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15. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $A B = 4, A D = 5, ∠ A B C = 3 0^{°}$ ，点 $M$ 为直线BC上一动点，则 $M A + M D$ 的最小值为．

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16. 已知，直线 $l : y = \frac{\sqrt{3}}{3} x - \frac{\sqrt{3}}{3}$ 与 $x$ 轴相交于点 $A_{1}$ ，以 $O A_{1}$ 为边作等边三角形 $O A_{1} B_{1}$ ，点 $B_{1}$ 在第一象限内，过点 $B_{1}$ 作 $x$ 轴的平行线．直线 $l$ 交于点 $A_{2}$ ，与 $y$ 轴交于点 $C_{1}$ ，以 $C_{1} A_{2}$ 为边作等边三角形 $C_{1} A_{2} B_{2}$ （点 $B_{2}$ 在点 $B_{1}$ 的上方），以同样的方式依次作等边三角形 $C_{2} A_{3} B_{3}$ ，等边三角形 $C_{3} A_{4} B_{4} ⋯$ ，则点 $A_{2024}$ 的横坐标为．

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三、解答题（本大题共4个小题，第17小题5分，第18、19、20小题各6分，共23分)

17. 计算： ${(\frac{π}{2} - 3)}^{0} + 2 s i n 6 0^{°} + | \sqrt{3} - 2 | - {(\frac{1}{2})}^{- 1}$ .

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18. 先化简 $(a + 1 - \frac{3}{a - 1}) \div \frac{a^{2} + 4 a + 4}{a - 1}$ ，再从 $- 2, 0, 1, 2$ 中选取一个适合的数代入求值．

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19. 如图，菱形ABCD中，点E，F分别是AB，BC近上的点， $B E = B F$ ，求证： $∠ D E F = ∠ D F E$ ．

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20. 如图，一次函数 $y = a x + b (a, b$ 为常数， $a \neq 0)$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k$ 为常数， $k \neq 0)$ 的图象交于 $A (2, 4), B (n, - 2)$ 两点．

(1)、求一次函数和反比例函数的解析式．

(2)、直线AB与 $x$ 轴交于点 $C$ ，点 $P (m, 0)$ 是 $x$ 轴上的点，若 $△ P A C$ 的面积大于12，请直接写出 $m$ 的取值范围．

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四、实践应用题（本大题共4个小题，第21小题6分，第22、23、24小题各8分，共30分)

21. 睡眠管理作为“五项管理”中的重要内容之一，也是学校教育重点关注的内容.某校为了解学生平均每天睡眠时间，随机抽取该校部分学生进行问卷调查，并将结果进行了统计和整理，绘制成如下统计表和不完整的统计图.
学生类别
学生平均每天睡眠时间x(单位：小时)
A
$7 ⩽ x < 7.5$
B
$7.5 ⩽ x < 8$
C
$8 ⩽ x < 8.5$
D
$8.5 ⩽ x < 9$
E
$x ⩾ 9$

(1)、本次抽取调查的学生共有人，扇形统计图中表示C类学生平均每天睡眠时间的扇形的圆心角度数为.

(2)、请补全条形统计图．

(3)、被抽取调查的E类4名学生中有2名女生，2名男生．从这4人中随机抽取2人进行电话回访，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到2名男生的概率.

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22. 某小区物管中心计划采购A，B两种花卉用于美化环境．已知购买2株 $A$ 种花卉和3株 $B$ 种花卉共需要21元；购买4株A种花卉和5株B种花卉共需要37元．

(1)、求 $A, B$ 两种花卉的单㜾．

(2)、该物管中心计划采购 $A, B$ 两种花卉共计10000株，其中采购 $A$ 种花卉的株数不超过B种花卉株数的4倍，当A，B两种花卉分别采购多少株时，总费用最少?并求出最少总费用．

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23. 风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在某地安装了一批风力发机，如图（1）．某校实践活动小组对其中一架风力发机的塔杆高度进行了测量，图（2）为测量示意图（点A，B，C，D㘬在同一平面内， $A B ⊥ B C)$ ．已知斜坡CD长为20米，斜坡CD的坡角为 $6 0^{°}$ ，位斜坡顶部 $D$ 处测得风力发电机塔杆顶端 $A$ 点的仰角为 $2 0^{°}$ ，坡底与塔杆底的距离 $B C = 30$ 米，求该风力发电机塔杆AB的高度．
（结果精确到个位；参考数据： $s i n 2 0^{°} \approx 0.34, c o s 2 0^{°} \approx 0.94, t a n 2 0^{°} \approx 0.36, \sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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24. 如图，矩形纸片的长为4，宽为3，矩形内已用虚线画出网格线，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，现沿着网格线对矩形纸片进行剪裁，使其分成两块纸片．请在下列备用图中，用实线画出符合相应要求的剪裁线．
注：①剪裁过程中，在格点处剪裁方向可发生改变但仍须沿着网格线剪裁；
②在各种新法中，若剪裁线通过旋转、平移或翻折后能完全重合则视为同一情况．

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五、推理论证题（9分）

25. 如图，点 $C$ 在以AB为直径的 $⊙ O$ 上，点 $D$ 在BA的延长线上， $∠ D C A = ∠ C B A$ ．

(1)、求证：DC是 $⊙ O$ 的切线．

(2)、点 $G$ 是半径OB上的点，过点 $G$ 作OB的垂线与BC交于点 $F$ ，与DC的延长线交于点 $E$ ，若 $s i n D = \frac{4}{5}, D A = F G = 2$ ，求CE的长.

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六、拓展探究题（10分）

26. 如图，抛物线 $y = - \frac{2}{3} x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于A，B两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $A$ 坐标为 $(- 1, 0)$ ，点 $B$ 坐标为 $(3, 0)$ ．

(1)、求此抛物线的函数解析式．

(2)、点 $P$ 是直线BC上方抛物线上一个动点，过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线交直线BC于点 $D$ ，过点 $P$ 作 $y$ 轴的垂线，垂足为点 $E$ ，请探究 $2 P D + P E$ 是含有最大值?若有最大值，求出最大值及此时 $P$ 点的坐标；若没有最大值，请说明理由．

(3)、点 $M$ 为该拋物线上的点，当 $∠ M C B = 4 5^{°}$ 的，请直接写出所有满足条件的点 $M$ 的坐标．

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学生类别	学生平均每天睡眠时间x(单位：小时)
A	$7 ⩽ x < 7.5$
B	$7.5 ⩽ x < 8$
C	$8 ⩽ x < 8.5$
D	$8.5 ⩽ x < 9$
E	$x ⩾ 9$