四川省雅安市天立高2024年高考数学适应性考试

试卷更新日期：2024-06-19 类型：高考模拟

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一、选择题：本大题共12 小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1. 已知集合 $A = {- 2, - 1, 0, 1, 2}, B = {x | x^{2} - 4 < 0}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${- 1, 0, 1}$ B、 ${0, 1, 2}$ C、 ${- 1, 1}$ D、 ${- 2, - 1, 0, 1, 2}$

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2. 已知复数 $z = a + b i (a, b \in R), i$ 是虚数单位，若 $z - 2 \bar{z} = 2 + 3 \sqrt{3} i$ ，则复数 $z$ 的虚部为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{3} i$ D、 $2 \sqrt{3} i$

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3. 已知平面向量 $\vec{a} = (2 ， 3 - m)$ ， $\vec{b} = (1 ， m)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $m =$ （）

A、 $- 2$ B、1 C、2 D、4

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4. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} 2^{x} - 1 ， x \leq 0 ， \\ x^{\frac{1}{2}} ， x > 0 ， \end{matrix}$ 若 $f (m) = 3$ ，则m的值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、9 D、2或9

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5. 在区间 $(0, 1)$ 与 $(1, 2)$ 中各随机取1个数，则两数之和大于 $\frac{3}{2}$ 的概率为（）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{7}{8}$ D、 $\frac{23}{32}$

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6. 函数 $y = \frac{l n | x |}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}$ 在 $[- 2, 2]$ 的图象大致为

A、 B、 C、 D、

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7. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左，右焦点，过点 $F_{2}$ 向该双曲线的一条渐近线作垂线 $P F_{2}$ ，垂足为 $P$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为（）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、4 D、 $2 \sqrt{3}$

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8. 设命题 $p : \exists m \in R$ ，使 $f (x) = (m - 1) x^{m^{2} - 4 m + 3}$ 是幂函数，且在 $(0, + ∞)$ 上单调递减；命题 $q : \forall x \in (2, + \infty), 2^{x} > x^{2}$ ，则下列命题为真的是（）

A、 $p \land (\neg q)$ B、 $(\neg p) \land q$ C、 $p \land q$ D、 $(\neg p) \lor q$

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9. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $2 a_{n + 1} - 2 = a_{n} \cdot a_{n + 1}$ $，$ 且 $a_{1} = 3$ ，则 $a_{2023} =$ （）

A、3 B、 $\frac{1}{2}$ C、-2 D、 $\frac{4}{3}$

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10. 设函数 $f (x)$ 为偶函数，且当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = e^{x} - c o s x$ ，则不等式 $f (2 x - 1) - f (x - 2) > 0$ 的解集为（）

A、 $(- 1, 1)$ B、 $(- \infty, - 3)$ C、 $(- 3, + \infty)$ D、 $(1, + \infty) \cup (- \infty, - 1)$

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11. 将函数 $f (x) = s i n (\frac{1}{2} ω x - \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{4}$ ，纵坐标不变，得到函数 $g (x)$ 的图象．若 $g (x)$ 在 $(0, \frac{π}{3})$ 上有且仅有3个极值点，则 $ω$ 的取值范围为（）

A、 $(\frac{5}{2}, \frac{11}{2}]$ B、 $(\frac{5}{2}, 4]$ C、 $(4, \frac{11}{2}]$ D、 $(\frac{11}{2}, 7]$

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12. 设 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 左、右焦点，以线段 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆与直线 $b x - a y = 0$ 在第一象限交于点 $A$ ， $t a n ∠ A F_{2} O = 2$ ，双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{5}{3}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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二、填空题：本大题共4 小题，每小题5分，共20分，将答案书写在答题卡对应题号的横线上。

13. $c o s 1 5^{∘} c o s 7 5^{∘} =$ ．

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14. 直线 $y = x$ 与圆 $x^{2} + y^{2} + 2 x - 3 = 0$ 交于 $A ， B$ 两点，则 $| A B | =$ .

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15. 若函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - a x^{2} + x + 1$ 存在极值点，则实数a的取值范围为．

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16. 已知球 $O$ 的表面积为 $36 π$ ，正四棱锥 $P - A B C D$ 的所有顶点都在球 $O$ 的球面上，则该正四棱锥 $P - A B C D$ 体积的最大值为.

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三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题每题12分，第22题10分.

17. 为提升学生身体素质，鼓励学生参加体育运动，某高中学校学生发展中心随机抽查了100名学生，统计他们在暑假期间每天参加体育运动的时间，并把每天参加体育运动时间超过30分钟的记为“运动达标”，时间不超过30分钟的记为“运动欠佳”，运动达标与运动欠佳的人数比为 $3 : 2$ ，运动达标的女生与男生的人数比为 $2 : 1$ ，运动欠佳的男生有5人.

(1)、根据上述数据，完成下面2×2列联表，并依据小概率值 $α = 0.01$ 的独立性检验，分析“运动达标情况”与“性别”是否有关?

(2)、现从“运动达标”的学生中按性别用分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中任选2人进行体能测试，求选中的2人中恰有一人是女生的概率.
参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ .
$α$
0.10
0.05
0.01
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
10.828

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18. 如图，在平面四边形 $A B C D$ 中，已知点C关于直线BD的对称点 $C'$ 在直线AD上， $∠ C B D = ∠ C D B = 30 °$ ， $∠ A C D = 75 °$ ．

(1)、求 $\frac{s i n ∠ B A C}{s i n ∠ A B C}$ 的值；

(2)、设 $A C = 3$ ，求 $A B^{2}$ .

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19. 已知球内接正四棱锥 $P - A B C D$ 的高为 $3$ ， $A C$ 、 $B D$ 相交于 $O$ ，球的表面积为 $\frac{169 π}{9}$ ，若 $E$ 为 $P C$ 中点.

(1)、求证： $O E / /$ 平面 $P A D$ ；

(2)、求三棱锥 $C - E O B$ 的体积.

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20. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，且过点A（2，1）．

(1)、求C的方程：

(2)、点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．

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21. 已知函数 $f (x) = m x^{2} - x - l n x (m \in R)$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若对任意的 $x > 0$ ，不等式 $f (x) > 2 x^{2}$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围.

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22. 在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 $ρ^{2} - 2 ρ c o s θ - 2 ρ s i n θ - 2 = 0$ ，直线l的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 + t c o s α \\ y = 2 + t s i n α \end{array}$ （t为参数）．

(1)、写出曲线C的直角坐标方程；

(2)、设直线 $l$ 与曲线C交于A ， B两点，定点 $P (2, 2)$ ，若 $| P A | + | P B | = 2 \sqrt{2}$ ，求直线l的倾斜角．

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$α$	0.10	0.05	0.01	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	10.828