辽宁省七校协作体2023-2024学年高二下学期6月联考数学试题

试卷更新日期：2024-06-19 类型：月考试卷

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 在正项等比数列 ${a_{n}}$ 中，已知 $a_{2} = 1$ ， $a_{3} + a_{4} = 6$ ，则 $a_{1} a_{4} =$ （）

A、1 B、2 C、4 D、8

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2. 如图，由观测数据 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6)$ 的散点图可知， $y$ 与 $x$ 的关系可以用模型 $y = b l n x + a$ 拟合，设 $z = l n x$ ，利用最小二乘法求得 $y$ 关于 $z$ 的回归方程 $\hat{y} = \hat{b} z + 1$ ．已知 $x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} x_{5} x_{6} = e^{12}$ ， $\sum_{i = 1}^{6} y_{i} = 18$ ，则 $\hat{b} =$ （）

A、 $\frac{17}{e^{12}}$ B、 $\frac{12}{e^{12}}$ C、1 D、 $\frac{17}{12}$

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3. 图1是第七届国际数学教育大会（简称 $I C M E - 7$ ）的会徽图案，会徽的主题图案是由如图2所示的一连串直角三角形演化而成的，其中 $O A_{1} = A_{1} A_{2} = A_{2} A_{3} = ⋯ = A_{7} A_{8} = 1$ ，如果把图2中的直角三角形继续作下去，则第 $n$ 个三角形的面积为（）

A、 $\frac{n}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{n}}{2}$ C、 $\frac{n^{2}}{2}$ D、 $\sqrt{n}$

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4. 下列说法中正确的有（）

A、已知互不相同的30个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，则剩下28个数据的 $30 %$ 分位数可能等于原样本数据的 $30 %$ 分位数； B、若A、B两组成对数据的样本相关系数分别为 $r_{A} = 0 ． 97, r_{B} = - 0 ． 99$ ，则 $A$ 组数据比 $B$ 组数据的线性相关性强； C、设随机变量 $X \sim N (3, 2^{2})$ ，则 $E (\frac{1}{2} X + 1) = \frac{5}{2}, D (\frac{1}{2} X + 1) = 2$ ； D、某人参加一次游戏，游戏有三个题目，每个题目答对的概率都为0.5，答对题数多于答错题数可得4分，否则得2分，则某人参加游戏得分的期望为3

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5. 已知函数 $f (x) = x (m - e^{x})$ ，曲线 $y = f (x)$ 上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与直线 $y = x$ 平行，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(1 - e^{- 2}, 1)$ B、 $(- 1 - e^{- 2}, - 1)$ C、 $(- e^{- 2}, 0)$ D、 $(1 - e^{- 2}, + ∞)$

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6. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，设“第一次向上的点数是2”为事件 $A$ ， “第二次向上的点数是奇数”为事件 $B$ ， “两次向上的点数之和能被3整除”为事件 $C$ ，则下列说法正确的是（）

A、事件 $A$ 与事件 $B$ 互为对立事件 B、 $P (C) = \frac{1}{6}$ C、 $P (B C) = \frac{1}{6}$ D、事件 $B$ 与事件 $C$ 相互不独立

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7. 设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, \frac{S_{n + 1}}{n + 1} - \frac{S_{n}}{n} = - 1, S_{1} = 32$ ，则下列说法正确的是（）

A、 ${a_{n}}$ 是等比数列 B、 $S_{3}, S_{6} - S_{3}, S_{9} - S_{6}$ 成等差数列，公差为－9 C、当且仅当 $n = 17$ 时， $S_{n}$ 取得最大值 D、 $S_{n} \geq 0$ 时， $n$ 的最大值为33

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8. 设函数 $f (x) = l n x - a x^{2} - (a - 2) x$ ，若不等式 $f (x) > 0$ 恰有两个整数解，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{4 + l n 2}{6}, 1)$ B、 $(\frac{6 + l n 3}{12}, \frac{4 + l n 2}{6})$ C、 $[\frac{6 + l n 3}{12}, \frac{4 + l n 2}{6})$ D、 $（ \frac{4 + l n 2}{6}, 1]$

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} (n \in N^{*})$ ，下列说法正确的是（）

A、若 ${a_{n}}$ 是等差数列， $a_{15} + a_{16} > 0, a_{15} + a_{17} < 0$ ，则使 $S_{n} > 0$ 的最大正整数 $n$ 的值为15 B、若 ${a_{n}}$ 是等比数列， $S_{n} = 5^{n} + c$ （ $c$ 为常数），则必有 $c = - 1$ C、若 ${a_{n}}$ 是等比数列，则 $S_{n} = \frac{a_{1} (1 - q^{n})}{1 - q}$ D、若 $a_{n} + 4 S_{n - 1} S_{n} = 0 (n \geq 2), a_{1} = \frac{1}{4}$ ，则数列 ${\frac{1}{S_{n}}}$ 为递增等差数列

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10. 甲、乙、丙、丁四名同学相约去电影院看春节档热映的《热辣滚烫》、《飞驰人生 $2 》$ 、《第二十条》三部电影，每人都要看且限看其中一部．记事件 $A$ 为“恰有两名同学所看电影相同”，事件 $B$ 为“只有甲同学一人看《飞驰人生 $2 》$ ”，则（）

A、四名同学看电影情况共有 $3^{4}$ 种 B、“每部电影都有人看”的情况共有72种 C、 $P (B ∣ A) = \frac{1}{6}$ ． D、“四名同学最终只看了两部电影”的概率是 $\frac{14}{27}$

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11. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 x l n x, g (x) = e^{x} - l n x - 2$ ，下列说法正确的是（）

A、函数 $g (x)$ 存在唯一极值点 $x_{0}$ ，且 $x_{0} \in (\frac{1}{2}, 1)$ B、令 $h (x) = \frac{f (x)}{g (x)}$ ，则函数 $h (x)$ 无零点 C、若 $g (x) + 2 > m$ 恒成立，则 $m < 2$ D、若 $a > 0, b > 0$ ，则 $a + \frac{b}{2} - l n (a + b) > \frac{a}{b} l n (1 + \frac{b}{a})$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{11} - a_{8} = 3, S_{11} - S_{8} = 3$ ，则使 $a_{n} > 0$ 的最小正整数 $n$ 的值是．

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13. 函数 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + a, g (x) = x l n x$ ．对于 $\forall x_{1} \in [0, 3], \forall x_{2} \in [\frac{1}{e^{2}}, e]$ ，都有 $f (x_{1}) > g (x_{2})$ ，则实数 $a$ 的取值范围是．

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14. 已知有 $A, B$ 两个盒子，其中 $A$ 盒装有3个黑球和3个白球， $B$ 盒装有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外完全相同．甲从A盒、乙从B盒各随机取出一个球，若2个球同色，则甲胜，并将取出的2个球全部放入 $A$ 盒中，若2个球异色，则乙胜，并将取出的2个球全部放入B盒中．按上述方法重复操作两次后，B盒中恰有7个球的概率是．

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 已知函数 $f (x) = (a - 1) x + e^{x} (a \in R)$ ．

(1)、讨论函数 $y = f (x)$ 的单调性；

(2)、设函数 $g (x) = f (x) - s i n x$ ，若函数 $y = g (x)$ 在 $[0, + ∞)$ 上为增函数，求实数 $a$ 的取值范围．

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16. 已知数列 ${a_{n}}$ 为等差数列， $a_{2} = 3, a_{14} = 3 a_{5}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $2 S_{n} = 3 b_{n} - 1$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $c_{n} = a_{n} \cdot b_{n}$ ，数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，
①求 $T_{n}$ ；
②若 $T_{n} - n \cdot 3^{n} < {(- 1)}^{n} \cdot m$ 对 $n \in N^{*}$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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17. 某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，为了解学生参加活动的情况，统计了全校所有学生在假期每周锻炼的时间，现随机抽取了60名同学在某一周参加锻炼的数据，整理如 $2 \times 2$ 下列联表：
性别
不经常锻炼
经常锻炼
合计
男生
7

女生

16
30
合计
21

注：将一周参加锻炼时间不小于3小时的称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”．
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}, n = a + b + c + d$
$α$
0.1
0.05
0.01
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635

(1)、请完成上面 $2 \times 2$ 列联表，并依据小概率值 $α = 0 ． 1$ 的独立性检验，能否认为性别因素与学生锻炼的经常性有关系；

(2)、将一周参加锻炼为0小时的称为“极度缺乏锻炼”．在抽取的60名同学中有5人“极度缺乏锻炼”．以样本频率估计概率．若在全校抽取20名同学，设“极度缺乏锻炼”的人数为 $X$ ，求 $X$ 的数学期望 $E (X)$ 和方差 $D (X)$ ；

(3)、将一周参加锻炼6小时以上的同学称为“运动爱好者”．在抽取的60名同学中有10名“运动爱好者”，其中有7名男生，3名女生．为进一步了解他们的生活习惯，在10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为 $Y$ ，求 $Y$ 的分布列和数学期望．

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18. 已知函数 $f (x) = x^{2} - (a + 2) x + a l n x$ ，常数 $a > 0$ ．

(1)、当 $x = 1$ 时，函数 $f (x)$ 取得极小值-2，求函数 $f (x)$ 的极大值．

(2)、设定义在 $D$ 上的函数 $y = h (x)$ 在点 $P (x_{0}, h (x_{0}))$ 处的切线方程为 $l : y = g (x)$ ，当 $x \neq x_{0}$ 时，若 $\frac{h (x) - g (x)}{x - x_{0}} > 0$ 在 $D$ 内恒成立，则称点 $P$ 为 $h (x)$ 的“类优点”，若点 $(1, f (1))$ 是函数 $f (x)$ 的“类优点”，
①求函数 $f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；
②求实数 $a$ 的取值范围．

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19. 定义首项为1且公比为正数的等比数列为“ $M -$ 数列”．

(1)、已知等比数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{2} a_{4} = a_{5}, a_{3} - 4 a_{2} + 4 a_{1} = 0$ ．求证：数列 ${a_{n}}$ 为“ $M -$ 数列”；

(2)、已知各项为正数的数列 ${b_{n}}$ 满足： $b_{1} = 1, S_{n} = \frac{b_{n} b_{n + 1}}{2 (b_{n + 1} - b_{n})}$ ，其中 $S_{n}$ 是数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和．
①求数列 ${b_{n}}$ 的通项公式；
②设 $m$ 为正整数，若存在“ $M$ -数列” ${c_{n}}$ （ $n \in N^{*}$ ），对任意正整数 $k$ ，当 $k \leq m$ 时，都有 $c_{k} \leq b_{k} \leq c_{k + 1}$ 成立，求 $m$ 的最大值．

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性别	不经常锻炼	经常锻炼	合计
男生	7
女生		16	30
合计	21