湖北省恩施州宣恩县2024年中考三模数学试题

试卷更新日期：2024-06-19 类型：中考模拟

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一、选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将选择项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上）

1. 如右图，数轴上的点H、I、J、K分别表示 $- \sqrt{3}$ 、0、 $\frac{3}{2}$ 、3.14，其中属于无理数的是（）

A、H B、I C、J D、K

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2. 勾股定理是直角三角形中的重要定理之一，而证明勾股定理的方法有很多，下面是选取了部分证明方法所利用的图形，若只考虑图形，其中是中心对称图形的是（）
A.赵爽弦图
B.青朱出入图
C.总统拼
D.欧几里得证法

A、赵爽弦图 B、青朱出入图 C、总统拼 D、欧几里得证法

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3. 下列计算正确的是（）

A、 $a^{2} + a^{3} = a^{5}$ B、 $a^{6} \div a^{2} = a^{3}$ C、 ${(2 a^{2})}^{3} = 8 a^{5}$ D、 $1 - a^{2} = {(1 - a)}^{2}$

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4. 领水是国家陆地疆界以内的水域和与陆地疆界邻接的一带海域，是组成国家领土的一部分，我国领水面积约37万 $k m^{2}$ ， 37万用科学记数法表示为（）

A、 $3 \times 1 0^{2}$ B、 $3.7 \times 1 0^{5}$ C、 $3 \times 1 0^{6}$ D、 $37 \times 1 0^{4}$

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5. 下列说法正确的是（）

A、“两直线平行内错角相等”是假命题 B、函数 $y = 2 x$ 经过第二象限是必然事件 C、调查某班同学的近视情况适合用普查 D、从全县3400学生中抽取150名调查了解寒假阅读情况，抽取的样本容量为3400

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6. 如图，将一副三角板放在一起，B、D分别在EF、AC上，若 $A C ∥ E F$ ，则 $∠ 1 =$ （）

A、60° B、65° C、70° D、75°

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7. 某条河流的流向（从左往右）及分支如图，其中阴影是A县所在地区，并有两条河流从A县穿过，现有2艘小船从左往右航行，则2艘小船都穿过A县的概率是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{5}{8}$

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8. 近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间有如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数小于500度的近视眼镜，则焦距x的取值范围是（）

A、 $x > 0.2$ B、 $0 < x < 0.2$ C、 $0 < x < 2$ D、 $x > 2$

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9. 蜂巢结构精巧，左图为其横截面示意图，其形状均为正六边形，右图中的7个全等的正六边形不重复且无缝隙，以坐标原点为对称中心建立平面直角坐标系，已知 $P (0, - 2)$ ，则Q点坐标为（）

A、 $(- 2 \sqrt{3}, 3)$ B、 $(- 2 \sqrt{3}, 4)$ C、 $(- \sqrt{3}, 3)$ D、 $(- \sqrt{3}, 4)$

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10. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + 2$ 的图象的顶点为 $(- \frac{1}{2}, m)$ ，且图像交x正半轴交于点 $A (n, 0)$ ，则① $b < 0$ ；② $b - a = 0$ ；③对于任意的x ，都满足 $a x^{2} + b x \geq m - 2$ ；④ $b - 8 = 4 m$ ；⑤若点 $(- 2 - n, y_{1})$ 在此函数图象上，则 $y_{1} < 0$ .判断正确的是（）

A、①②④ B、①②⑤ C、②③④ D、②④⑤

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二、填空题（本大题共有5个小题，每小题3分，共15分.不要求写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上）

11. 计算 $\frac{x - 1}{x + 1} \div \frac{x - 1}{x^{2} + 2 x + 1}$ 的结果是.

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12. 已知一次函数 $y = k x - 3$ （k为常数，且 $k \neq 0$ ）的图象不经过第二象限，写出一个符合条件k的值.

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13. 如图，在平面直角坐标系中， $⊙ B$ 与x轴相切于点A ，与y轴分别交点为C ， D ，圆心B的坐标是 $(\sqrt{3}, 2)$ ，则 $s i n ∠ A E C$ 的值为.

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14. 我国古代问题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳五折测之，绳少一尺，问绳长井深各几何？”其题意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份绳长比水井深度多四尺；如果将绳子折成五等份，那么每等份绳长比水井深度少一尺，问水井和绳子长度各是多少？答：绳子的长度是尺，水井的深度是尺.

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15. 如图，已知矩形ABCD中， $2 A B = B C$ ，点E、F、P分别在线段BC、DC上，BP交EF于点M ， $∠ E M P = 45 °$ ， $A B = 6$ ， $B F = E D = 4.5$ ，过点B作 $B G ∥ E F$ 交AD于点G ，试求PC的长度.

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三、解答题（本大题共有9个小题，共75分.请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明.证明过程或演算步骤）

16. 解不等式 $\frac{x - 1}{2} < 3 - \frac{2 x}{3}$ ，并将不等式的解集在数轴上表示出来.
解：去分母得： $3 x - 3 <$   _▲_   $- 4 x$
移项得： $3 x + 4 x <$ _▲
合并得： $7 x <$   _▲
系数化为1：    ▲

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17. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C$ ，点D在AB上，连接CD ， BE为 $△ B C D$ 的高.

(1)、尺规作图：作 $∠ C A B$ 的角平分线交CD于点F；

(2)、在（1）的条件下，若 $∠ B C D = 22.5 °$ 求证 $A F^{2} + B E^{2} = A C^{2}$ .

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18. 某班举行五四青年节的相关活动，决定到距离学校120千米的地方进行研学活动，现有A型客车、和B型小轿车各一辆，已知在在行驶过程中小轿车的速度比客车的速度快20千米/时，两车同时出发，当小轿车到达目的地后客车距离目的地还有30千米，问小轿车和客车的速度分别是多少？

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19. 某校数学兴趣小组为调查学校七八年级学生对A、B两款刷卡系统的满意度，设计了如下的调查问卷，并在全校七八年级学生中随机抽取20名同学完成下列问卷：

对学校A、B两款刷卡系统的满意度调查

1、请你分别为学校A、B两款刷卡系统打分A系统：____分、B系统：____分

提示：满分是100分，最低分0分，分值 $\leq 70$ 分为不满意， $70 < x \leq 80$ 为比较满意， $80 < x \leq 90$ 为满意， $90 < x \leq 100$ 为非常满意

通过小组内学生对信息的收集和整理得到了以下调查报告（不完整）

调查目的	1、调查学校七八年级学生对A、B两款刷卡系统的满意度； 2、给学校刷卡系统提出合理建议。
调查方式	抽样调查		调查对象	七八年级部分学生
调查结果	A款		B款
	A款所有打分为：68、69、76、78、81、 84、85、86、87、87、87、89、95、97、 98、98、98、98、99、100		其中 $80 < x \leq 90$ 的所有数据为：87、85、87、83、85、89
	评分统计表
	系统	平均数	中位数	众数	非常满意占比
	A	88	87	b	c
	B	88	a	96	45%
建议

(1)、填空：

a =

，

b =

，

c =

；

(2)、该校七八年级共有800人，估计七八年级学生对A款系统“比较满意”的人数？

(3)、根据以上数据，你认为哪一款刷卡系统更受七八年级学生的欢迎？请说明理由（写一条即可）.

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20. 如图，已知函数 $y_{1} = a x + 3 a$ 交x轴于点A ，交y轴于点D ，与反比例函数 $y_{2} = \frac{- 4}{x} (x < 0)$ 的图象相交于B点，且 $A B = \frac{1}{3} A D$ ， DE所在直线 $l_{1}$ 与AD关于y轴对称，交x轴于点E ，点F是线段DE的中点，连接OF ，点G是直线OF上一动点，连接DG ， BG.

(1)、求a的值及点A的坐标，并直接写出 $l_{1}$ 的解析式；

(2)、求 $△ B D G$ 的面积；

(3)、直接写出当 $y_{1} > y_{2}$ 时，对应的x的取值范围.

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21. 如图，等腰 $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， $A B = A C$ ，点E是 $\overset{⌢}{A C}$ 上的点（不与点A ， C重合）连接BE ，并延长至点G ，连接AE并延长至点F ， BE与AC相交于点D.

(1)、求证： $∠ G E F = ∠ C E F$ ；

(2)、若 $⊙ O$ 的半径为5， $B C = 6$ ，点D是AC的中点，求BD的长.

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22. 随着旅游业的发展，某地的烤活鱼走进了广大群众的视野，深受游客们的喜爱，五一期间某公司为满足供货需求，提前从甲地购买海鲜、蔬菜、肉类三种物资共100吨，计划组织20辆汽车装运，要求20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种物资且必须装满，每种物资至少装运1辆车，每辆汽车的运载量和每吨所需运费如下表.
物资种类
肉类
海鲜
蔬菜
每辆汽车运载量/吨
6
5
4
每吨所需运费/元
120
160
100

(1)、设x辆汽车装运肉类，y辆汽车装运海鲜，用含x ， y的式子填写下表；
物资种类
肉类
海鲜
蔬菜
装运汽车数量（辆）
x
y
装运物品的总量（吨）
6x

(2)、已知100吨物资恰好运完，试求y与x的函数关系式，并求出共有多少种装运方案；

(3)、请求出在（2）的条件下怎样装运花费费用最少？最少费用是多少？

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23. 综合与探究
问题背景：如图3，四边形ABCD是矩形， $A B = m B C$ ，点G、H、E分别是线段AD、BC、AB上的动点，连接GH ，过点E作GH的垂线交线段CD于点F（只考虑F在CD上的情况）
图1
图2
图3
图4

(1)、①如图1，当点G运动到A点，点E运动到B点时，若 $A B = 6$ ， $B H = 2$ ， $m = 2$ ，则 $\frac{A H}{B F}$ 的值为（直接写答案）
②如图2，当点G不与A点重合，点E运动到B点时，若 $m = 2$ ，试求 $\frac{G H}{B F}$ 的值.

(2)、问题探究：如图3，当G不与A重合，E不与B重合时，用含m的式子表示 $\frac{G H}{E F}$ 的值.

(3)、问题拓展：如图4，将背景问题中的矩形改成已知“在四边形GBCF中， $∠ C = 90 °$ ， $B G = \sqrt{2} B C$ ， $s i n ∠ G B C = \frac{9}{10}$ ， $G H ⊥ B F$ ，则 $\frac{G H}{B F}$ 的值为.（直接写答案）.

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24. 如图，二次函数的图象与x轴交于 $A (- 2, 0)$ ， B两点，与y轴交于点C ，且顶点为 $(2, 8)$ ，连接BC.
图① 图②

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、如图①，在BC的上方抛物线上存在一点P ，已知P点的横坐标为t ，过点P作 $P Q ⊥ B C$ 交BC于点Q ，则 $B Q + \frac{1}{2} P Q$ 是否存在最大值，若存在求出最大值，若不存在请说明理由；

(3)、如图②，连接CA ，抛物线上是否存在点M ，使得 $∠ B C M + ∠ O C A = 45 °$ ，如果存在，请求出直线CM与x轴的交点坐标，不存在，请说明理由.

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A.赵爽弦图	B.青朱出入图	C.总统拼	D.欧几里得证法

物资种类	肉类	海鲜	蔬菜
每辆汽车运载量/吨	6	5	4
每吨所需运费/元	120	160	100


图1	图2	图3	图4