山东省日照市莒县第二中学2023-2024学年高三下学期5月月考数学试卷

试卷更新日期：2024-06-20 类型：月考试卷

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一、选择题

1. 命题“ $\exists x \leq 0$ ， $2 x^{2} < 5 x - 1$ ”的否定是( )

A、 $\forall x > 0$ ， $2 x^{2} < 5 x - 1$ B、 $\exists x > 0$ ， $2 x^{2} \geq 5 x - 1$ C、 $\forall x \leq 0$ ， $2 x^{2} \geq 5 x - 1$ D、 $\exists x \leq 0$ ， $2 x^{2} > 5 x - 1$

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2. 已知复数 $z = \frac{- 2 + i}{1 - 2 i}$ （i为虚数单位），则 $| z | =$ ( )

A、1 B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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3. 若关于x的不等式 $| x + 1 | < a$ 成立的充分条件是 $0 < x < 4$ ，则实数a的取值范围是( )

A、 $a \leq - 1$ B、 $a > 5$ C、 $a < - 1$ D、 $a \geq 5$

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4. 如图是摩天轮的示意图，已知摩天轮半径为40米，摩天轮中心O到地面的距离为41米，每30分钟按逆时针方向转动1圈.若初始位置 $P_{0}$ 是从距地面21米时开始计算时间，以摩天轮的圆心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系 $x O y$ .设从点 $P_{0}$ 运动到点P时所经过的时间为t（单位：分钟），且此时点P距离地面的高度为h（单位：米），则h是关于t的函数.当 $t \in R$ 时， $h (t) =$ ( )

A、 $40 s i n (\frac{π}{15} t - \frac{π}{6}) + 41$ B、 $40 s i n (\frac{π}{30} t - \frac{π}{6}) + 41$ C、 $40 s i n (\frac{π}{15} t - \frac{π}{6}) - 41$ D、 $40 s i n (\frac{π}{30} t - \frac{π}{6}) - 41$

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5. 扇形 $A O B$ 的半径为1， $∠ A O B = 120 °$ ，点C在弧 $A B$ 上运动，则 $\vec{C A} \cdot \vec{C B}$ 的最小值为( )

A、 $- \frac{1}{2}$ B、0 C、 $- \frac{3}{2}$ D、-1

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6. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是双曲线 $Γ$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点，O为坐标原点，过 $F_{1}$ 的直线分别交双曲线左、右两支于A ， B两点，点C在x轴上， $\vec{C B} = 4 \vec{F_{2} A}$ ， $B F_{2}$ 平分 $∠ F_{1} B C$ ， $A B$ 与其中一条渐近线交于点P ，则 $| c o s ∠ P O F_{1} | =$ ( )

A、 $\frac{2 \sqrt{22}}{11}$ B、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{33}}{11}$

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7. 我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童.如图池盆几何体是一个刍童，其中上，下底面均为正方形，且边长分别为8和4，侧面是全等的等腰梯形，且梯形的高为 $2 \sqrt{5}$ ，则该盆中最多能装的水的体积为( )

A、 $\frac{224 \sqrt{5}}{3}$ B、 $\frac{448}{3}$ C、 $224 \sqrt{5}$ D、448

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8. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{x} - a x$ ， $x \in (0, + \infty)$ ，当 $x_{1} < x_{2}$ 时，不等式 $\frac{f (x_{1})}{x_{2}} < \frac{f (x_{2})}{x_{1}}$ 恒成立，则实数a的取值范围为( )

A、 $(0, \frac{e}{3}]$ B、 $(2, e)$ C、 $(- \infty, \frac{e}{2}]$ D、 $(- \infty, e)$

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二、多项选择题

9. 已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} c o s^{2} x + 2 s i n x c o s x$ ，则下列说法正确的是( )

A、函数 $f (x)$ 的一个周期为 $2 π$ B、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{3}, 0)$ 对称 C、将函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $φ (φ > 0)$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象，若函数 $g (x)$ 为偶函数，则 $φ$ 的最小值为 $\frac{5 π}{12}$ D、若 $f (\frac{1}{2} α - \frac{5 π}{24}) - \sqrt{3} = \frac{1}{2}$ ，其中 $α$ 为锐角，则 $s i n α - c o s α$ 的值为 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{30}}{8}$

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10. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2$ ， E ， F ， G ， H ， I均为所在棱的中点， $P$ 是正方体表面上的动点，则下列说法正确的是( )

A、 $H I / /$ 平面 $E F G$ B、三棱锥 $A_{1} - E F G$ 的体积为 $\frac{1}{2}$ C、过E ， F ， G三点的平面截正方体所得截面的面积为 $3 \sqrt{3}$ D、若 $A P = 2$ ，则点P的轨迹长度为 $3 π$

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11. 已知点P是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{8} = 1 (a > 2 \sqrt{2})$ 上的一点，经过原点O的直线 $l : y = k x$ 与椭圆C交于A ， B两点（不同于左、右顶点），且 $A P ⊥ A B$ ，直线 $P B$ 与x轴交于点M ， $A M$ 与x轴垂直，则下列说法正确的是( )

A、记直线 $B M$ 的斜率为 $k_{1}$ ，则 $k_{1} = \frac{k}{2}$ B、 $a = 4$ C、 $△ A B M$ 面积的最大值为 $4 \sqrt{2}$ D、若F是椭圆C的左焦点，则 $\frac{49}{| A F |} + \frac{1}{| B F |}$ 的最小值为8

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三、填空题

12. 已知函数 $f (x)$ 在R上连续且存在导函数 $f^{'} (x)$ ，对任意实数x满足 $f (2 - x) = f (x) + 2 x - 2$ ，当 $x \in (1, + \infty)$ 时， $f^{'} (x) > - 1$ .若 $f (a + 1) \geq f (a) - 1$ ，则a的取值范围是.

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13. 十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”，意大利数学家托里拆利给出了解答，当 $△ A B C$ 的三个内角均小于 $120 °$ 时，使得 $∠ A O B = ∠ B O C = ∠ C O A = 120 °$ 的点O即为费马点；当 $△ A B C$ 有一个内角大于或等于 $120 °$ 时，最大内角的顶点为费马点.已知a ， b ， c分别是 $△ A B C$ 三个内角A ， B ， C的对边，且 $c o s^{2} \frac{A}{2} = \frac{b + c}{2 c}$ ，若点P为 $△ A B C$ 的费马点， $| P B | + | P A | = t | P C |$ ，则实数t的取值范围为.

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四、双空题

14. 在边长为4的正方形ABCD中，如图甲所示，E ， F ， M分别为BC ， CD ， BE的中点，分别沿AE ， AF及EF所在直线把 $△ A E B$ ， $△ A F E$ 和 $△ E F C$ 折起，使B ， C ， D三点重合于点P ，得到三棱锥 $P - A E F$ ，如图乙所示，则三棱锥 $P - A E F$ 外接球的体积是；过点M的平面截三棱锥 $P - A E F$ 外接球所得截面的面积的取值范围是.

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五、解答题

15. 几何体ABCDEF中，平面ADE、平面BCF和平面ACFE均与平面ABCD垂直，且 $A B = A E = 1$ ， $A D = D C = C F = 2$ ， $A B / / C D$ ， $A B ⊥ A D$ .

(1)、证明： $A E / / C F$ ；

(2)、求四棱锥 $E - A B C D$ 与四棱锥 $F - A B C D$ 公共部分的体积.

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16. 如图，在 $△ A B C$ 中， $| \vec{A B} | = | \vec{A C} | = 4$ ， $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 8$ ， $\vec{B D} = \frac{3}{4} \vec{B C}$ ， $\vec{A E} = λ \vec{A D} (0 < λ < 1)$ .

(1)、证明： $△ A B C$ 为等边三角形.

(2)、试问当 $λ$ 为何值时， $\vec{A E} \cdot \vec{B E}$ 取得最小值？并求出最小值.

(3)、求 $\frac{| \vec{B E} |^{2}}{| \vec{E D} |} + \frac{6}{13} | \vec{A D} |$ 的取值范围.

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17. 已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 过点 $(1, p)$ ，直线l与该抛物线C相交于M ， N两点，过点M作x轴的垂线，与直线 $y = - x$ 交于点G ，点M关于点G的对称点为P ，且O ， N ， P三点共线.

(1)、求抛物线C的方程；

(2)、若过点 $Q (2, 0)$ 作 $Q H ⊥ l$ ，垂足为H（不与点Q重合），是否存在定点T ，使得 $| H T |$ 为定值？若存在，求出该定点和该定值；若不存在，请说明理由.

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18. 已知函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + 2 x$ ， $f^{'} (x) > 0$ 的解集为 $(- \infty, 1) ∪ (2, + \infty)$ .

(1)、求a ， b的值；

(2)、若 $g (x)$ 是定义在R上的奇函数，且当 $x \leq 0$ 时， $g (x) = f (x)$
（ⅰ）求 $g (x)$ 的解析式
（ⅱ）求不等式 $g (2 x - 3) + g (x) > 0$ 的解集.

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19. 利用方程的方法可以将无限循环小数化为分数，例如将 $0 . \dot{3} \dot{1}$ 化为分数是这样计算的：设 $0 . \dot{3} \dot{1} = x$ ，则 $31 . \dot{3} \dot{1} = 100 x$ ，即 $31 + x = 100 x$ ，解得 $0 . \dot{3} \dot{1} = \frac{31}{99}$ .
这是一种利用方程求解具有无限过程的问题的方法，这种方法在高中计算无限概率、无限期望问题时都有很好的妙用.
已知甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率为 $\frac{2}{3}$ ，乙获胜的概率为 $\frac{1}{3}$ ，每局比赛的结果互不影响.规定：净胜 $m$ 局指的是一方比另一方多胜 $m$ 局.

(1)、如果约定先获得净胜两局者获胜，求恰好4局结束比赛的概率；

(2)、如果约定先获得净胜三局者获胜，那么在比赛过程中，甲可能净胜 $i (i = - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3)$ 局.设甲在净胜 $i$ 局时，继续比赛甲获胜的概率为 $P_{i}$ ，比赛结束（甲、乙有一方先净胜三局）时需进行的局数为 $X_{i}$ ，期望为 $E (X_{i})$ .
①求甲获胜的概率 $P_{0}$ ；
②求 $E (X_{0})$ .

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