山东省滨州市2024年中考数学试卷

试卷更新日期：2024-06-19 类型：中考真卷

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一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，满分24分．每小题只有一个选项符合题目要求．

1. $- \frac{1}{2}$ 的绝对值是（）

A、2 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- 2$

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2. 如图，一个三棱柱无论怎么摆放，其主视图不可能是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 数学中有许多精美的曲线，以下是“悬链线”“黄金螺旋线”“三叶玫瑰线”和“笛卡尔心形线”．其中不是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 下列运算正确的是（）

A、 ${(n^{3})}^{3} = n^{6}$ B、 $(- 2 a)^{2} = - 4 a^{2}$ C、 $x^{8} \div x^{2} = x^{4}$ D、 $m^{2} \cdot m = m^{3}$

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5. 若点 $N (1 - 2 a, a)$ 在第二象限，那么a的取值范围是（）

A、 $a > \frac{1}{2}$ B、 $a < \frac{1}{2}$ C、 $0 < a < \frac{1}{2}$ D、 $0 \leq a < \frac{1}{2}$

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6. 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示：
成绩/m
1.50
1.60
1.65
1.70
1.75
1.80
人数
2
3
2
3
4
1
某同学分析上表后得出如下结论：
①这些运动员成绩的平均数是1.65；
②这些运动员成绩的中位数是1.70；
③这些运动员成绩的众数是1.75．
上述结论中正确的是（）

A、②③ B、①③ C、①② D、①②③

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7. 点 $M (x_{1}, y_{1})$ 和点 $N (x_{2}, y_{2})$ 在反比例函数 $y = \frac{k^{2} - 2 k + 3}{x}$ （ $k$ 为常数）的图象上，若 $x_{1} < 0 < x_{2}$ ，则 $y_{1} ， y_{2} ， 0$ 的大小关系为（）

A、 $y_{1} < y_{2} < 0$ B、 $y_{1} > y_{2} > 0$ C、 $y_{1} < 0 < y_{2}$ D、 $y_{1} > 0 > y_{2}$

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8. 刘徽（今山东滨州人）是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”．刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式．如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A B, B C, C A$ 的长分别为 $c, a, b$ ．则可以用含 $c, a, b$ 的式子表示出 $△ A B C$ 的内切圆直径 $d$ ，下列表达式错误的是（）

A、 $d = a + b - c$ B、 $d = \frac{2 a b}{a + b + c}$ C、 $d = \sqrt{2 (c - a) (c - b)}$ D、 $d = | (a - b) (c - b) |$

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二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，满分24分．

9. 若分式 $\frac{1}{x - 1}$ 在实数范围内有意义，则x的取值范围是.

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10. 写出一个比 $\sqrt{3}$ 大且比 $\sqrt{10}$ 小的整数是.

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11. 将抛物线 $y = - x^{2}$ 先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标为．

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12. 一副三角板如图1摆放，把三角板 $A O B$ 绕公共顶点O顺时针旋转至图2，即 $A B ∥ O D$ 时， $∠ 1$ 的大小为．

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13. 如图，在 $△ A B C$ 中，点D ， E分别在边 $A B, A C$ 上．添加一个条件使 $△ A D E ∽ △ A C B$ ，则这个条件可以是．（写出一种情况即可）

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14. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形AOCD是菱形，∠B的度数是．

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15. 如图，四边形AOBC四个顶点的坐标分别是 $A (- 1, 3)$ ， $O (0, 0)$ ， $B (3, - 1)$ ， $C (5, 4)$ ，在该平面内找一点P ，使它到四个顶点的距离之和 $P A + P O + P B + P C$ 最小，则P点坐标为．

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16. 如图，在边长为1的正方形网格中，点A ， B均在格点上．
⑴ $A B$ 的长为；
⑵请只用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出以 $A B$ 为边的矩形 $A B C D$ ，使其面积为 $\frac{26}{3}$ ，并简要说明点C ， D的位置是如何找到的（不用证明）：．

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三、解答题：本大题共8个小题，满分72分．解答时请写出必要的演推过程．

17. 计算： $2^{- 1} + (- 2) \times (- \frac{1}{2}) - \sqrt{\frac{9}{4}}$ ．

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18. 解方程：

(1)、 $\frac{2 x - 1}{3} = \frac{x + 1}{2}$ ；

(2)、 $x^{2} - 4 x = 0$ ．

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19. 欧拉是历史上享誉全球的最伟大的数学家之一，他不仅在高等数学各个领域作出杰出贡献，也在初等数学中留下了不凡的足迹．设a ， b ， c为两两不同的数，称 $P_{n} = \frac{a^{n}}{(a - b) (a - c)} + \frac{b^{n}}{(b - c) (b - a)} + \frac{c^{n}}{(c - a) (c - b)} (n = 0, 1, 2, 3)$ 为欧拉分式．

(1)、写出 $P_{0}$ 对应的表达式；

(2)、化简 $P_{1}$ 对应的表达式．

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20. 某校劳动实践基地共开设五门劳动实践课程，分别是A：床铺整理，B：衣物清洗，C：手工制作、D：简单烹饪、E：绿植栽培；课程开设一段时间后，季老师采用抽样调查的方式在全校学生中开展了“我最喜欢的劳动实践课程”为主题的问卷调查．根据调查所收集的数我进行整理、绘制了如下两幅不完整的统计图．
根据图中信息，请回答下列问题：

(1)、请将条形统计图补充完整，并直接写出“手工制作”对应的扇形圆心角度数；

(2)、若该校共有1800名学生，请你估计全校最喜欢“绿植栽培”的学生人数；

(3)、小兰同学从B，C，D三门课程中随机选择一门参加劳动实践，小亮同学从C，D，E三门课程中随机选择一门参加劳动实践，求两位同学选择相同课程的概率．

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21. 【问题背景】
某校八年级数学社团在研究等腰三角形“三线合一”性质时发现：
①如图，在 $△ A B C$ 中，若 $A D ⊥ B C$ ， $B D = C D$ ，则有 $∠ B = ∠ C$ ；
②某同学顺势提出一个问题：既然①正确，那么进一步推得 $A B = A C$ ，即知 $A B + B D = A C + C D$ ，若把①中的 $B D = C D$ 替换为 $A B + B D = A C + C D$ ，还能推出 $∠ B = ∠ C$ 吗？基于此，社团成员小军、小民进行了探索研究，发现确实能推出 $∠ B = ∠ C$ ，并分别提供了不同的证明方法．
小军小民
证明：分别延长DB，DC至E，F两点，使得…… 证明：∵AD⊥BC，
∴△ADB 与△ADC均为直角三角形
根据勾股定理，得……

【问题解决】

(1)、完成①的证明；

(2)、把②中小军、小民的证明过程补充完整．

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22. 春节期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营成本为2000元，该影院每天售出的电影票数量y（单位：张）与售价x（单位：元/张）之间满足一次函数关系（ $30 \leq x \leq 80$ ，且x是整数），部分数据如下表所示：
电影票售价x（元/张）
40
50
售出电影票数量y（张）
164
124

(1)、请求出y与x之间的函数关系式；

(2)、设该影院每天的利润（利润 $=$ 票房收入 $-$ 运营成本）为w（单位：元），求w与x之间的函数关系式；

(3)、该影院将电影票售价x定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？

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23. 如图， $△ A B C$ 中，点D ， E ， F分别在三边 $B C ， C A ， A B$ 上，且满足 $D F ∥ A C ， D E ∥ A B$ ．

(1)、求证：四边形 $A F D E$ 为平行四边形；

(2)、若 $\frac{A B}{A C} = \frac{B D}{D C}$ ，求证：四边形 $A F D E$ 为菱形；

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24. 把一块三角形余料 $M N H$ （如图所示）加工成菱形零件，使它的一个顶点与 $△ M N H$ 的顶点M重合，另外三个顶点分别在三边 $M N ， N H ， H M$ 上，请在图上作出这个菱形．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．）

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25. 【教材呈现】
现行人教版九年级下册数学教材85页“拓广探索”第14题：
14．如图，在锐角 $△ A B C$ 中，探究 $\frac{a}{s i n A}$ ， $\frac{b}{s i n B}$ ， $\frac{c}{s i n C}$ 之间的关系．（提示：分别作 $A B$ 和 $B C$ 边上的高．）

【得出结论】
$\frac{a}{s i n A} = \frac{b}{s i n B} = \frac{c}{s i n C}$ ．

(1)、【基础应用】
在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 75 °$ ， $∠ C = 45 °$ ， $B C = 2$ ，利用以上结论求 $A B$ 的长；

(2)、【推广证明】
进一步研究发现， $\frac{a}{s i n A} = \frac{b}{s i n B} = \frac{c}{s i n C}$ 不仅在锐角三角形中成立，在任意三角形中均成立，并且还满足 $\frac{a}{s i n A} = \frac{b}{s i n B} = \frac{c}{s i n C} = 2 R$ （R为 $△ A B C$ 外接圆的半径）．请利用图1证明： $\frac{a}{s i n A} = \frac{b}{s i n B} = \frac{c}{s i n C} = 2 R$ ．

(3)、【拓展应用】
如图2，四边形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $B C = 3$ ， $C D = 4$ ， $∠ B = ∠ C = 90 °$ ．求过A ， B ， D三点的圆的半径．

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小军	小民
证明：分别延长DB，DC至E，F两点，使得……	证明：∵AD⊥BC， ∴△ADB 与△ADC均为直角三角形根据勾股定理，得……

电影票售价x（元/张）	40	50
售出电影票数量y（张）	164	124

成绩/m	1.50	1.60	1.65	1.70	1.75	1.80
人数	2	3	2	3	4	1