四川省雅安市天立高2024年高考数学适应性考试（三）

试卷更新日期：2024-06-19 类型：高考模拟

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一、选择题：本大题共12 小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1. 已知集合 $A = {x | - 1 \leq x < 5}$ ， $B = {x \in N | y = l o g_{3} (x - 2)}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${- 1, 2, 3, 4}$ B、 ${3, 4}$ C、 ${3, 4, 5}$ D、 ${2, 3}$

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2. 欧拉公式 $e^{i θ} = c o s θ + i s i n θ$ 把自然对数的底数e，虚数单位i， $c o s θ$ 和 $s i n θ$ 联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥”，若复数z满足 $(e^{i π} + i) \cdot z = 1 + i$ ，则正确的是（）

A、z的共轭复数为 $- i$ B、z的实部为1 C、z的虚部为 $i$ D、z的模为1

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3. 在 ${(1 + x)}^{3} + {(1 + x)}^{4} + {(1 + x)}^{5}$ 的展开式中，含 $x^{2}$ 项的系数是（）

A、16 B、19 C、21 D、24

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4. 已知角 $α$ 的终边经过点 $P (\frac{1}{4}, - \frac{\sqrt{15}}{4})$ ，则 $2 c o s^{2} \frac{α}{2} + s i n α =$ （）

A、 $\frac{5 - \sqrt{15}}{4}$ B、 $\frac{- \sqrt{15} - 5}{4}$ C、 $\frac{5 + \sqrt{15}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{15} - 5}{4}$

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5. 执行下面的程序框图，输出的 $s =$ （）

A、 $\frac{11}{12}$ B、 $\frac{25}{24}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{1}{6}$

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6. 已知向量 $\vec{O A} = (1, 0), \vec{O B} = (1, 1)$ ， $O$ 为坐标原点，动点 $P (x, y)$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} 0 \leq \vec{O P} \cdot \vec{O A} \leq 1 \\ 0 \leq \vec{O P} \cdot \vec{O B} \leq 2 \end{array}$ ，则 $z = x - 2 y$ 的最大值为（）

A、 $- 2$ B、2 C、 $- 3$ D、3

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7. 2023年7月28日至8月8日，第31届世界夏季大学生运动会在成都市举行，组委会将5名大学生分配到A ， B ， C三个路口进行引导工作，每个路口至少分配一人，每人只能去一个路口．若甲、乙要求去同一个路口，则不同的分配方案共有（）

A、18种 B、24种 C、36种 D、48种

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8. α，β，γ为不同的平面，m，n，l为不同的直线，则m⊥β的一个充分条件是（）

A、 $n ⊥ α, n ⊥ β, m ⊥ α$ B、 $α \cap γ = m, α ⊥ γ, β ⊥ γ$ C、 $α ⊥ γ, β ⊥ γ, m ⊥ α$ D、 $α ⊥ β, α \cap β = l, m ⊥ l$

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9. 如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合，已知某类果蔬的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系： $y = e^{a x + b}$ （a，b为常数），若该果蔬在7℃的保鲜时间为288小时，在21℃的保鲜时间为32小时，且该果蔬所需物流时间为4天，则物流过程中果蔬的储藏温度（假设物流过程中恒温）最高不能超过（）

A、14℃ B、15℃ C、13℃ D、16℃

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10. 如图是以正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为 $\sqrt{2}$ ，则该多面体外接球的表面积为（）

A、 $8 π$ B、 $4 π$ C、 $2 π$ D、 $\frac{4}{3} π$

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11. 设 $F_{1}, F_{2}$ 是双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点，O是坐标原点，点P是C上异于实轴端点的任意一点，若 $| P F_{1} | | P F_{2} | - | O P |^{2} = 2 a^{2}$ $，$ 则C的离心率为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{2}$ C、3 D、2

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12. 已知函数 $f (x)$ 及其导函数 $f^{'} (x)$ 的定义域均为 $R$ ，且 $(x - 2) [f^{'} (x) - f (x)] > 0$ ， $f (4 - x) = f (x) e^{4 - 2 x}$ ，则不等式 $e^{3} f (l n x) < x f (3)$ 的解集是（）

A、 $(0, e^{3})$ B、 $(1, e^{3})$ C、 $(e, e^{3})$ D、 $(e^{3}, + \infty)$

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二、填空题：本大题共4 小题，每小题5分，共20分，将答案书写在答题卡对应题号的横线上。

13. 已知 $f (x) = \frac{x^{2} + 1}{(3 x + 2) (x - a)}$ 为偶函数，则 $a =$ .

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14. 已知 $\begin{array}{l} △ \end{array} A B C$ 的三边长 $A B = 4 c m$ ， $B C = 2 c m$ ， $A C = 3 c m$ ，则 $\begin{array}{l} △ \end{array} A B C$ 的面积为 $c m^{2}$ ．

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15. 已知两点 $M (- 1, 0)$ ， $N (1, 0)$ ，若直线 $x - y + m = 0$ 上存在唯一点P满足 $\vec{P M} \cdot \vec{P N} = 0$ ，则实数m的值为.

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16. 已知F为抛物线 $C : x^{2} = 4 y$ 的焦点，过点F的直线l与抛物线C相交于不同的两点A、B ，若抛物线C在A、B两点处的切线相交于点P ，则 ${| P F |}^{2} + \frac{4}{| A B |}$ 的最小值为．

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三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题每题12分，第22题10分.

17. 已知 $S_{n}$ 为各项均为正数的数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $a_{1} \in (0, 2), a_{n}^{2} + 3 a_{n} + 2 = 6 S_{n}$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，若对 $\forall n \in N^{*}, t \leq 4 T_{n}$ 恒成立，求实数 $t$ 的最大值.

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18. 某校高三年级进行班级数学文化知识竞赛，每班选三人组成代表队，其中1班和2班进入最终的决赛．决赛第一轮要求两个班级的代表队队员每人回答一道必答题，答对则为本班得1分，答错或不答都得0分．已知1班的三名队员答对的概率分别为、、，班的三名队员答对的概率都是，每名队员回答正确与否相互之间没有影响．用、分别表示1班和2班的总得分．

(1)、求随机变量、的数学期望；

(2)、若 $ξ + η = 2$ ，求2班比1班得分高的概率．

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19. 如图，在多面体 $A B C D E F$ 中，四边形 $A B C D$ 为菱形，平面 $F C D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，平面 $E A B ⊥$ 平面 $A B C D$ $△ A E B$ ， $△ C F D$ 是等腰直角三角形，且 $∠ D F C = ∠ B E A = \frac{π}{2}$ .

(1)、证明：平面 $A B F$ $∥$ 平面 $C D E$ ；

(2)、若 $∠ B A D \leq \frac{π}{3}$ ，求平面 $A D E$ 与平面 $B C E$ 所成锐二面角的余弦值的取值范围.

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20. 已知椭圆 $: \frac{x^{2}}{α^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2} ，$ 其左右焦点分别为 $F ₁ 、 F ₂ ，$ 下顶点为A ，右顶点为B ， $△ A B F_{1}^{}$ 的面积为 $1 + \frac{\sqrt{3}}{2} ．$

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、设不过原点O的直线交C于M、N两点，且直线 $O M, M N, O N$ 的斜率依次成等比数列，求 $△ M O N$ 面积的取值范围．

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21. 设函数 $f (x) = e^{a x} + c o s x$ ， $g (x) = s i n x + 2$ ．

(1)、试研究 $F (x) = \frac{1}{6} x^{3} - x + g (x)$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上的极值点；

(2)、当 $x \geq 0$ 时， $f (x) \geq g (x)$ ，求实数a的取值范围．

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 c o s 2 α, \\ y = 2 c o s α \end{array}$ （ $α$ 为参数）.以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 $l$ 的极坐标方程为 $ρ s i n (θ + \frac{π}{6}) = - 2$ .

(1)、求曲线 $C$ 的普通方程与直线 $l$ 的直角坐标方程；

(2)、点 $A, B$ 分别为曲线 $C$ 与直线 $l$ 上的动点，求 $| A B |$ 的最小值.

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