上海市2024年中考数学试题

试卷更新日期：2024-06-19 类型：中考真卷

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一、选择题（每题4分，共24分）

1. 如果 $x > y$ ，那么下列正确的是（）

A、 $x + 5 < y + 5$ B、 $x - 5 < y - 5$ C、 $5 x > 5 y$ D、 $- 5 x > - 5 y$

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2. 函数 $f (x) = \frac{2 - x}{x - 3}$ 的定义域是（）

A、 $x = 2$ B、 $x \neq 2$ C、 $x = 3$ D、 $x \neq 3$

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3. 以下一元二次方程有两个相等实数根的是（）

A、 $x^{2} - 6 x = 0$ B、 $x^{2} - 9 = 0$ C、 $x^{2} - 6 x + 6 = 0$ D、 $x^{2} - 6 x + 9 = 0$

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4. 已知某个人要种植，且种子有四种类别：甲、乙、丙、丁.对于每种种子，发芽天数气稳定性(标准差)如下所示，在同时考量稳定性与种了能快速发芽的情况下，他应该选择（）
种类
甲
乙
丙
丁
发芽天数
2.3
2.3
3.1
2.8
标准差
1.05
0.78
1.05
0.78

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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5. 四边形 $A B C D$ 为矩形，过 $A 、 C$ 作对角线 $B D$ 的垂线，过 $B 、 D$ 作对角线 $A C$ 的垂线，如果四个垂线拼成一个四边形，那这个四边形为（）

A、菱形 B、矩形 C、直角梯形 D、等腰梯形

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6. 在 $△ A B C$ 中， $A C = 3$ ， $B C = 4$ ， $A B = 5$ ，点 $P$ 在 $△ A B C$ 内，分别以 $A 、 B 、 P$ 为圆心画，圆 $A$ 半径为1，圆 $B$ 半径为2，圆 $P$ 半径为3，圆 $A$ 与圆 $P$ 内切，圆 $P$ 与圆 $B$ 的关系是（）

A、内含 B、相交 C、外切 D、相离

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二、填空题（每题4分，共48分）

7. 计算： ${(4 x^{2})}^{3} =$ ．

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8. 计算 $(a + b) (b - a) =$ ．

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9. 已知 $\sqrt{2 x - 1} = 1$ ，则 $x =$ ．

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10. 科学家研发了一种新的蓝光唱片，一张蓝光唱片的容量约为 $2 \times 1 0^{5}$ $G B$ ，一张普通唱片的容量约为25 $G B$ ，则蓝光唱片的容量是普通唱片的倍．（用科学记数法表示）

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11. 若正比例函数 $y = k x$ 的图像经过点 $(7, - 13)$ ，则y的值随x的增大而．（选填“增大”或“减小”）

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12. 在菱形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 66 °$ ，则 $∠ B A C =$ ．

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13. 某种商品的销售量y（万元）与广告投入x（万元）成一次函数关系，当投入10万元时销售额1000万元，当投入90万元时销售量5000万元，则投入80万元时，销售量为万元．

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14. 一个袋子中有若干个白球和绿球，它们除了颜色外都相同随机从中摸一个球，恰好摸到绿球的概率是 $\frac{3}{5}$ ，则袋子中至少有个绿球．

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15. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，E为对角线 $A C$ 上一点，设 $\vec{A C} = \vec{a}$ ， $\vec{B E} = \vec{b}$ ，若 $A E = 2 E C$ ，则 $\vec{D C} =$ （结果用含 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的式子表示）．

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16. 博物馆为展品准备了人工讲解、语音播报和 $A R$ 增强三种讲解方式，博物馆共回收有效问卷 $1000$ 张，其中 $700$ 人没有讲解需求，剩余 $300$ 人中需求情况如图所示（一人可以选择多种），那么在总共 $2$ 万人的参观中，需要 $A R$ 增强讲解的人数约有人．

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17. 在平行四边形 $A B C D$ 中， $∠ A B C$ 是锐角，将 $C D$ 沿直线 $l$ 翻折至 $A B$ 所在直线，对应点分别为 $C^{'}$ ， $D^{'}$ ，若 $A C^{'} : A B : B C = 1 : 3 : 7$ ，则 $c o s ∠ A B C =$ ．

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18. 对于一个二次函数 $y = a (x - m)^{2} + k$ （ $a \neq 0$ ）中存在一点 $P (x^{'}, y^{'})$ ，使得 $x^{'} - m = y^{'} - k \neq 0$ ，则称 $2 | x^{'} - m |$ 为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{3} x + 3$ “开口大小”为．

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三、简答题（共78分，其中第19-22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分）

19. 计算： $| 1 - \sqrt{3} | + 2 4^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 + \sqrt{3}} - (1 - \sqrt{3})^{0}$ ．

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20. 解方程组： ${\begin{array}{l} x^{2} - 3 x y - 4 y^{2} = 0 ① \\ x + 2 y = 6 ② \end{array}$ ．

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21. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ （k为常数且 $k \neq 0$ ）上有一点 $A (- 3, m)$ ，且与直线 $y = - 2 x + 4$ 交于另一点 $B (n, 6)$ ．

(1)、求k与m的值；

(2)、过点A作直线 $l ∥ x$ 轴与直线 $y = 2 x + 4$ 交于点C ，求 $s i n ∠ O C A$ 的值．

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22. 同学用两幅三角板拼出了如下的平行四边形，且内部留白部分也是平行四边形（直角三角板互不重叠），直角三角形斜边上的高都为 $h$ ．

(1)、求：
$①$ 两个直角三角形的直角边（结果用 $h$ 表示）；
$②$ 小平行四边形的底、高和面积（结果用 $h$ 表示）；

(2)、请画出同学拼出的另一种符合题意的图，要求：
$①$ 不与给定的图形状相同；
$②$ 画出三角形的边．

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23. 如图所示，在矩形 $A B C D$ 中， $E$ 为边 $C D$ 上一点，且 $A E ⊥ B D$ ．

(1)、求证： $A D^{2} = D E \cdot D C$ ；

(2)、 $F$ 为线段 $A E$ 延长线上一点，且满足 $E F = C F = \frac{1}{2} B D$ ，求证： $C E = A D$ ．

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24. 在平面直角坐标系中，已知平移抛物线 $y = \frac{1}{3} x^{2}$ 后得到的新抛物线经过 $A (0, - \frac{5}{3})$ 和 $B (5, 0)$ ．

(1)、求平移后新抛物线的表达式；

(2)、直线 $x = m$ （ $m > 0$ ）与新抛物线交于点P ，与原抛物线交于点Q ．
①如果 $P Q$ 小于3，求m的取值范围；
②记点P在原抛物线上的对应点为 $P^{'}$ ，如果四边形 $P^{'} B P Q$ 有一组对边平行，求点P的坐标．

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25. 在梯形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ，点E在边 $A B$ 上，且 $A E = \frac{1}{3} A B$ ．

(1)、如图1所示，点F在边 $C D$ 上，且 $D F = \frac{1}{3} C D$ ，联结 $E F$ ，求证： $E F ∥ B C$ ；

(2)、已知 $A D = A E = 1$ ；
①如图2所示，联结 $D E$ ，如果 $△ A D E$ 外接圆的心恰好落在 $∠ B$ 的平分线上，求 $△ A D E$ 的外接圆的半径长；
②如图3所示，如果点M在边 $B C$ 上，联结 $E M$ 、 $D M$ 、 $E C$ ， $D M$ 与 $E C$ 交于N ，如果 $B C = 4$ ，且 $C D^{2} = D M \cdot D N$ ， $∠ D M C = ∠ C E M$ ，求边 $C D$ 的长．

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种类	甲	乙	丙	丁
发芽天数	2.3	2.3	3.1	2.8
标准差	1.05	0.78	1.05	0.78