四川省遂宁市2024年中考数学试卷

试卷更新日期：2024-06-19 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 下列各数中，无理数是( )

A、 $- 2$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、0

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2. 古代中国诸多技艺均领先世界.榫卯结构就是其中之一，榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式.凸出部分叫榫（或榫头），凹进部分叫卯（或榫眼、榫槽），榫和卯咬合，起到连接作用，右图是某个部件“榫”的实物图，它的主视图是( )

A、 B、 C、 D、

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3. 中国某汽车公司坚持“技术为王，创新为本”的发展理念，凭借研发实力和创新的发展模式在电池、电子、乘用车、商用车和轨道交通等多个领域发挥着举足轻重的作用.2024年第一季度，该公司以62万辆的销售成绩稳居新能源汽车销量榜榜首，市场占有率高达 $19.4 %$ .将销售数据用科学记数法表示为( )

A、 $0.62 \times 1 0^{6}$ B、 $6.2 \times 1 0^{6}$ C、 $6.2 \times 1 0^{5}$ D、 $62 \times 1 0^{5}$

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4. 下列运算结果正确的是( )

A、 $3 a - 2 a = 1$ B、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ C、 ${(- a)}^{4} = - a^{4}$ D、 $(a + 3) (a - 3) = a^{2} - 9$

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5. 不等式组 ${\begin{array}{l} 3 x - 2 < 2 x + 1 \\ x \geq 2 \end{array}$ 的解集在数轴上表示为( )

A、 B、 C、 D、

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6. 佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到了一个内角和为 $1080 °$ 的正多边形图案，这个正多边形的每个外角为( )

A、 $36 °$ B、 $40 °$ C、 $45 °$ D、 $60 °$

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7. 分式方程 $\frac{2}{x - 1} = 1 - \frac{m}{x - 1}$ 的解为正数，则m的取值范围( )

A、 $m > - 3$ B、 $m > - 3$ 且 $m \neq - 2$ C、 $m < 3$ D、 $m < 3$ 且 $m \neq - 2$

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8. 工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积.如图所示，排污管道的横截面是直径为2米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽AB为1米，请计算出淤泥横截面的面积( )

A、 $\frac{1}{6} π - \frac{\sqrt{3}}{4}$ B、 $\frac{1}{6} π - \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{2}{3} π - \sqrt{3}$ D、 $\frac{1}{6} π - \frac{1}{4}$

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9. 如图1， $△ A B C$ 与 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 满足 $∠ A = ∠ A_{1}$ ， $A C = A_{1} C_{1}$ ， $B C = B_{1} C_{1}$ ， $∠ C \neq ∠ C_{1}$ ，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”
如图2，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点D ， E在线段 $B C$ 上，且 $B E = C D$ ，则图中共有“伪全等三角形”( )

A、1对 B、2对 C、3对 D、4对

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10. 如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （a、b、c为常数，且 $a \neq 0$ ）的对称轴为直线 $x = - 1$ ，且该抛物线与x轴交于点 $A (1, 0)$ ，与y轴的交点B在 $(0, - 2)$ ， $(0, - 3)$ 之间（不含端点），则下列结论正确的有多少个( )
① $a b c > 0$
② $9 a - 3 b + c \geq 0$
③ $\frac{2}{3} < a < 1$
④若方程 $a x^{2} + b x + c = x + 1$ 两根为m ， $n (m < n)$ ，则 $- 3 < m < 1 < n$

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

11. 分解因式： $a b + 4 a =$ .

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12. 反比例函数 $y = \frac{k - 1}{x}$ 的图象在第一、三象限，则点 $(k, - 3)$ 在第象限.

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13. 体育老师要在甲和乙两人中选择1人参加篮球投篮大赛，下表是两人5次训练成绩，从稳定的角度考虑，老师应该选参加比赛.
甲
8
8
7
9
8
乙
6
9
7
9
9

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14. 在等边 $△ A B C$ 三边上分别取点D、E、F ，使得 $A D = B E = C F$ ，连接三点得到 $△ D E F$ ，易得 $△ A D F ≌ △ B E D ≌ △ C F E$ ，设 $S_{△ A B C} = 1$ ，则 $S_{△ D E F} = 1 - 3 S_{△ A D F}$
如图①当 $\frac{A D}{A B} = \frac{1}{2}$ 时， $S_{△ D E F} = 1 - 3 \times \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$
如图②当 $\frac{A D}{A B} = \frac{1}{3}$ 时， $S_{△ D E F} = 1 - 3 \times \frac{2}{9} = \frac{1}{3}$
如图③当 $\frac{A D}{A B} = \frac{1}{4}$ 时， $S_{△ D E F} = 1 - 3 \times \frac{3}{16} = \frac{7}{16}$
……
直接写出，当 $\frac{A D}{A B} = \frac{1}{10}$ 时， $S_{△ D E F} =$ .

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15. 如图，在正方形纸片 $A B C D$ 中，E是 $A B$ 边的中点，将正方形纸片沿 $E C$ 折叠，点B落在点P处，延长 $C P$ 交 $A D$ 于点Q ，连结 $A P$ 并延长交 $C D$ 于点F.给出以下结论：
① $△ A E P$ 为等腰三角形
②F为 $C D$ 的中点
③ $A P : P F = 2 : 3$
④ $c o s ∠ D C Q = \frac{3}{4}$ .
其中正确结论是.（填序号）

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三、解答题

16. 计算： $s i n 45 ° + | \frac{\sqrt{2}}{2} - 1 | + \sqrt{4} + {(\frac{1}{2021})}^{- 1}$ .

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17. 先化简： $(1 - \frac{1}{x - 1}) \div \frac{x - 2}{x^{2} - 2 x + 1}$ ，再从1，2，3中选择一个合适的数作为x的值代入求值.

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18. 康康在学习了矩形定义及判定定理1后，继续探究其它判定定理.

(1)、实践与操作
①任意作两条相交的直线，交点记为O；
②以点O为圆心，适当长为半径画弧，在两条直线上分别截取相等的四条线段；OA ， OB ， OC ， OD
③顺次连结所得的四点得到四边形 $A B C D$ .
于是可以直接判定四边形 $A B C D$ 是平行四边形，则该判定定理是：.

(2)、猜想与证明
通过和同伴交流，他们一致认为四边形 $A B C D$ 是矩形，于是猜想得到了矩形的另外一种判定方法：对角线相等的平行四边形是矩形.并写出了以下已知、求证，请你完成证明过程.
已知：如图，四边形 $A B C D$ 是平行四边形， $A C = B D$ .
求证：四边形 $A B C D$ 是矩形.

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19. 小明的书桌上有一个L型台灯，灯柱 $A B$ 高 $40 c m$ ，他发现当灯带 $B C$ 与水平线 $B M$ 夹角为 $9 °$ 时（图1），灯带的直射宽 $D E$ （ $B D ⊥ B C$ ， $C E ⊥ B C$ ）为 $35 c m$ ，但此时灯的直射宽度不够，当他把灯带调整到与水平线夹角为 $30 °$ 时（图2），直射宽度刚好合适，求此时台灯最高点C到桌面的距离.（结果保留1位小数）（ $s i n 9 ° \approx 0.16$ ， $c o s 9 ° \approx 0.99$ ， $t a n 9 ° \approx 0.16$ ）

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20. 某酒店有A ， B两种客房、其中A种24间，B种20间.若全部入住，一天营业额为7200元；若A ， B两种客房均有10间入住，一天营业额为3200元.

(1)、求A ， B两种客房每间定价分别是多少元？

(2)、酒店对A种客房调研发现：如果客房不调价，房间可全部住满；如果每个房间定价每增加10元，就会有一个房间空闲；当A种客房每间定价为多少元时，A种客房一天的营业额W最大，最大营业额为多少元？

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21. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - (m + 2) x + m - 1 = 0$ .

(1)、求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；

(2)、如果方程的两个实数根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - x_{1} x_{2} = 9$ ，求m的值.

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22. 遂宁市作为全国旅游城市，有众多著名景点，为了解“五一”假期同学们的出游情况，某实践探究小组对部分同学假期旅游地做了调查，以下是调查报告的部分内容，请完善报告：

xx小组关于xx学校学生“五一”出游情况调查报告
数据收集
调查方式		抽样调查			调查对象		xx学校学生
数据的整理与描述
景点	A：中国死海		B：龙凤古镇	C：灵泉风景区		D：金华山		E：未出游	F：其他

数据分析及运用
⑴本次被抽样调查的学生总人数为 ▲ ，扇形统计图中， $m =$ ▲ ， “B：龙凤古镇”对应圆心角的度数是 ▲ ； ⑵请补全条形统计图； ⑶该学校总人数为1800人，请你估计该学校学生“五一”假期未出游的人数； ⑷未出游中的甲、乙两位同学计划下次假期从A、B、C、D四个景点中任选一个景点旅游，请用树状图或列表的方法求出他们选择同一景点的概率.

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23. 如图，一次函数 $y_{1} = k x + b (k \neq 0)$ 的图象与反比例函数 $y_{2} = \frac{m}{x} (m \neq 0)$ 的图象相交于 $A (1, 3)$ ， $B (n, - 1)$ 两点.

(1)、求一次函数和反比例函数的表达式；

(2)、根据图象直接写出 $y_{1} > y_{2}$ 时，x的取值范围；

(3)、过点B作直线OB ，交反比例函数图象于点C ，连结AC ，求 $△ A B C$ 的面积.

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24. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $A C$ 是一条弦，点D是 $\overset{⌢}{A C}$ 的中点， $D N ⊥ A B$ 于点E ，交 $A C$ 于点F ，连结 $D B$ 交 $A C$ 于点G.

(1)、求证： $A F = D F$ ；

(2)、延长 $G D$ 至点M ，使 $D M = D G$ ，连结 $A M$ .
①求证： $A M$ 是 $⊙ O$ 的切线；
②若 $D G = 6$ ， $D F = 5$ ，求 $⊙ O$ 的半径.

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25. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象与x轴分别交于点 $A (- 1, 0)$ ， $B (3, 0)$ ，与y轴交于点 $C (0, - 3)$ ， P ， Q为抛物线上的两点.

(1)、求二次函数的表达式；

(2)、当P ， C两点关于抛物线对轴对称， $△ O P Q$ 是以点P为直角顶点的直角三角形时，求点Q的坐标；

(3)、设P的横坐标为m ， Q的横坐标为 $m + 1$ ，试探究： $△ O P Q$ 的面积S是否存在最小值，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由.

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甲	8	8	7	9	8
乙	6	9	7	9	9